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DEVOIR MAISON N° 1

Suites Pour le lundi 16 octobre 2006

Établir une fiche synthèse sur les suites arithmétiques et les suites géométriques (définition, propriété fondamentale, sens de variation, limite, calculatrice, somme des termes consécutifs...)

Application

On se propose de choisir entre les deux contrats d"embauche suivants commençant le 1 er janvier 2002.

Contrat n°1 : le salaire annuel est 14000 € pour la 1ère année et il augmente de 640 € chaque

année.

Contrat n°2 : le salaire annuel est 13000 € pour la 1ère année et il augmente de 5% chaque

année.

On note pour tout entier1n³ :

Un le salaire annuel en euros de la n-ième année d"embauche pour le contrat 1 ; Vn le salaire annuel en euros de la n-ième année d"embauche pour le contrat 2.

1. Calculer U

2 , V2 , U3 , V3.

2. a) Démontrer que la suite U est arithmétique et que la suite V est géométrique.

b) Exprimer U n et Vn en fonction de n.

3. On pose pour tout entier

1n³, Wn = Vn - Un .

a) Démontrer que 1

1650 (1,05) 640.n

n nW W- b) Démontrer que la suite W est croissante. c) Calculer W

8 et W9 en arrondissant à l"euro.

4. Déduire des résultats de la question 3. l"année à partir de laquelle le salaire annuel du

contrat 2 est supérieur à celui du contrat 1.

5. Calculer le cumul des salaires perçus à l"issue de 10 années dans chacun des contrats,

comparer les résultats. - 2 -

CORRECTION DU DEVOIR MAISON N° 1

Suites Pour le lundi 16 octobre 2006

1) Le salaire annuel est de 14 000 € la première année pour le contrat 1.

Puisqu"il subit une augmentation annuelle de 640 €, le loyer annuel

2u payé lors de la 2ième

année sera :

2u = 14 000 + 640 = 14 640.

De même,

3u = 14 640 + 640 = 15 280.

Le salaire annuel est de 13 000 € la première année pour le contrat 2. Puisqu"il subit une augmentation annuelle de 5 %, le loyer annuel

2v payé lors de la 2ième

année sera :

2v = 13 000 + 13 000 ´ 5

100 = 13 000(())1 + 5

100 = 13 000 ´ 1,05 = 13 650.

De même,

3v = 13 650 ´ 1,05 = 14 332,50.

2) a) Chaque année le salaire annuel du contrat 2 subit une augmentation de 5 %, c"est-à-

dire qu"il est multiplié par 1,05.

On a donc pour tout

n ³ 1 : 11,05n nv v+= ´. La suite V est donc une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme

113000v====.

Chaque année le salaire annuel du contrat 1 subit une augmentation de 640 €, c"est-à-dire qu"on lui ajoute 640.

On a donc pour tout n ³

1 : 1640n nu u+= +.

La suite

U est donc une suite arithmétique de raison 640 et de premier terme

114000u====.

b) D"après la question précédente : pour tout n ³³³³ 1 : ()()11 14000 640 1u n r n= + - ´ = + ´ -13360 640nun= -= -= -= -. ( )1

1nv q-= ´

113000

n nv

1,051,051,051,05

3) a) ()()()()111 1 1614,050n n n n n nnnnn nnw w v u vv vuu uv v++ + ++- -- = - - - = - = --.

D"où,

10,05 640 0,05 13000 1,05 640

n nv 1

1650 1,05 640

n n nw w b) Pour tout entier 1n³, ( )

11,05 1 car 1,05 1

n-³ ³. Alors

1650 1,05 650

n-´ ³, et, par suite, ( )

1650 1,05 640 10

n-´ - ³.

Par conséquent,

10n nw w+- > pour tout entier 1n³.

Donc, la suite W est strictement croissante.

c) ( )

7650 1,05 640 = ´ -8188 eurosw» -» -» -» -.

8650 1,05 640 = ´ -987 eurosw»»»»

4) Le salaire annuel du contrat 2 est supérieur à celui du contrat 1 lorsque nw est positif.

Comme la suite W est strictement croissante, que

80w, alors le salaire

annuel du contrat 2 est supérieur à celui du contrat 1 à partir de la 9

ème année.

- 3 - n U V W

1 14000 13000 -1000

2 14640 13650 -990

3 15280 14 332,50 -948

4 15920 15 049,13 -871

5 16560 15 801,58 -758

6 17200 16 591,66 -608

7 17840 17 421,24 -419

8 18480 18 292,31 -188

9 19120 19 206,92 87

10 19760 20 167,27 407

11 20400 21 175,63 776

12 21040 22 234,41 1 194

13 21680 23 346,13 1 666

14 22320 24 513,44 2 193

15 22960 25 739,11 2 779

16 23600 27 026,07 3 426

17 24240 28 377,37 4 137

18 24880 29 796,24 4 916

19 25520 31 286,05 5 766

20 26160 32 850,35 6 690

21 26800 34 492,87 7 693

5) Le cumul des salaires perçus à l"issue de 10 années pour le contrat 1 est égal à

1 2 10...u u u+ + +.

La suite U étant arithmétique,

()( )1 10

1 2 1010... 5 14000 19120 1688002u uu u u´ ++ + + = = ´ + =.

Par conséquent,

le cumul des salaires perçus à l"issue de 10 années pour le contrat 1 est de 168 800 euros Le cumul des salaires perçus à l"issue de 10 années pour le contrat 2 est égal à

1 2 10...v v v+ + +.

La suite V étant géométrique,

10

1 2 10 11 1,05... 1635131 1,05v v v v-+ + + = ´ »-.

Par conséquent,

le cumul des salaires perçus à l"issue de 10 années pour le contrat 2 est de 163 513 euros On remarque que, sur les 10 premières années, il vaut mieux signer le contrat 1.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46