LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES ET CONIQUES - CORRIGÉ
Collège Regina Assumpta Cahier d’exercices – Les coniques Mathématiques SN 5 CORRIGÉ Méli-mélo de coniques (Pages 109 à 114) Exercice 1 : a) C’est une parabole Équation de sa directrice : 8 31 y Inéquation : 4 2 1 x 1 2 t y b) C’est une parabole Équation de sa directrice : 16 1 x Inéqu ation : 4y2 t x ou y x 4 2 t 1
Équations des coniques - Meabilis
Exercices - Coniques: corrigé 2 Puisque la tangente en M est la médiatrice de [FH], les demi-droites [HF) et (M,N~) sont parallèles On en déduit que les angles (−−→
Les coniques - Collège du Sud
(en particulier dans le cadre des exercices) Finalement, nous montrerons que toutes les courbes du plan d e nies par equation cart esienne du second degr e sont des coniques Pour tous les calculs de g eom etrie analytique de ce document, nous travaillerons avec un rep ere orthonorm e du plan L Karth Robadey coniques 17 2 2021 (7:58)
CHAPITRE II LES CONIQUES - LMRL
uniquement les ellipses (mais pas le cercle ), les paraboles et les hyperboles, c’est-à-dire des coniques non dégénérées Nous aborderons ensuite ( paragraphe 7 ), uniquement par des exemples (sans présenter la théorie complète), les coniques comme courbes algébriques du second degré
Fiche : Coniques
Les foyer sont F c,0 et F c,0χ Les sommets S(a,0) et S’(a,0) Les asymptotes sont d’équations b yx a et b yx a Les directrices associées sont a2 D:x c et a2 D :x c χ Fiche : Coniques Mr Farid ABIDI 4 M
Exercices de Math´ematiques : coniques
Classe de TS 3/4 Exercices de Math´ematiques : coniques Ann´ee scolaire 1997-1998 EXERCICE 1 1 Deux cercles (C) et C sont tangents ext´erieurement en I Une droiteD est tangente `a (C) en H et ne rencontre pas C Soith l’homoth´etiede centre I qui transforme(C) en C a Construire l’imageh(H) de H par h b On donne : le cercle C
Chapitre12 CONIQUES Enoncédesexercices
CONIQUES Enoncédesexercices 1 Lesbasiques Exercice12 1Dans le plan muni d’un repère orthonormé O, −→ i, −→ j, soit Cla conique de foyer F :(1,−1)de directrice D:x=5et d’excentricitée= 1 3 1 Déterminer la nature de C(ellipse, hyperbole, parabole), l’axe focal, les coordonnées des sommets principaux A
Exercice 6 - Free
Coniques TD Fiche 9 - Qq corrigés Exercice 6 Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, déterminer la nature et les éléments caractéristiques des coniques suivantes et les représenter: 1) 2x2 +xy +y2 +4x y 2 = 0 2) x2 +8xy 5y2 28x+14y +3 = 0 3) x2 2xy +y2 6x 10y +9 = 0 Correction - Le plan est rapporté à un repère orthonormal
Feuille 6 : Coniques et quadriques
Feuille 6 : Coniques et quadriques Exercice 1 Déterminer la nature des coniques suivantes, leur expression réduite et les tracer 1 2x2 4xy y2 4x+10y 13 =0 2 9x2 +24xy+16y2 20x+15y=0
Daniel ALIBERT Géométrie plane : courbes paramétrées
Daniel Alibert – Cours et exercices corrigés – volum e 9 3 Ce livre comporte trois parties La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent Elle ne contient ni démonstration, ni exemple
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Chapitre 12
CONIQUES
Enoncé des exercices
1Les basiques
Exercice 12.1Dans le plan muni d"un repère orthonormé?O,-→i ,-→j?
,soitCla conique de foyerF: (1,-1)de directriceD:x= 5et d"excentricitée=1 3.1. Déterminer la nature deC(ellipse, hyperbole, parabole), l"axe focal, les coordonnées des sommets principauxA
etA ?, secondairesBetB?, du centreΩ, du second foyerF?et la seconde directriceD?.2. Préciser l"équation deCdans le repère?
O,-→i ,-→j?
et les coordonnées des points d"intersection avec les axes.Exercice 12.2SoientAetBdeux points distincts du plan,Ile milieu de[A,B].Déterminer l"ensemble des points
Mdu plan tels queMI
2=MA×MB. (On peut supposer que la distanceABvaut2).
Exercice 12.3SoitEune ellipse de foyerF,une droiteDpassant parFcoupeEen deux pointsMetM?. Que dire de1 FM+1FM?? (Le pointFa un rôle particulier, quelle représentation deEchoisir?)Exercice 12.4SoitEun ellipse de foyerF,F?et de centreO. On noteala longueur du demi grand axe etc=OF.
