[PDF] Comparaison de Moyennes et ANOVA - monnanoweeblycom

2 Comparaison des moyennes arithmétique et géométrique

La moyenne géométrique de a et b est le réel √ ab Exemple Vérifier que si a et b sont deux côtés d’un rectangle, alors a+b 2 est le côté d’un carré ayant le même périmètre que ce rectangle et √ ab le côté d’un carré ayant même aire que ce rectangle 2 Comparaison des moyennes arithmétique et géométrique 1

comparaison des moyennes - SFR

Comparaison des moyennes harmonique, géométrique et arithmétique 1 Pour tout x>0, on pose f(x) =lnx−x+ 1 De l'étude de f, déduire que, pour tout x>0,

Comparaison de Moyennes et ANOVA - monnanoweeblycom

Comparaison de moyennes et ANOVA Id ee de base Types de moyenne Liens entre les 3 types de moyenne, f-moyenne Soit f fonction continue strictement monotone sur l’intervalle I ˆIR Soit x 1; ;x n une s erie de valeurs de I Il existe un unique el ement m de I tel que f(m) = 1 n Xn i=1 f(x i) Preuve existence: min i=1; ;n f(x i) 1 n Xn i=1 f

Tests de comparaison de deux Moyennes

Fabrice Mazerolle, « Moyenne Arithmétique », 2012 (consulté le 13 février 2012) 2 [PDF]Gilles Costantini, « Moyennes », 2003 (consulté le 21 août 2011)

A LA DÉCOUVERTE DES DIFFÉRENTES MOYENNES

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Exprimer la moyenne m de ces n notes à l’aide des nombres n, x1, x2, , xn Vocabulaire : ce type de moyenne est appelé « moyenne arithmétique » La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est le nombre m vérifiant l’égalité : 2 ab m À retenir : pour calculer la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs :

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Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAComparaison de Moyennes et ANOVA

Jean VAILLANT

Departement de Mathematiques et Informatique, U.A.G.

27 Janvier 2012

Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAPlan

Introduction

Idee de base

Types de moyenne

Comparaison de moyennes et ANOVA

Investigations graphiques

La methode d'ANOVA

Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneIdee de base

Avoir une

indication de l'o rdrede grandeur d'une s eriede valeurs mesurees (ou observees)I Total des valeurs observeesNombre de valeurs observees notee traditionnellement x.I

Question sous jacente

: pa rquelle valeur un iquep ourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir la m ^emesomme

Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneIdee de base

Avoir une

indication de l'o rdrede grandeur d'une s eriede valeurs mesurees (ou observees)I Total des valeurs observeesNombre de valeurs observees notee traditionnellement x.I

Question sous jacente

: pa rquelle valeur un iquep ourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir la m ^emesomme

Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneIdee de base

I Exemple : moyenne des evaluations dans 2 colleges d'eectifs

400 et 600 respectivement.

College 1 :x1;1;;x1;400

College 2 :x2;1;;x2;600

x=(x1;1++x1;400) + (x2;1++x2;600)400 + 600

La moyenne des evaluations pour chaque college :

x1= 12;4 et x2= 13;8:I Que faire si donnees perdues sauf moyennes et eectifs? x=12 (x1+ x2) = 13;1 (INCORRECT) x=400x1+ 600x2400 + 600 = 0;4x1+ 0;6x2= 13;24 (CORRECT):Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneIdee de base

I Exemple : moyenne des evaluations dans 2 colleges d'eectifs

400 et 600 respectivement.

College 1 :x1;1;;x1;400

College 2 :x2;1;;x2;600

x=(x1;1++x1;400) + (x2;1++x2;600)400 + 600

La moyenne des evaluations pour chaque college :

x1= 12;4 et x2= 13;8:I Que faire si donnees perdues sauf moyennes et eectifs? x=12 (x1+ x2) = 13;1 (INCORRECT) x=400x1+ 600x2400 + 600 = 0;4x1+ 0;6x2= 13;24 (CORRECT):Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneMoyennes arithmetiques

Formellement :nnombresx1;x2;;xn. On distingue les

moyennes suivantes :I arithmetique simple1n (x1+x2++xn) =1n n X i=1x iI arithmetique pondereep1x1+p2x2++pnxn=nX i=1p ixi, les poidsp1;p2;;pnetant positifs et tels quenX i=1p i= 1.Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneMoyennes arithmetiques

