Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

Relation de chasles angles orientés Author: Koniho Yuhecuxe Subject: Relation de chasles angles orientés Les coins sont orientés vers la généralisation du concept d’angles Mesurer l’angle entre deux segme Created Date: 4/13/2020 3:54:03 PM

Première S - Angles orientés de deux vecteurs

2) Relation de Chasles • Pour tous vecteurs non nuls , &, , & et , , , &: H ( ) • Soit O, M, N et P quatre points du plan tels que O ≠ M ; O ≠ N et O ≠ P

Angles orientes´

{Utiliser la relation de Chasles avec les angles orient es {Conna^ tre les propri et es li ees aux angles associ es Aper˘cu historique : Le mot trigonom etrie vient du grec trigonos (trois angles, triangulaire) et de metron (mesure) C’est la science qui traite des relation entre les distances et les angles dans un triangle

Angles orientés, cours, première S

Angles orientés, ours,c classe de première S 3 Propriétés des mesures d'angles orientés Propriété,relation de Chasles : Pour tous les vecteurs non nuls ~u, ~vet w~,

Relations métriques et angulaires dans le triangle

Démonstration du théorème de Pythagore Dans le plan muni d’un repère orthonormé, les vecteurs portés par les côtés du triangle ABCvériﬁent la relation de Chasles : # BC= # AB+ # AC: Ainsi : BC2 = # BC # BC= (# AB+ # AC)(# AB+ # AC) = AB2 +AC2 +2 # AB # AC donc la relation du théorème est équivalente à l’annulation du dernier

Dans tout le chapitre, le plan est orienté 1ère S Les angles

En exercice, on peut utiliser à la fois la relation de Chasles et les propriétés sur les angles orientés 2°) Démontrer que deux droites sont parallèles On démontre que des vecteurs directeurs de chacune des deux droites sont colinéaires en utilisant les angles orientés (voir exercices)

Chapitre X : Géométrie : Angles et trigonométrie Durée : 2,5

2°) Propriété des mesures des angles orientés de ve cteurs : Dans tout ce paragraphe, on notera a, b et c les abscisses curvilignes des points A, B et C du cercle trigonométrique de centre O tels que : u u OA 1 = , v v OB 1 = et w w OC 1 = a) La relation de Chasles : Soit →u , →v et w trois vecteurs non nuls du plan orienté On a : →

Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

1 2 Opérations sur les vecteurs 1 2 1 Somme de deux vecteurs La somme de deux vecteurs est déﬁnie par la relation de chasles : −−→ AC = −→ AB + −→ BC Cette relation permet de décomposer un vecteur On a l’inégalité triangulaire : k~u+~vk 6k~uk+k~vk ~u ~v ~u+~v A b b B b C Construction de la somme de deux vec-teurs de

35 Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

35 1Relations métriques dans un triangle 35 1 1Théorème de Pythagore Théorème 35 1 Théorème de Pythagore ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si BC 2 = AB 2 + AC 2 Dv Démonstration du théorème de Pythagore Dansleplanmunid'unrepèreorthonormé, les vecteurs portés par les côtés du triangle ABC vérient la relation de

1ère S Ex sur les angles orientés 3

Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires et les angles opposés ont la même mesure Il s’agit dans les deux cas d’angles géométriques Cela dit, ce n’est pas trop l’esprit de ce type d’exercice : on aime mieux rester uniquement avec les angles orientés et utiliser les règles sur les angles orientés

[PDF] La relation de conjugaison de Descartes

[PDF] la relation de thalès

[PDF] la relation entre l'économie et le sport

[PDF] La relation entre la création du vent et l'énergie solaire

[PDF] la relation entre la didactique et la linguistique

[PDF] la relation entre la littérature et l'histoire

[PDF] la relation entre le droit et le devoir

[PDF] La relation entre le poids et la masse

[PDF] la relation entre les sovietiques et les americains

[PDF] La relativité d'un mouvement

[PDF] La relativité des mouvement

[PDF] La relativité du mouvement

[PDF] La relativité du mouvement

[PDF] la relativité du mouvement 4eme

[PDF] La relativité du mouvement : Décrire un mouvement

DERNIÈRE IMPRESSION LE21 février 2017 à 10:56

Vecteurs et colinéarité.