Montrer que
M? E ??MF×MF
?+OM2= 2a2-c2 (C"est la définition trifocale de l"ellipse).Exercice 12.5SoitCun cercle de centreOetA? C. PourM? C, on construit le projetéNsur le diamètre
perpendiculaire à(OA)etI= (OM)∩(AN). Lieu deIquandMdécritC(chercher l"équation polaire).
Exercice 12.6Soita,bdeux réels tels que0< a < b.Pour toutt /? {a,b}on considère la courbeCtd"équation
x 2 a-t+y 2 b-t= 11. Quelle est la nature deC
t? Montrer que siCtest une conique, ces foyers ne dépendent pas det.2. Montrer que siC
tetCu, pourt?=u, se coupent enM, alors elles sont orthogonales (i.e. les tangentes enMà C tet àCusont orthogonales).Exercice 12.7SoitEune ellipse de centreO,soitMsurE, on noteM?le symétrique deMpar rapport à l"axe focal.
La normale àMcoupe (en général) la droite(OM ?)en un unique pointP. Quel est le lieu dePlorsqueMdécritE?Exercice 12.8SoitCetC?deux cercles tels queC?soit inclus dansC. Montrer que le lieu des centres des cercleΓ
tangents àCetC ?est inclus dans une ellipse (On admet la réciproque). Préciser comment construire les sommets principaux.2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 12. CONIQUES
Exercice 12.9Soitα?R, dans le plan muni d"un repère orthonormé direct, on considère l"ensembleCαdes points
Mde coordonées?x
y? telles que x2+y2+ 2αxy-1 = 0
1. Discuter en fonction deαdu genre de la conique.
2. Préciser l"ensembeC
0.3. Préciser les ensembleC
1etC-1.
4. On considère le repèreR
θ= (O,-→u ,-→v)obtenu par rotation d"angleθdeR,on note?X Y? les coordonnées deMdans ce repère. Comment choisirθ??0,
2 ?pour que le terme enXYde l"équationCαdans ce repère soit
nul? Quel est alors l"équation deC5. En déduire les paramètresa,b,cetelorsqueα=1
2etα= 2.
Exercice 12.10On se place en repère orthonormé, soitCla conique d"axes parallèles aux axes du repère, de centre
C: (2,4), tangente à la droitey= 1et passant par le point de coordonnées?2 +⎷
20 3,6? .Donner une équation de cette conique, sa nature, préciser son excentricitée.Exercice 12.11Réduire la coniqueCd"équationx2+⎷3xy+x= 2(Nature, centre, angle que fait l"axe focal avec
Ox).2Les techniques
Exercice 12.12Soit(E)une ellipse de centreO,MetM?deux points de l"ellipse tels que(OM)?(OM?), montrer
que1 OM2+1OM?2est une constante qui ne dépend ni deM, ni deM?.Exercice 12.13SoitPune parabole de paramètrepetMun point dePdistinct du sommet. Montrer que la normale
enMàPrecoupePen un autre pointN. Calculer le minimum de la distanceMNlorsqueMdécritP. Construire
les points qui réalisent le minimum.Exercice 12.14SoitPune parabole. On considère une droiteDnon parallèle à l"axe focal, qui coupePen deux
pointsM1etM2. On suppose queDn"est pas la normale àP,ni enM1,ni enM2. On trace les normales enM1et
enM2àP. Montrer que ces normales se coupent en un point dePsi et seulement siDpasse un point fixe de l"axe
focal.Exercice 12.15Déterminer le lieu des points d"où l"on peut mener deux tangentes perpendiculaires à une parabole
P.Montrer que dans ce cas le segment reliant les points de contact entre les deux tangentes et la parabole passe par le
foyer de celle ci. Exercice 12.16SoitCune ellipse ou une hyperbole d"équation réduitex 2 a2+εy 2 b2= 1oùε2= 1, soitDune droitevariable d"équation normalecosθx+ sinθy=p(θ); donner une condition surp(θ)pour queDsoit tangente àC. En
déduire que le lieu des points d"où l"on peut mener deux tangentes perpendiculaires àCest inclus dans un cercle (dit
cercle de Monge de la conique, ou orthoptique de la conique).On admet la réciproque. Exercice 12.17SoitPune parabole etAun point, une droiteDvariable passant parAcoupeDen deux pointsM1etM2.Montrer que le lieu du point d"intersection des tangentes àPenM1etM2est une droite. Que dire de cette
droite siAest sur l"axe focal de la parabole, siAest le foyer?quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6