Formellement :nnombresx1;x2;;xn. On distingue les

moyennes suivantes :I arithmetique simple1n (x1+x2++xn) =1n n X i=1x iI arithmetique pondereep1x1+p2x2++pnxn=nX i=1p ixi, les poidsp1;p2;;pnetant positifs et tels quenX i=1p i= 1.Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneMoyenne geometrique

I geometrique ( x1x2xn)1n = (nY i=1x i)1n , lesxi>0 Exemple :Quotient des eectifs d'un college entre 2009 et 2011Annees2008200920102011

Eectifs420448430479

Quotient-1,070,961,12

Moyenne geometrique :

(1;070;961;12)13 = 1;1513 = 1;045.I

Question sous jacente

: pa rquelle valeur un iquep ourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir le m ^emep roduit x=13 (1;07 + 0;96 + 1;12) = 1;050 (INCORRECT) (1;070;961;12)13 = 1;1513 = 1;045 (CORRECT):Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneMoyenne geometrique

I geometrique ( x1x2xn)1n = (nY i=1x i)1n , lesxi>0 Exemple :Quotient des eectifs d'un college entre 2009 et 2011Annees2008200920102011

Eectifs420448430479

Quotient-1,070,961,12

Moyenne geometrique :

(1;070;961;12)13 = 1;1513 = 1;045.I

Question sous jacente

: pa rquelle valeur un iquep ourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir le m ^emep roduit x=13 (1;07 + 0;96 + 1;12) = 1;050 (INCORRECT) (1;070;961;12)13 = 1;1513 = 1;045 (CORRECT):Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneMoyenne harmonique

I harmoniquen1 x 1+1x 2++1x n=nn X i=11x i, lesxi>0.I Exemple : eleve faisant le trajet domicile-lycee a la vitesse constante de

2 km=ha l'aller et4 km=hau retour.

Vitesse moyenne du trajet aller-retour?

x=12 (2 + 4) = 3;000 (INCORRECT) 21
2 +14 = 2;667 (CORRECT):I

Question sous jacente

: pa rquelle valeur un iquep ourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir la m ^emesomme des inverses

Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneMoyenne harmonique

I harmoniquen1 x 1+1x 2++1x n=nn X i=11x i, lesxi>0.I Exemple : eleve faisant le trajet domicile-lycee a la vitesse constante de

2 km=ha l'aller et4 km=hau retour.

Vitesse moyenne du trajet aller-retour?

x=12 (2 + 4) = 3;000 (INCORRECT) 21
2 +14 = 2;667 (CORRECT):I

Question sous jacente

: pa rquelle valeur un iquep ourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir la m ^emesomme des inverses

Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneMoyenne harmonique

I harmoniquen1 x 1+1x 2++1x n=nn X i=11x i, lesxi>0.I Exemple : eleve faisant le trajet domicile-lycee a la vitesse constante de

2 km=ha l'aller et4 km=hau retour.

Vitesse moyenne du trajet aller-retour?

x=12 (2 + 4) = 3;000 (INCORRECT) 21
2 +14 = 2;667 (CORRECT):I

Question sous jacente

: pa rquelle valeur un iquep ourrait-on remplacer toutes les valeurs pour avoir la m ^emesomme des inverses

Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneLiens entre les 3 types de moyenne,f-moyenne Soitffonction continue strictement monotone sur l'intervalleIIR.

Soitx1;;xnune serie de valeurs deI.

Il existe un unique elementmdeItel quef(m) =1n

n X i=1f(xi).Preuve existence: min i=1;;nf(xi)1n n X i=1f(xi)maxi=1;;nf(xi)donc 1n n X i=1f(xi)2f(I). Preuve unicite:fest injective.mest appelef-moyenne desx1;;xnet l'on am=f11n n X i=1f(xi):Question sous jacente: pa rquelle valeur unique p ourrait-onremplacer tous lesxipour avoirla m ^emesomme des f(xi)?

Sif(x) =x, la moyenne est arithmetique

Sif(x) =Ln(x), la moyenne est geometrique

Sif(x) = 1=x, la moyenne est harmonique.Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneLiens entre les 3 types de moyenne,f-moyenne Soitffonction continue strictement monotone sur l'intervalleIIR.

Soitx1;;xnune serie de valeurs deI.

