Première ES - Fonction cube
4) Courbe de la fonction cube a) Courbe : On observe sur ce dessin que la courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère b) Explications:
I Définition et étude de la fonction cube
La fonction cube est impaire preuve : Notons g la fonction cube Soit x ∈ ℝ (car Dg=ℝ ) g(−x) = (−x)3 = −x×(−x)×(−x) = −x3 = −g(x) Ainsi g est impaire Remarque n°1 Si une fonction est impaire, alors son domaine de définition est symétrique par rapport à zéro Propriété n°2 Variations de la fonction cube La
EXERCICE 2B1 Dans chaque cas, tracer la courbe de la fonction
Notre Dame de La Merci FONCTION CUBE EXERCICES 2B CORRIGE – NOTRE DAME DE LA MERCI – Montpellier EXERCICE 2B 1 Dans chaque cas, tracer la courbe de la fonction f x x: 3 sur l’intervalle 2;2 - On rappelle que f est impaire - On donne le tableau de valeurs de f sur 2;2 : x 2 1,5 1 0,5 0,5 1 1,5 2 fx
LA FONCTION CUBE E02 - pagesperso-orangefr
LA FONCTION CUBE E02 EXERCICE N°1 On veut résoudre graphiquement l'équation 2x3−8=0 1) Tracer la courbe représentative de la fonction cube 2) Montrer que la résolution de l'équation donnée se ramène à résoudre l'équation x3=4
FONCTION CARRE FONCTION CUBE
Fonction cube Définie sur R par x H x3 Fonction impaire Si a < b, alors a3 < Fonction carré Définie sur R par x x2 Fonction paire Si alors a2 < b2 Si alors a2 > Interprétation graphique dans un repère orthogonal Fonction paire La courbe(C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Fonction impaire La courbeß est symétrique par
Chapitre 5 : Fonctions de référence
2 Sens de variation de la fonction cube Propriété : La fonction cube est croissante sur ℝ Tableau de variation x – ∞ + ∞ f(x) – ∞ + ∞ 3 Représentation graphique Définition : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cube est l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x;x3) quand x décrit ℝ
FONCTIONS : COURBES REPRÉSENTATIVES
Dans un repère (O;⃗i,⃗j) , la courbe représentative d’une fonction impaire admet l’origine du repère pour centre de symétrie Remarques : - La fonction inverse, la fonction cube et les fonctions linéaires sont impaires - La fonction racine carrée et les fonctions affines (non linéaires) ne sont ni paires, ni impaires
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE - Maths & tiques
- La fonction cube (représentée ci-contre) est une fonction impaire En effet : Si "($)=$;, on a : "(−$)=(−$);=−$; Donc "(−$)=−"($) Lorsqu’on trace la fonction cube, on constate que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère - On peut démontrer de la même manière que la
CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLÉ N° 3 TERMINALE STD2A
EXERCICE 1 : On considère la fonction cube f définie sur par f(x) = x3 et sa courbe représentative C dans un repère (O ; i , j ) du plan 1 La dérivée est f '(x) = 3x2 qui est positif sur donc cette fonction est croissante sur 2 Soit M un point d'abscisse x de la courbe C représentative de la fonction cube
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Fonction cube.
I) Définition
Soit ࢌ la fonction définie sur un Թ par :Exemples :
= 8 A L@ 6 9 A 7 L 6 9 L 569II) Etude de la fonction cube
1) Variations de f sur Թ La fonction ࢌ est strictement croissante sur Թ.
On peut reformuler le théorème ainsi :
Soit ࢇ et ࢈ deux nombres réels tels que ࢇ൏࢈ alors ࢌሺ ൏ࢌሺ࢈ሻ. Preuve. Soit deux réels ܽ et ܾ Tout d'abord montrons que ሺܽ െ ܾሻሺܽ En développant ሺܽ െ ܾሻሺܽ On a donc finalement :ሺࢇ െ ࢈ሻሺࢇ • Lorsque les deux nombres ࢇ et ࢈ ont le même signe : - Premier cas : on suppose ࢇ൏࢈.Alors ܽെܾ൏Ͳ et ܽ
Donc ሺܽ െ ܾሻሺܽ
On obtient donc ܽ
Donc finalement :
C'est-à-dire :
- Second cas: on suppose ࢇ൏࢈Alors ܽെܾ
Or ܾܽest positif comme produit de deux nombres négatifs. ܽ et ܾ donc :Donc ሺܽ െ ܾሻሺܽ
On obtient donc ܽ
Donc finalement :
C'est-à-dire :
Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserve leur ordre strict. • Lorsque les deux nombres ࢇ et ࢈ sont de signes différents : Si deux nombres sont de signes opposés, celui qui est négatif a son image négative, celui qui est positif a une image positive. Dans ce cas encore, la fonction cube préserve leur ordre strict.2) Tableau de variations
ݔ െλ 0 + 03) Tableau de valeurs
࢞ -100 -10 -5 -2 -1 0 1 2 5 10 1 00 ࢌሺ࢞ሻ -1 000 000 -1 000 -125 -8 -1 0 1 8 125 1 000 1 000 0004) Courbe de la fonction cube.