Angles orientés et trigonométrie

Table des matières

1 Rappels sur les vecteurs2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Colinéarité de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Géométrie analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Équation cartésienne d"une droite5

2.1 Vecteur directeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Équation cartésienne d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Équation réduite d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Angles orientés7

3.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Mesure d"un angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Trigonométrie9

4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.5 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAUL MILAN1PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

1 Rappels sur les vecteurs

1.1 Définition

Définition 1 :Un vecteur?uou-→AB est défini par :

une direction (la droite (AB)).

un sens (de A vers B)

Une longueur : la norme du vecteur

?u?ou AB Égalité de deux vecteurs-→AB=--→CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. ?A? B C? D

1.2 Opérations sur les vecteurs

1.2.1 Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs est définie par la relation de chasles : --→AC=-→AB+-→BC

Cette relation permet de décomposer

un vecteur.

On a l"inégalité triangulaire :

?u+?v????u?+??v? ?u? v u+?v A? B C

Construction de la somme de deux vec-

teurs de même origine.

On effectue un parallélogramme, afin

de reporter le deuxième vecteur per- mettant d"appliquer la relation de

Chasles.

--→OA+-→OB ?O? A B? C

Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

Est commutative :?u+?v=?v+?u

Est associative :(?u+?v) +?w=?u+ (?v+?w) =?u+?v+?w Possède un élélment neutre?0 :?u+?0=?u tout vecteur possède un opposé-?u:--→AB=-→BA

PAUL MILAN2PREMIÈRE S

1. RAPPELS SUR LES VECTEURS

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

Lorsqu"on multiplie un vecteur par un

réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék?uest tel que :

Sa longueur est multiplié par|k|

Sik>0 son sens est inchangé

Sik<0 son sens est inversé.

Sik=0 on a : 0?u=?0

2-→AB

-2-→ABB A Propriété 2 :Bilinéarité. La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.

k(?u+?v) =k?u+k?v(k+k?)?u=k?u+k??v

1.3 Colinéarité de deux vecteurs

Définition 2 :On dit que deux vecteurs?uet?vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que :?v=k?u Remarque :Le vecteur nul?0 est colinéaire à tout vecteur car :?0=0?u Propriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"alignement. -→AB et--→CD colinéaires?(AB)//(CD) -→AB et--→AC colinéaires?A, B, C alignés

Exemple :Voir figure ci-contre :

Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :

AE=1

3-→BC ,-→CI=23-→CB et

AF=1

3--→AC .

Démontrer que I, E et F sont alignés

A B CE I F Exprimons-→EI et-→EF en fonction de-→AB .

-→CI=2

3-→CB donc-→BI=13-→BC .

On en déduit que

-→AE=-→BI donc que AEIB est un parallélogramme. On a alors :-→EI=-→AB

PAUL MILAN3PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

De plus :-→EF=-→EA+-→AF=13-→CB+13--→AC=13(--→AC+-→CB) =13-→AB

On en déduit alors :

-→EF=1

3-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc

les points E, F et I sont alignés.

1.4 Géométrie analytique

Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère orthonormé, les formules suivantes sont valable dans tout repère. Soit deux points A(xA;yA)et B(xB;yB), les coordonnées du vecteur-→AB vérifient :-→AB=?xB-xA;yB-yA? Soit deux points A(xA;yA)et B(xB;yB), les coordonnées du milieu I du seg- ment [AB] vérifient :

I=?xB+xA

2;yB+yA2?

On appelle déterminant de deux vecteurs?u(x;y)et?v(x?;y?), le nombre : det(?u,?v) =????x x? y y =xy?-x?y Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est égale à 0 uet?vcolinéaires?det(?u,?v) =0 Dans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur?uet la distance entre les points A(xA;yA)et B(xB;yB)vérifient : ?u||=? x2+y2et AB=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2 Exemples :Dans un repère orthonormé(O,?ı,??)

1) Soit A(1; 4) et B(-5; 2). Calculer les coordonnées de-→AB de I =m[AB] et la

longueur AB -→AB= (-5-1 ; 2-4) = (-6 ;-2)et I =?1-5

2;4+22?

= (-2 ; 3) AB = (-6)2+ (-2)2=⎷40=2⎷10

2) On donne

?u(2 ; 3)et?v(3 ; 4). Les vecteurs?uet?vsont-ils colinéaires? det(?u;?v) =????2 33 4???? =8-9=-1. Comme det(?u;?v)?=0 les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Dans un repère quelconque

ABCD est un parallélogramme. M, N, Q sont tels que : --→DM=4

5--→DA ,--→AN=34-→AB ,--→CQ=23--→CD

PAUL MILAN4PREMIÈRE S

2. ÉQUATION CARTÉSIENNE D"UNE DROITE

La parallèle à (MQ) menée par N coupe BC en P. Déterminer le coefficientkde colinéarité tel que-→BP=k--→AD .

