CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ : exercices

Exercice 1-Fonction polynôme

Soitfla fonction définie sur[-5;5]parf(x) = 2x3+ 3x2-12x+ 1.

1. Déterminer le sens de variation defsur[-5;5]puis dresser son tableau de variation.

2. Démontrer que l"équationf(x) = 25admet une unique solution notéeαsur l"intervalle[-5;5].

3. Déterminer à la calculatrice une valeur arrondie au centième près deα.

Exercice 2-Étude d"une fonction à partir d"un tableau de variation Soitfune fonction définie sur l"intervalle[-3;5]dont voici le tableau de variations : x f -32 5 66
-4-4 -1-1

1. Justifier que l"équationf(x) = 0n"admet pas de solution dans l"intervalle[2;5].

2. Démontrer que l"équationf(x) = 0admet une unique solution dans l"intervalle[-3;2].

3. En déduire le signe def(x)sur l"intervalle[-3;5].

Exercice 3-Continuité et TVI

Soitfune fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau de variations defest donné ci-dessous :

x f -31 5+∞ 22
1 -1-1

1. (a) La fonctionfest-elle continue sur]-3;+∞[?

(b) Donner deux intervalles oùfest continue mais non monotone. (c) Donner deux intervalles oùfest continue et strictement monotone.

2. (a) Déterminer le nombre de solutions de l"équationf(x) = 0.

(b) L"équationf(x) = 1admet-elle une unique solution?

3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas le savoir :

(a)f?(-2)×f?(0)<0. (b)f?(-2)×f?(3)>0. (c) L"équationf?(x) = 0n"a pas de solution sur]-3;5[. (d) L"équationf?(x) = 0n"a pas de solution sur]5;+∞[.

Exercice 4-Une fonction polynôme de degré5

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x5-5x4etCsa courbe représentative.

1. Justifier quefest deux fois dérivable surRpuis que pour tout réelx,f??(x) = 20x2(x-3).

2. Dresser en justifiant le tableau de signes def??(x)surR.

3. En déduire l"existence d"un unique point d"inflexionAdont on précisera les coordonnées.

4. Étudier enfin la convexité de la fonctionfsurR.

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Exercice 5-Étude de fonction

Soitfla fonction définie sur[0;10]parf(x) = (2-x)e2x-1.

1. Déterminer les variations defsur[0;10]puis dresser son tableau de variations.

2. Démontrer que l"équationf(x) = 0admet une unique solutionαsur[0;10], puis donner une valeur approchée à10-2

près deα.

3. En déduire le signe def(x)sur[0;10].

4. Étudier la convexité defsur[0;10].

5. Préciser les coordonnées des éventuels points d"inflexion de la courbe def.

Exercice 6-Avec des graphiques

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentativeCfd"une fonctionfdéfinie et dérivable surR.

0 1 2-1-2-3-4-5-6-7-80

-1 -2 -31 23456
xy 0 ?A B C D EF G C f

1. La tangente à la courbeCfau pointF(1;2)passe par le point de coordonnées(0;-2). Déterminerf?(1).

2. La tangente à la courbeCfau pointDa pour équationy=-2x-1.

(a) Tracer la tangente à la courbeCfau pointD. Le pointDest-il un point d"inflexion de la courbeCf?

(b) Déterminerf?(-1).

3. Déterminerf?(-5)etf??(-5).

4. Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles<,=ou>est approprié :

5. Une des quatre courbesC1,C2,C3etC4ci-dessous est la courbe représentative de la dérivéef?et une autre la courbe

représentative de la dérivée secondef??.

Déterminer la courbe qui représente la dérivéef?et celle qui représente la dérivée secondef??.

0 1 2-1-2-3-4-5-6-70

-1 -2 -31 234
xy

00 1 2-1-2-3-4-5-6-70

-1 -2 -31 234
xy 0

CourbeC1CourbeC2

0 1 2-1-2-3-4-5-6-70

-1 -2 -31 2345
xy

00 1 2-1-2-3-4-5-6-70

-1 -2 -31 2345
xy 0

CourbeC3CourbeC4

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Exercice 7-Une autre étude de fonction

Soitfla fonction définie surRparf(x) = (3x+ 1)e2x+1-1.

1. Déterminer les variations defsurRpuis dresser son tableau de variation.

2. Démontrer que, sur l"intervalle?

-5 6;1? , l"équationf(x) = 0admet une unique solutionα, puis donner une valeur approchée deαà0,01près.

3. En déduire le signe defsur?

-5

6;+∞?

4. Déterminer la dérivée secondef??defsurR, et en déduire la convexité defsurR.

5. La courbe représentativeCfdefadmet-elle des points d"inflexion?

Si oui, donner les coordonnées du (ou des) point(s) d"inflexion deCf.

Exercice 8-Bac Métropole 2014

On considère une fonctionfdéfinie surRet deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction

f ??, dérivée seconde de la fonctionf, dans un repère orthonormé. Les points suivants appartiennent à la courbe : A(-2 ; 0); B(0 ;-6)et C(3; 0).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-30

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -71quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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