Relation de chasles angles orientés
Relation de chasles angles orientés Author: Koniho Yuhecuxe Subject: Relation de chasles angles orientés Les coins sont orientés vers la généralisation du concept d’angles Mesurer l’angle entre deux segme Created Date: 4/13/2020 3:54:03 PM
Première S - Angles orientés de deux vecteurs
2) Relation de Chasles • Pour tous vecteurs non nuls , &, , & et , , , &: H ( ) • Soit O, M, N et P quatre points du plan tels que O ≠ M ; O ≠ N et O ≠ P
Angles orientes´
{Utiliser la relation de Chasles avec les angles orient es {Conna^ tre les propri et es li ees aux angles associ es Aper˘cu historique : Le mot trigonom etrie vient du grec trigonos (trois angles, triangulaire) et de metron (mesure) C’est la science qui traite des relation entre les distances et les angles dans un triangle
Angles orientés, cours, première S
Angles orientés, ours,c classe de première S 3 Propriétés des mesures d'angles orientés Propriété,relation de Chasles : Pour tous les vecteurs non nuls ~u, ~vet w~,
Relations métriques et angulaires dans le triangle
Démonstration du théorème de Pythagore Dans le plan muni d’un repère orthonormé, les vecteurs portés par les côtés du triangle ABCvérifient la relation de Chasles : # BC= # AB+ # AC: Ainsi : BC2 = # BC # BC= (# AB+ # AC)(# AB+ # AC) = AB2 +AC2 +2 # AB # AC donc la relation du théorème est équivalente à l’annulation du dernier
Dans tout le chapitre, le plan est orienté 1ère S Les angles
En exercice, on peut utiliser à la fois la relation de Chasles et les propriétés sur les angles orientés 2°) Démontrer que deux droites sont parallèles On démontre que des vecteurs directeurs de chacune des deux droites sont colinéaires en utilisant les angles orientés (voir exercices)
Chapitre X : Géométrie : Angles et trigonométrie Durée : 2,5
2°) Propriété des mesures des angles orientés de ve cteurs : Dans tout ce paragraphe, on notera a, b et c les abscisses curvilignes des points A, B et C du cercle trigonométrique de centre O tels que : u u OA 1 = , v v OB 1 = et w w OC 1 = a) La relation de Chasles : Soit →u , →v et w trois vecteurs non nuls du plan orienté On a : →
Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie
1 2 Opérations sur les vecteurs 1 2 1 Somme de deux vecteurs La somme de deux vecteurs est définie par la relation de chasles : −−→ AC = −→ AB + −→ BC Cette relation permet de décomposer un vecteur On a l’inégalité triangulaire : k~u+~vk 6k~uk+k~vk ~u ~v ~u+~v A b b B b C Construction de la somme de deux vec-teurs de
35 Relations métriques et trigonométriques dans un triangle
35 1Relations métriques dans un triangle 35 1 1Théorème de Pythagore Théorème 35 1 Théorème de Pythagore ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si BC 2 = AB 2 + AC 2 Dv Démonstration du théorème de Pythagore Dansleplanmunid'unrepèreorthonormé, les vecteurs portés par les côtés du triangle ABC vérient la relation de
1ère S Ex sur les angles orientés 3
Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires et les angles opposés ont la même mesure Il s’agit dans les deux cas d’angles géométriques Cela dit, ce n’est pas trop l’esprit de ce type d’exercice : on aime mieux rester uniquement avec les angles orientés et utiliser les règles sur les angles orientés
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1ère S
Exercices sur les angles orientés (3)
Dans tous les exercices, le plan est orienté.
1 Soit
et u v? ? deux vecteurs non nuls tels que 5 u v p= Déterminer la mesure principale en radians des angles orientés ;u v ;v u ;u v- -? ? en détaillant bien toutes les étapes et en appliquant chaque fois une règle par étape. 2 Soit u?, v? et w?? trois vecteurs non nuls tels que 7 6 u v p et ( ) 4 3 v w pDémontrer que les vecteurs
et u w? ?? sont orthogonaux. 3Soit ABC un triangle tel que
AB 6 cm, ( )AB; AC 5p= et ( )BA ; BC 6pConstruire ABC à l"aide du rapporteur.
Indiquer les mesures principales des angles orientésAB; AC???? ????
et (BA ; BC???? ????
sur la figure.En utilisant les propriétés des angles orientés, déterminer la mesure principale en radians des angles orientés
BA ; AC???? ????
CA ;CB???? ????
BA ;CA???? ????
4Soit ABC
un triangle quelconque. Calculer en utilisant les propriétés des angles orientés la sommeAB; AC BC; BA CA;CB
On n"utilisera pas la somme des mesures des angles géométriques d"un triangle. 5Soit ABCD un parallélogramme tel que
3AB; AD
5pFaire une figure en utilisant le rapporteur. On prendra (AB) " horizontale » et A à gauche de B.
Indiquer la mesure principale de l"angle orientéAB; AD???? ????
sur la figure. Déterminer une mesure en radians de chacun des angles orientésBC; BA???? ????
CD; CB???? ????
DA ; DC???? ????
On détaillera bien chaque étape et l"on n"utilisera qu"une seule règle à chaque étape.
6Soit A, B, C, D, E
tels que l"on ait ( )AB; AC 12p , ( )AC; AD 4p , ( )AB; AE 6p On suppose que A est distinct des points B, C, D, E. Aucune figure n"est demandée dans cet exercice. Démontrer que les points A, D, E sont alignés. 7Dans le plan orienté muni d"un repère orthonormé direct d"origine O, on note M et N les images respectives
des réels 3p et 6p- sur le cercle trigonométrique C.Placer M et N sur le cercle à l"aide du compas. On prendra 4 cm ou 4 " gros » carreaux pour unité graphique.