Faisons une figure, en prenant comme

repère(A;-→AB ,--→AD): D"après l"énoncé les coordonnées de M,

N et Q sont :

M 0;1 5? , N?34;0? , Q?13;1?

P est sur (BC), son abscisse est 1.

A B CD ?M N? Q

P? ? ?

De plus commekest tel que :-→BP=k--→AD , son ordonnée vautk.

Les coordonnées de P sont : P(1;k)

Comme (NP)//(MQ), le déterminant de

--→MQ et--→NP est nul, on a :

3-0 1-34

1-1

5k-0???????

314
4 =0 k

3-15=0?k3=15?k=35

2 Équation cartésienne d"une droite

2.1 Vecteur directeur

Définition 3 :Soit une droiteddéfinie par deux points A et B. Un vecteur directeur ?ude la droitedest le vecteur-→AB . Remarque :Le vecteur?un"est pas unique, car 2 points quelconques de la droite définissent un vecteur directeur. Si ?uet?vsont deux vecteurs directeurs de la droited, alors les vecteurs?uet?vsont colinéaires. On a donc det(?u,?v) =0. Exemple :Soit la droite (AB) définie par : A(3 ;-5)et B(2 ; 3)

Le vecteur

-→u=-→AB est un vecteur directeur de la droite (AB), on alors : u=(2-3 ; 3-(-5))= (-1 ; 8) Théorème 1 :Une droite est entièrement définie si l"on connaît un point A et une vecteur directeur ?u. Démonstration :La démonstration est immédiate car à partir du point A et du vecteur directeur ?u, on peut déterminer un autre point B tel que :?u=-→AB

PAUL MILAN5PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

2.2 Équation cartésienne d"une droite

Théorème 2 :Toute droiteddu plan peut être déterminée par une équation de la formeax+by+c=0, avecaetbnon tous les deux nuls. Une telle équation est appeléeéquation cartésiennede la droited. Réciproquement une équation du typeax+by+c=0 définie une droite de vecteur directeur ?u(-b;a) Démonstration :Soit la droitedpassant par le point A(xA;yA)et de vecteur directeur ?u(-b;a). Soit un point quelconque M(x;y)de la droited. On a alors--→AM et?ucolinéaires. Leur déterminant est alors nul. On a :--→AM= (x-xA;y-yA), donc : det(--→AM ,?u) =0?????x-xA-b y-yAa???? =0? a(x-xA) +b(y-yA) =0?ax+by-(axA+byA) =0

On posec=-(axA+byA), on a donc :ax+by+c=0

Réciproquement :Soitl"équationax+by+c=0.Deuxcaspeuventseprésenter a=0 oub=0, on obtient respectivementy=-cbetx=-caqui sont respectivement une droite horizontale et une droite verticale. Sia?=0 etb?=0 on peut déterminer deux points de cette équation en pre- nant respectivementx=0 ety=0. On obtient alors les points A? 0 ;-c b? et B? -c a; 0? on obtient alors le vecteur directeur-→AB=? -ca;cb? . Vérifions que ce vecteur -→AB est colinéaire au vecteur?u(-b;a) det(-→AB ;?u) =???????- c a-b c ba??????? =-c+c=0 Exemple :Soit la droiteddéfinie par les point A(2 ; 3)et?u(-2 ; 1). Déterminer une équation cartésienne de la droited.

En posant M(x;y), on a :

det(--→AM ,?u) =0?????x-2-2 y-3 1???? =0?(x-2) +2(y-3) =0 x+2y-2-6=0?x+2y-8=0 ?L"équation cartésienne d"une droite n"est pas unique. On peut toujours multi- plier les coefficients par un facteurknon nul. Par exemple, on peut trouver pour la droite de l"exemple :-2x-4y+16=0 en multipliant par(-2).