a) Courbe : On observe sur ce dessin que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. b) Explications: • La fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère: Soit ݔ un nombre réel, son opposé െݔ a pour image :donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻ
donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳሻൈሺെͳሻൈሺെͳሻൈݔൈݔൈݔ
donc ݂ሺെݔሻൌെͳൈݔ enfin ݂ሺെݔሻൌെ݂ሺݔሻ Conclusion : l'image de l'opposé de ࢞ est l'opposé de l'image de ࢞ Graphiquement cela a pour conséquence que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. • Comportement de la fonction lorsque les valeurs de ࢞ sont grandes1°) Images de nombres entiers naturels.
࢞ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ࢌሺ࢞ሻ 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 A partir de ces résultats, on peut donner quelques conjectures concernant la fonction cube : Quand ݔ devient grand, ݂ሺݔሻ semble devenir très grand aussi2°) Images de puissances de 10.
On utilise la règle de calcul : ൫ࢇ
Par exemple, pour ݔൌͳͲ
ൌ ͳͲͲͲͲ ൌ ݀݅ݔ݈݈݉݅݁, on obtient: Là encore la conjecture semble aussi se confirmer3°) Images des nombres négatifs.
Exemple : ݂ሺെʹሻൌሺെʹሻൈሺെʹሻൈሺെʹሻൌͶൈሺെʹሻൌെͺ
On constate (voir tableau précédent au 1°) que ݂ሺെʹሻ est l'opposé de ݂ሺʹሻ.
Ce fait se généralise à tous les nombres négatifs, en vertu de la remarque suivante : Soit ݔ un nombre réel, son opposé െݔ a pour image :donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻ
donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳሻൈሺെͳሻൈሺെͳሻൈݔൈݔൈݔ = െݔ
ainsi lorsque ࢞ devient très petit ࢌሺ࢞ሻ l'est aussi.IV) Les problèmes que posent la fonction cube.
La fonction cube est présente au programme de la classe de première économique et sociale. A l'instar de la fonction racine carrée, elle présente deux difficultés spécifiques : • Un problème lié à la recherche d'antécédents ;• Un problème lié à la notion de nombre dérivé.(Voir les fiches de cours sur la notion
de dérivé) La compréhension de ces problèmes est essentielle pour un élève de première. Ils sont les précurseurs de difficultés rencontrées dans le parcours des années suivantes sur l'étude de fonctions incontournables en mathématiques financières. Recherche d'antécédents pour la fonction cube.Soit ࢇ un nombre réel donné.
Il relève de la classe de seconde de connaître la définition d'antécédent du nombre ܽ
On peut se convaincre de l'existence d'un antécédent du nombre ܽ cube à l'aide de la représentation graphique de celle-ci : On constate ici l'existence d'un antécédent de la valeur ܽThéorème :
Soit ࢇ un nombre réel et ࢞
un antécédent de ࢇ par la fonction cube. Alors, quel que soit ࢞ un nombre réel, si ്࢞࢞ , alors ࢌሺ࢞ሻ്ࢇ.En d'autres termes, ࢞
est l'unique antécédent de ࢇ. Preuve. Soit ݔun nombre réel. Si ݔ്ݔ , alors ݔ൏ݔ ou ݔݔ Comme la fonction cube est strictement croissante, ݂ሺݔሻ൏݂ሺݔ ሻ ou, respectivement, ሻ. Donc ݂ሺݔሻ ് ݂ሺݔ ሻ, donc ݂ሺݔሻ ് ܽ Notation. L'unique antécédent de ܽ par la fonction cube est noté ξܽ Attention ! Ce nombre est du même signe que ܽExemples : comme ݂ሺ͵ሻൌʹ, on peut affirmer que ʹ admet ͵comme antécédent par
݂. En vertu du théorème précédent, c'est le seul.