[PDF] Planche no 5 Convexité Corrigé

Planche no 5 Convexité Corrigé

Convexité Corrigé Exercice no 1 La fonction f : x 7→ x2 est convexe sur Rcar deux fois dérivable sur Rde dérivée seconde positive sur R Par suite, pour tous réels α et β et pour tout réel λ ∈ [0,1], ((1 −λ)α+λβ) 26(1 −λ)α +λβ Soient ((x1,y1),(x2,y2))∈ E2 et λ ∈ [0,1] ((1 −λ)x1 +λx2) 2 a2 + ((1 −λ)y1

CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ : exercices

Tale Maths Complémentaires Continuité et convexité Exercices Exercice 5 − Étude de fonction Soit f la fonction définie sur [0;10]par f(x)=(2−x)e2x−1 1 Déterminer les variations de f sur [0;10]puis dresser son tableau de variations

Rappels sur la dérivabilité Compléments et convexité

EXERCICES 17 octobre 2020 à 19:37 Rappels sur la dérivabilité Compléments et convexité Définition EXERCICE 1 À l’aide de la représentation graphique ci-contre de la fonction f, remplir le tableau suivant :

LMSC Exercices sur la continuité et la convexité TES

LMSC Exercices sur la continuité et la convexité TES Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 1 Soit :???? v????3+ u????2+ t????+ s la fonction définie sur ℝ a) Dresser le tableau de variations de b) Démontrer que l’équation (????)= r admet une solution unique ????0 sur l’intervalle ]− s ; r]

Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions

Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 5 1 Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions continues, dérivables Fonctions usuelles Convexité Objectifs : Savoir utiliser les propriétés des fonctions continues sur un intervalle de

Mathematiques - Niveau L1 Tout le cours en fiches

Convexité 96 Fiche 36 Convexité 96 Équations différentielles linéaires du 1er ordre 100 Exercices 315 Corrigés 323 Partie 3 Analyse Suites 367

OPTIMISATION ET ANALYSE CONVEXE

∗∗∗Exercices plus difficiles, soit à cause de certains calculs à mener à bien, soit simplement en raison d’un degré de maturité plus grand que leur résolution requiert Comme tous les exercices de mathématiques, ceux présentés ici ne seront pro-fitables au lecteur-étudiant que si celui-ci les travaille, un crayon à la main, sans

Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

Préambule Pratique d’un cours polycopié Le polycopié n’est qu’un résumé de cours Il ne contient pas tous les schémas, exercices d’application, algorithmes ou compléments prodigués en classe

Exercices MPSI - MP

Partie 1 Exercices MPSI Sansprécisionssupplémentaires,K désigneR ouC,nestunentiernatureletIestunintervalle deR d’intérieurnonvide 1 Théoriedesensembles

ANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

Chapitre 1 EXERCICES 1 7 Différentielleetapproximationaffine Exercice 1 22 —SoitflafonctiondéfiniesurR parf(x) = x3 3x2+6xetsoitaunréelquelconque 1

[PDF] ensemble convexe exercices corrigés

[PDF] tp mps sciences et aliments

[PDF] mps sciences et art maths

[PDF] démontrer qu'une fonction est croissante sur un intervalle

[PDF] science et cosmétologie enseignement d exploration

[PDF] montrer qu'une fonction est croissante terminale s

[PDF] montrer qu'une fonction est croissante seconde

[PDF] démontrer qu'une fonction est croissante sur un intervalle donné

[PDF] tp mps svt

[PDF] site de recherche de personne gratuit

[PDF] comment espionner quelqu un sur facebook

[PDF] fonction cube definition

[PDF] comment espionner quelqu un a distance

[PDF] recherche renseignement sur une personne

[PDF] tableau de signe fonction cube

Planche no5. Convexité. Corrigé

Exercice n

o1

La fonctionf:x?→x2est convexe surRcar deux fois dérivable surRde dérivée seconde positive surR. Par suite, pour

tous réelsαetβet pour tout réelλ?[0,1],

Soient((x1,y1),(x2,y2))?E2etλ?[0,1].

((1-λ)x1+λx2)2 = (1-λ)?x21 a2+y21b2? +λ?x22a2+y22b2? ?(1-λ) +λ(car1-λ?0etλ?0) =1.

On a montré que pour tous((x1,y1),(x2,y2))?E2etλ?[0,1],(1-λ)(x1,y1)+λ(x2,y2)?E. Donc,Eest un convexe

deR2. a-ab -bE

Exercice n

o2

Soient(x,y)?B2puisλ?[0,1].

