LES DIVISEURS Indique quels sont les diviseurs du produit 5
d dont 9 est un diviseur: _____ e dont 4 est un diviseur: _____ Trouve tous les diviseurs de chaque nombre 32 = 1 x 32 = 2 x 16 = 4 x 8 Les diviseurs de 32 sont 1, 2, 4, 8, 16 et 32 a 42 : _____ b 100 : _____ c 36 : _____ Dans cette liste, trouve les nombres qui sont: Liste : 14 – 20 – 24 – 30 – 35 – 40 – 55 – 60 - 96 a
Notions de diviseurs et multiples - famillefuteecom
est un multiple de 6 ℎ) 5 est un diviseur de 25 *) 52 est divisible par 13 +) 64 est un diviseur de 8 Exercice 3 : Déterminer si les nombres suivants sont
Fiche n°5 – Multiples et diviseurs
Si a est multiple de b alors tout multiple c de a est aussi multiple de b Diviseurs d'un entier naturel Dans a = b x c b est diviseur de a ou a est divisible par b c est diviseur de a ou a est divisible par c Tout entier naturel est diviseur de 0 et de lui-même Il est aussi divisible par 1 A retenir Si c est un diviseur de a et de b alors
Arithmétique et calcul du pgcd - Mathovore
5 est un DIVISEUR de 30 signifie que 30 peut s’écrire 5 k où k est un nombre entier (30 = 5 6) On dit aussi : 30 est un MULTIPLE de 5 7 est un diviseur de 70 car 70 peut s’écrire 7 k où k est un nombre entier (70 = 7 10) dit aussi : 70 est un multiple de 7 Exercice modèle Déterminer tous les diviseurs de 36
MATH : EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
a) 12 est un multiple de 24 b) 105 est divisible par 5 c) 72 est divisible par 18 d) 108 est divisible par 4 e) 6 divise 96 f) 3 est un diviseur de 51 g) 13 est un multiple de 13 h) 13 est un diviseur de 13 i) 1 est un diviseur de 7 2018
CHAPITRE 1 : Propriétés et priorité des opérations
3 est un diviseur de 15 b est un diviseur de a 5 est un diviseur de 15 c est un diviseur de a 15 est un multiple de 3 a est un multiple de b 15 est un multiple de 5 a est un multiple de c Fiche à retenir C1 n° 2 (suite) 2 PROPRIETES DE LA DIVISIBILITE Cherchons : Coupons en morceaux pour mieux déguster le tout
Notion d’arithmétique et l’Ensemble des nombres entiers I) L
On dit aussi que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a remarque : tout nombre entier naturel non nul a admet au moins deux diviseurs, 1 et a ex : 12 = 4 3 = 1 12 = 6 2 4, 3, 1, 12, 6 et 2 sont des diviseurs de 12 par contre 5 n’est pas un diviseur de 12 car 12 5 IN 3)Critères de divisibilité
AKARMIM L’ARITHMETIQUE
1- Montrer que tout diviseur commun de =2 J+3 et =5 J+1 est un diviseur de 13 2- Déterminer tous les diviseurs commun de et 3- Déterminer les valeurs de J pour lesquels ∧ =13 Définition : On dit que deux entier relatifs et sont premiers entre eux si ∧ =1 5) L’algorithme d’Euclide Théorème :
Chapitre 2 : Diviseurs et multiples – Exercices de révisions
Athénée Royal Y Vieslet Nom : Marchienne-au-Pont Prénom :
« Rappels » de 6e Exercices interactifs Le reste de la
• 15 est aussi un multiple de 3 • 3 est donc aussi un diviseur de 15 • Il ne faut pas confondre « un diviseur » (comme 5 et 3 qui sont diviseurs du nombre 15) et « le diviseur » (comme 7 qui est le diviseur dans la division 46 ÷ 7) Critères de divisibilité • Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair
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Larithmtiue A.KARMIM 1 IHH I) REPPEL 1) Divisibilité dans . Définition : Soient et deux entiers relatifs tels que - ; on dit ue lentier relatif divise sil eiste un entier relatif tel que ; on écrit : . On dit que est divisible par ou est un multiple de Définition : Si et on dit que est un diviseur commun de et Si et , on dit que est un multiple commun de et . Propriété : Etant donnés des entiers relatifs non nuls. On a les assertions suivantes : T où et sont des entiers relatifs quelconques. Application : Soient - et 1- Montrer que tout diviseur commun de et divise 3. 2- Déterminer tous les diviseurs communs de et Propriété : T 2) Division Euclidienne Propriété : Considérons et deux entiers relatifs tels que - ils existent un entiers relatif et un entier naturel tels que : où - Lentier sappelle : Le divisé Lentier sappelle : Le diviseur Lentier sappelle : Le quotient Lentier sappelle : Le reste Exercice 1 : Montrer que le reste de la division euclidienne de ( par ne peut pas être égale à 2. Exercice 2 : a) Montrer ue tout nombre premier scrit de la forme ou b) Linerse est-il vraie ? 3) Les nombres premiers Définitions On dit ue lentier est un diviseur effectif de lentier relatif si et et On dit uun entier relatif non nul est premier sil est diffrent de et sil nadmet pas de diiseurs effectifs. Remarque : Un nombre premier admet exactement deux diviseurs positifs 1 et .