Il existe un unique elementmdeItel quef(m) =1n

n X i=1f(xi).Preuve existence: min i=1;;nf(xi)1n n X i=1f(xi)maxi=1;;nf(xi)donc 1n n X i=1f(xi)2f(I). Preuve unicite:fest injective.mest appelef-moyenne desx1;;xnet l'on am=f11n n X i=1f(xi):Question sous jacente: pa rquelle valeur unique p ourrait-onremplacer tous lesxipour avoirla m ^emesomme des f(xi)?

Sif(x) =x, la moyenne est arithmetique

Sif(x) =Ln(x), la moyenne est geometrique

Sif(x) = 1=x, la moyenne est harmonique.Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

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Types de moyenneLiens entre les 3 types de moyenne,f-moyenne Soitffonction continue strictement monotone sur l'intervalleIIR.

Soitx1;;xnune serie de valeurs deI.

Il existe un unique elementmdeItel quef(m) =1n

n X i=1f(xi).Preuve existence: min i=1;;nf(xi)1n n X i=1f(xi)maxi=1;;nf(xi)donc 1n n X i=1f(xi)2f(I). Preuve unicite:fest injective.mest appelef-moyenne desx1;;xnet l'on am=f11n n X i=1f(xi):Question sous jacente: pa rquelle valeur unique p ourrait-onremplacer tous lesxipour avoirla m ^emesomme des f(xi)?

Sif(x) =x, la moyenne est arithmetique

Sif(x) =Ln(x), la moyenne est geometrique

Sif(x) = 1=x, la moyenne est harmonique.Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyenneLiens entre les 3 types de moyenne,f-moyenne Soitffonction continue strictement monotone sur l'intervalleIIR.

Soitx1;;xnune serie de valeurs deI.

Il existe un unique elementmdeItel quef(m) =1n

n X i=1f(xi).Preuve existence: min i=1;;nf(xi)1n n X i=1f(xi)maxi=1;;nf(xi)donc 1n n X i=1f(xi)2f(I). Preuve unicite:fest injective.mest appelef-moyenne desx1;;xnet l'on am=f11n n X i=1f(xi):Question sous jacente: pa rquelle valeur unique p ourrait-onremplacer tous lesxipour avoirla m ^emesomme des f(xi)?

Sif(x) =x, la moyenne est arithmetique

Sif(x) =Ln(x), la moyenne est geometrique

Sif(x) = 1=x, la moyenne est harmonique.Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAIdee de base

Types de moyennePositions respectives desf-moyennes

Sifstrictementc onvexeet d ecroissante, alorsm Ainsi, pourI=IR+, moyenne harmoniqueSifstrictementconcave et croissante , alorsm Ainsi, pourI=IR+, moyenne geometriqueCONCLUSIONS :

Soitx1;;xndes valeurs non toutes identiques dansIR+, alors min i=1;;nxinn X i=11x i(nY i=1x i)1n xmaxi=1;;nxi:Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAInvestigations graphiques

La methode d'ANOVAInvestigation par histogrammes

Contexte : Une

va riablequantita tiveYa expliquer par une ou plusieurs va riablesqualitative(s) Visualiser : la distribution deYpourchaque mo dalitede sva riables qualitatives.Résultats d'évaluation Note

Effectif

681012141618

0 20 40
60
80
100
moyenne=12

écart-type=2

Résultats d'évaluation

Note

Effectif

246810121416

0 20 40
60
80
moyenne=10 écart-type=2Jean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAInvestigations graphiques

La methode d'ANOVAInvestigation par Box-plot

Visualiser : la distribution deYpourchaque mo dalitede sva riables qualitatives.ABC 0 5 10 15 20

Résultats d'évaluation

Collège

Note moyenneJean VAILLANTComparaison de Moyennes et ANOVA

Introduction

Comparaison de moyennes et ANOVAInvestigations graphiques

La methode d'ANOVAContexte de l'ANOVA

ANOVA (

AN alysis O f V A riance)= m ethodede compa raisonde gr oupes.

Contexte : Une

va riablequantitative aexpliquer p arune ou plusieurs variables qualitative(s) app elee(s) facteur(s). I

Question:9? in

uencedes va riablesqua litativessur la va riable quantitative ? Exemple : resultats des evaluations d'un college a l'autre?I Remarque : si la variable qualitative n'a que deux modalites,quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40