Déterminer la nature du triangle OMN.
8 Soit ABCD un carré direct de centre O dans le plan orienté. En utilisant les règles sur les angles orientés (toutes les règles sauf la relation de Chasles) et uniquement ces
règles (c"est-à-dire sans introduire de nouveaux points), déterminer par le calcul une mesure en radians des
angles orientésDC;OD???? ????
AB; BD???? ????
et (DO; BC???? ????
Corrigé
1 5 u v p=Il est inutile de faire une figure.
En tout cas, si on fait une figure, on trace les deux vecteurs sans faire figurer de cercle trigonométrique. Attention, l"énoncé demande chaque fois la mesure principale de l"angle orienté.
4 5 u v p En appliquant les règles sur les mesures d"angles orientés, on trouve 6 5 u v p65p est une mesure de l"angle orienté
;u v mais ce n"est pas la mesure principale car65p n"appartient pas à
l"intervalle - p p Pour trouver la mesure principale, on peut retrancher 2 p. 6 4 25 5p p- p = -
La mesure principale de l"angle orienté
;u v est 45pN.B. :
Quand on a une mesure d"un angle orienté de vecteurs, on peut toujours ajouter ou retrancher un multiple entier
de 2p.On applique la technique générale pour les mesures principales uniquement lorsque l"on a des " gros
nombres ». Ici, les nombres sont petits ce qui explique que l"on procède autrement. 4 5 v u p 5 u v pSolution détaillée :
5 u v p= • Déterminons la mesure principale en radians de l"angle orienté ;u v ; ;u v u v- = +p 5 u v p - = +p 6 5 u v p 6 ; 2 5 u v p - = - p 4 5 u v p 4 5p - ¬ - p pLa mesure principale de l"angle orienté
;u v est 45pAutre méthode plus astucieuse qui a l"avantage de donner tout de suite la mesure principale : écrire
; ;u v u v- = -p • Déterminons la mesure principale en radians de l"angle orienté ;v u ; ;v u v u- = +p ; ;v u u v- = - +p 5 v u p - = - +p 4 5 v u p 45p¬ - p p
La mesure principale de l"angle orienté
;v u est 45p.• Déterminons la mesure principale en radians de l"angle orienté ;u v- -? ? ; ;u v u v- - =? ? ? ? 5 u v p
5p¬ - p p
La mesure principale de l"angle orienté
;u v- -? ? est 5p. 2 7 6 u v p 4 3 v w pDémontrons que les vecteurs
u? et w??sont orthogonaux.D"après la relation de Chasles, on a :
; ; ; u w u v v w 7 4 6 3 u w p p 15 6 u w p 5 2 u w p2 2 5 2 3" < < "
5 2 22 2p " p+p= 2
522 p p = p+
2p¬ - p p
Donc 2 u w p=L"angle orienté (
; u w? ?? est un angle droit direct.Donc les vecteurs
et u w? ?? sont orthogonaux (c"est-à-dire que leurs directions sont orthogonales). 3On convertit
rad 365p pour faire la figure. 4BA; AC
5p 19 CA;CB 30p; ( )BA;CA 5p=
On pourrait aussi utiliser la somme des mesures des angles géométriques dans un triangle (mais dans ce cas, il
faut regarder l"orientation pour déterminer des mesures d"angles orientés).Il faut dire que
19;30p¬ - p
(c"est à peu près évident : 19 0 1 30< <car 1930
est une fraction dont le numérateur est inférieur ou égal au dénominateur).
Solution détaillée :
AB 6 cm ( )AB; AC 5p= ( )BA; BC 6p A BC • Déterminons la mesure principale en radians de l"angle orientéBA; AC???? ????
BA ; AC AB; AC
BA ; AC AB; AC
= +p 6BA ; AC
5p5 1 6 5 2" < < "
6 5 2 45 2p " p- p=
5 5 4 2 6 p = pp 4; 5p - ¬ - p La mesure principale en radians de l"angle orientéBA ; AC???? ????
est 45p5p 6p- • Déterminons la mesure principale en radians de l"angle orienté
CA;CB???? ????
CA ;CB CA ; BA BA ;CB
CA ;CB AC; AB BA ; BC
CA ;CB AC; AB BA ; BC
= + +p ( )CA ;CB5 6p p
= - - +p 19CA ;CB
30p19;
30p¬ - p
La mesure principale en radians de l"angle orientéCA ;CB???? ????
est1930p.
• Déterminons la mesure principale en radians de l"angle orientéBA;CA???? ????
BA ;CA AB; AC
BA ;CA AB; AC
( )BA ;CA 5p=5p¬ - p
La mesure principale en radians de l"angle orientéBA ;CA???? ????
est 5p.Retenir la rédaction-type : La mesure principale en radians de l"angle orienté ...... est ......
4 On ne peut pas utiliser la somme des mesures des angles géométriques dans un triangle.AB; AC BC; BA CA;CB
+ + = pSolution détaillée :
Calculons la somme
AB; AC BC;BA CA;CB
Il y a plusieurs manières de résoudre le problème.AB; AC BC; BA CA ;CB AB; AC BC; BA AC; BC
AB; AC BC
AB; A ; BC BC; BA AC; BC
A CA; CB
AB; AC BC
AB; A ; BC AC; BC BC; BA
A CA; CB
AB; AC BC; BA CA;CB
AB; BA
AB; AC BC; BA CA;CB
p car les vecteursAB????
etBA????
sont colinéaires de sens contraires 5On a :
180 3108
5" p p