PAUL MILAN6PREMIÈRE S

3. ANGLES ORIENTÉS

2.3 Équation réduite d"une droite

Théorème 3 :Toute droitednon parallèle à l"axe des ordonnées admet une équation de la formey=mx+pappelée équation réduite ded. Le vecteur u(1 ;m)est un vecteur directeur ded

3 Angles orientés

3.1 Le radian

Définition 4 :Le radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrd

La mesure en degré de 1 radian vaut

donc :

1 rd=180

π?57°

Remarque :Le radian est une grande

unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.1 rd O 11 -1 -1

Tableau des angles remarquables en radian :

Degré30°45°60°90°

Radianπ

6 4 3 2

3.2 Définition

Définition 5 :Un angle orienté est défini par deux vecteurs?uet?v, noté(?u,?v).

L"angle est alors orienté de

?uvers?v.

Sur la figure ci-contre, on a repré-

senté deux angles orientés, représen- tant le même angle(?u,?v). Le premier est orienté dans le sens direct et l"autre dans le sens indirect. ?u? v

PAUL MILAN7PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

3.3 Mesure d"un angle orienté

Pour mesurer un angle orienté, il faut une unité (degré ou radian) et un sens de parcours. Un même angle peut avoir des mesures différentes, comme dans la figure ci-dessus. Ces mesures sont alors équivalentes. Elles sontégales à 2πprès, on dit alors qu"elles sont égales modulo 2π. Définition 6 :On dit que les mesures (en radian)θ1etθ2d"un même angle orienté(?u,?v)sont égales modulo 2π, s"il existe un entier relatifktel que :

2=θ1+k×2πon écrit alorsθ1=θ2[2π]

Exemple :-5π3=π3[2π]en effet,-5π3+2π=-5π+6π3=π3 Définition 7 :On appelle mesure principale d"un angle orienté(?u,?v), la me- sureθavecθ?]-π,π]. On appelle mesure positive d"un angle orienté(?u,?v), la mesureθavecθ?[0,2π[ Exemple :Voici ci-dessous le cercle trigonométrique avec les angles remar- quables exprimés en mesure principale. O?0 ?π6 π4 π3 π2

2π3

3π4

?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3 -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6

3.4 Propriétés

1) Les vecteurs?uet?vsont colinéaires si et seulement si :

?u,?v) =0[2π]ou(?u,?v) =π[2π]

2)Relation de Chasles: Soit trois vecteurs?u,?vet?w, alors :

?u,?v) + (?v,?w) = (?u,?w)

3) Soit les vecteurs

?uet?v, alors on a : ?v,?u) =-(?u,?v) (-?u,?v) = (?u,?v) +π ?u,-?v) = (?u,?v) +π (-?u,-?v) = (?u,?v)

PAUL MILAN8PREMIÈRE S

4. TRIGONOMÉTRIE

Exemple :

D"après la figure suivante, déterminer

à l"aide des propriétés des angles orien- tés :(-→AB ,--→AC)A BC 6π 12 (-→AB ,--→AC) = (-→AB ,-→BC) + (-→BC ,--→AC)relation de Chasles (-→BA ,-→BC) +π? + (-→CB ,--→CA)inversion des vecteurs

6+π-π12=9π12=3π4

Remarque :On aurait pu retrouver cet angle de façon "classique" en faisant le complément àπ

4 Trigonométrie

4.1 Définition

Définition 8 :Dans un repère orthonormal direct,αest l"angle orienté dans le cercle unité, on a alors : cosα=projection de l"angle sur l"axedes abscisses sinα=projection de l"angle sur l"axedes ordonnées tanα=projection de l"angle sur ladroite tangente au cercle 11 -1 -1αcosα sinαtanα O

4.2 Tableau des angles remarquables

α0π

6 4 3 2 sinα01 2 ⎷2 2 ⎷3 21
cosα1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tanα0 ⎷3

31⎷3∞

PAUL MILAN9PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

4.3 Relations trigonométriques

4.3.1 Relations de base

On a les encadrements suivants :-1?sinα?1 et-1?cosα?1 On vérifie facilement avec le théorème de Pythagore dans le cercle unité, la relation : sin

2α+cos2α=1

On vérifie avec le théorème de Thalès, la relation : tanα=sinαcosα À l"aide des relations précédentes, on déduit que : 1+tan2α=1cos2α

4.3.2 Relations de symétrie

Avec l"angle opposé :

sin(-α) =-sinα cos(-α) = +cosα tan(-α) =-tanα

Avec l"angle supplémentaire :

sin(π-α) = +sinα cos(π-α) =-cosα tan(π-α) =-tanα sinα -sinα cosα-cosα -απ+α11 O

Avec l"angle diamétralement opposé :

sin(π+α) =-sinα cos(π+α) =-cosα tan(π+α) = +tanαRemarque :On peut constater que les fonction sinus et tangente sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire.