N((1-λ)x+λy)?N((1-λ)x) +N(λy) =|1-λ|N(x) +|λ|N(y) = (1-λ)N(x) +λN(y) ?(1-λ) +λ(car1-λ?0etλ?0) =1.

On a montré que pour tout(x,y)?B2et toutλ?[0,1],(1-λ)x+λy?Bet on a donc montré queBest un convexe de

E.

Exercice n

o3

1)Soientxetydeux réels strictement positifs tels quex?y.

•m=x+y

2?y+y2=y. Donc,m?y.

•m-g=x+y

2-⎷xy=x-2⎷xy+y

2=? x-⎷y?2

2?0. Donc,g?m?y.

•g=⎷xy?⎷x×x=x. Donc,x?g?m?y.

c ?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr 1 hest la moyenne arithmétique de1xet1yavec1y?1x. D"après ce qui précède,1y?1g=? 1 x×1y?1h?1xet donc x?h?g?yet finalement x?h?g?m?y.

2)Soientx1, ...,xnnréels strictement positifs oùn?2. La fonctiont?→lntest concave sur]0,+∞[car sa dérivée

seconde, à savoirt?→-1 t2, est strictement négative sur]0,+∞[.

On en déduit que

1 nln(x1)+...+1nln(xn)?ln?1nx1+...+1nxn? ou encore ln(n⎷x1...xn)?ln?x1+...+xnn? ou enfin n⎷ x1...xn?x1+...+xnn.

Exercice n

o4

1) Inégalités deHölderet deMinkowski.

1ère solution.Soient(p,q)?]0,+∞[2tel que1

p+1q=1etxetydeux réels positifs. L"inégalité est immédiate quand

x=0ouy=0. Dorénavant,xetysont strictement positifs. Par concavité de la fonction ln sur]0,+∞[

ln(xy) =ln(x) +ln(y) =1 pln(xp) +1qln(xq)?ln?1pxp+1qxq? et doncxy?xp p+xqqpar croissance de la fonction ln sur]0,+∞[.

2ème solution.Soit(p,q)?]0,+∞[2tel que1

p+1q=1puisxetydeux réels positifs. L"inégalité est immédiate quand y=0. Soity > 0fixé.

Pourx?0, on posef(x) =xp

p+yqq-xy. Puisquep > 1, la fonctionfest dérivable sur[0,+∞[et?x?0,f?(x) =xp-1-y. f admet donc un minimum enx0=y1/(p-1)égal à f ?y1/(p-1)?=yp(p-1) p+yp/(p-1)q-y1/(p-1)y=yp/(p-1?1p+1q-1? =0.

Finalement,fest positive sur[0,+∞[et donc

?x?0,?y?0,xy?xpp+yqq. b)PosonsA=n? k=1|ak|petB=n? k=1|bk|q. SiA(ouB) est nul, tous lesak(ou tous lesbk) sont nuls et l"inégalité est vraie. On suppose dorénavant queA > 0etB > 0. D"après la question a), n k=1|ak|

A1/p×|bk|B1/q?n?

k=1? |ak|ppA+|bk|qqB? =1pAn k=1|ak|p+1qBn k=1|bk|q=1pA×A+1qB×B=1p+1q=1, et donc n? k=1|ak||bk|?A1/pB1/q=? n? k=1|ak|p?

1/p?n?

k=1|bk|q? 1/q . Commen k=1a kbk ?n? k=1|ak||bk|, on a montré que ?((ak)1?k?n,(bk)1?k?n)?(Rn)2,n k=1a kbk n? k=1|ak|p?

1/p?n?

k=1|bk|q? 1/q (Inégalité deHölder). Remarque.Quandp=q=2, on a bien1p+1q=1et l"inégalité deHölders"écrit n k=1|akbk|?? n? k=1|ak|2?

1/2?n?

k=1|bk|2? 1/2 (inégalité deCauchy-Schwarz). c ?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr c)Soit((ak)1?k?n,(bk)1?k?n)?(Rn)2. D"après l"inégalité deHölder, on a n k=1(|ak|+|bk|)p=n? k=1|ak|(|ak|+|bk|)p-1+n? k=1|bk|(|ak|+|bk|)p-1 n? k=1|ak|p?

1/p?n?

k=1(|ak|+|bk|)(p-1)q? 1/q n? k=1|bk|p?

1/p?n?

k=1(|ak|+|bk|)(p-1)q? 1/q n? k=1|ak|p? 1/p n? k=1|bk|p?

1/p))?

n? k=1(|ak|+|bk|)p?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2