4.3.3 Relations de déphasage

Avec le complémentaire

sin?π

2-α?

=cosα cos

2-α?

=sinα

Avec un déphasage d"un quart de tour

sin?π

2+α?

=cosα cos

2+α?

=-sinα sinα-sinα cosα

2-απ2+α

11 O

Exemple :Simplifier :A=cos?

x+π2? -3cos? -π2-x? -4sin(π-x) A l"aide des formules de symétrie et de déphasage, on a :

A=-sinx-3cos?π

2+x? -4sinx=-sinx+3sinx-4sinx=-2sinx

PAUL MILAN10PREMIÈRE S

4. TRIGONOMÉTRIE

4.4 Équations trigonométriques

Résolution des équations dansR: cosx=aet sinx=a

Si|a|>1, il n"y a pas de solution.

Si|a|?1, on a les solutions pour :

1) cosx=a?cosx=cosα

On détermineα?[0;π]tel queα=arccosaà l"aide du cercle trigonomé- trique. D"après les règles de symétrie :x=αoux=-α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de 2π cosx=a?x=α+2kπoux=-α+2kπ,k?Z Remarque :l"expressionx=α+2kπpeut s"écrirex=α[2π]qui se prononce "x=αmodulo 2π"

Exemple :Résoudre dansR:⎷

2cosx-1=0

2cosx-1=0?cosx=1⎷2=⎷

2?cosx=cosπ4

Les solutions dansRsont :x=π

4+2kπoux=-π4+2kπ,k?Z

2) sinx=a?sinx=sinα

On détermineα??

2;π2?

tel queα=arcsinaà l"aide du cercle trigonomé- trique. D"après les règles de symétrie :x=αoux=π-α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de 2π

[PDF] Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

Vecteurs et colinéarité.

Angles orientés et trigonométrie

Table des matières

1 Rappels sur les vecteurs2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Colinéarité de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Géométrie analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Équation cartésienne d"une droite5

2.1 Vecteur directeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Équation cartésienne d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Équation réduite d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Angles orientés7

3.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Mesure d"un angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Trigonométrie9

4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.5 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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TABLE DES MATIÈRES

1 Rappels sur les vecteurs

1.1 Définition

une direction (la droite (AB)).

un sens (de A vers B)

Une longueur : la norme du vecteur

1.2 Opérations sur les vecteurs

1.2.1 Somme de deux vecteurs

Cette relation permet de décomposer

On a l"inégalité triangulaire :

Construction de la somme de deux vec-

On effectue un parallélogramme, afin

Chasles.

Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

Est commutative :?u+?v=?v+?u

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1. RAPPELS SUR LES VECTEURS

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

Lorsqu"on multiplie un vecteur par un

Sa longueur est multiplié par|k|

Sik>0 son sens est inchangé

Sik<0 son sens est inversé.

Sik=0 on a : 0?u=?0

2-→AB

k(?u+?v) =k?u+k?v(k+k?)?u=k?u+k??v

1.3 Colinéarité de deux vecteurs

Exemple :Voir figure ci-contre :

Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :

3-→BC ,-→CI=23-→CB et

3--→AC .

Démontrer que I, E et F sont alignés

-→CI=2

3-→CB donc-→BI=13-→BC .

On en déduit que

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TABLE DES MATIÈRES

On en déduit alors :

3-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc

1.4 Géométrie analytique

I=?xB+xA

2;yB+yA2?

1) Soit A(1; 4) et B(-5; 2). Calculer les coordonnées de-→AB de I =m[AB] et la

2;4+22?

2) On donne

Dans un repère quelconque

5--→DA ,--→AN=34-→AB ,--→CQ=23--→CD

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2. ÉQUATION CARTÉSIENNE D"UNE DROITE

Faisons une figure, en prenant comme

N et Q sont :

P est sur (BC), son abscisse est 1.

P? ? ?

Les coordonnées de P sont : P(1;k)

Comme (NP)//(MQ), le déterminant de

3-0 1-34

une direction (la droite (AB)).

un sens (de A vers B)

Une longueur : la norme du vecteur

Est commutative :?u+?v=?v+?u

Sa longueur est multiplié par|k|

Sik>0 son sens est inchangé

Sik<0 son sens est inversé.

Sik=0 on a : 0?u=?0

k(?u+?v) =k?u+k?v(k+k?)?u=k?u+k??v

-→CI=2