Larithmtiue A.KARMIM 2 Si est un nombre premier positif alors nadmet pas de diviseurs effectifs de même nadmet pas de diiseurs effectif do : est aussi premier ; Pour ltude des nombres premiers on se contente dtudier les nombres premiers positifs. Propriété : Soit un entier naturel non nul différent de et non premier, le plus petit diviseur de diffèrent de 1 est un nombre premier Propriété : Soit un entier naturel non nul, diffèrent de 1 et non premier, il existe un nombre premier ui diise lentier et qui vérifie Remarque : Cette propriété nous permet de déterminer si un nombre est premier ou non. Corolaire : Si un entier nest diisible par aucun entier premier et qui vérifie alors est premier. Les nombres premiers inferieurs à 100 Application : Montrer que le nombre 2003 est premier. Théorème : Lensemble des nombres premiers est infini. 4) Plus grand diviseurs commun Définition : On dit que le nombre est le plus grand diviseur commun de deux entiers relatifs et lorsque divise et divise et uil ny a pas dautre plus grands diiseurs de ces deu nombres. On note Propriétés : Si alors Exercice : 1- Montrer que tout diviseur commun de - et est un diviseur de 13 2- Déterminer tous les diviseurs commun de et . 3- Déterminer les valeurs de pour lesquels . Définition : On dit que deux entier relatifs et sont premiers entre eux si . Théorème : Soit un entier naturel et un entier naturel non nul on a : où - on a : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Larithmtiue A.KARMIM 3 Soient et deux entiers naturels (- on a : si - alors : si - alors : si - alors : . si - alors : si - on arrête le processus. Et daprs la proprit prcdente : car : Propriété : Soient et deux entier naturels non nuls. Le plus grand diviseur commun de et est le dernier reste non nul dans les divisions euclidiennes successives. Application : 1- Trouver le - --. 2- Déterminer tous les diviseurs commun de - et --. Propriété : Soient et deux entier relatifs non nuls et , on a les diviseurs communs de et sont les diviseurs de . On peut dire que : 6) Le plus petit multiple commun. Définition : On dit que le nombre entier naturel est le plus petit multiple commun de deux entiers relatifs et lorsque est un multiple de et de et uil ny a pas dautre plus petit multiple non nuls de ces deu nombres. On note : Propriétés : Si alors ; et Propriété : Considérons et deux entiers relatifs. Si et un multiple commun de et alors . 7) la congruence modulo . Définition : Soient et deux entiers relatifs ; et un entier naturel non nul. on dit que : est congrue à modulo si . On écrit : Propriété : Si alors et ont le même reste de la division euclidienne sur Propriété fondamentale : on dit que la relation de congruence est réflexive. ), on dit que la relation de congruence est symétrique. on dit que la relation de congruence est transitive. Définition : Puisque la relation est de congruence est réflexive, symétrique et transitive on dit que la relation de congruence est une
Larithmtiue A.KARMIM 4 Propriété et définition : Soit un entier naturel non nul. Si et alors ; ; On dit ue la relation de congruence est compatible aec laddition dans ; On dit que la relation de congruence est compatible avec la multiplication dans Corolaire : Si alors pour tout dans on a : Applications Déterminer le reste de la division euclidienne de par 9 Déterminer le reste de la division euclidienne de - par 13 Montrer que pour tout entier naturel : - est divisible par 7 Montrer que pour tout entier naturel, est divisible par 6 Montrer que si nest pas un multiple de 7, alors : est un multiple de 7 V Montrer que pour tout entier naturel, le nombre ( est divisible par 6 8) Les classes Définition : Soit un entier naturel non nul. Lensemble des entiers relatifs ui ont le mme reste de la division euclidienne par sappelle et se note : ou Définition : Soit un entier naturel non nul. On définit dans les deux lois : : On pose : La multiplication : On pose : Exemple : Dans : - Exercice : 1- Dresser les tables des opérations de 2- Résoudre dans les équations : a) - b) c) - 9) Décomposition Théorème : Chaque entier naturel non nul scrit dune faon uniue comme le produit des facteurs premiers comme suite : Chaque entier relatif non nul scrit dune faon uniue comme le produit des facteurs premiers comme suite : où Propriété 1: Soit un entier relatif dont la décomposition est de la forme : ; un entier non nul diise lentier si et seulement si à une décomposition de la forme : où - Soit un entier relatif dont la décomposition est de la forme : et un diviseur de le nombre des valeurs possibles de est On en déduit que : Propriété 2: Si est un entier, le nombre des diviseurs de est : - Application : 1- Décomposer le nombre 2975 en facteurs des nombres premiers
Larithmtiue A.KARMIM 5 2- Déterminer le nombre des diviseurs de 2975. 3- Déterminer tous les diviseurs positifs de 2975. Propriété 3 : Soit un entier relatif dont la décomposition est de la forme : ; un entier est un multiple de si et seulement si où 9.1 Le P.G.C.D de deux nombres. Soient et deux entiers ; si est un diviseur commun de et alors : -- On en déduit que le est lentier où Propriété : Si et deux entiers alors Exercice : 1- Décomposer les nombres - -- en produit des facteurs premiers 2- Déterminer le P.G.C.D de - -- 3- Déterminer tous les diviseurs communs de - -- 9.2 Le P.P.C.M de deux nombres. Soient et deux entiers ; si est un multiple commun de et alors : On en déduit que le est lentier où Propriété : Si et deux entiers alors Propriété : Soient et deux entiers relatifs non nuls, on a les assertions suivantes : Exercice : Si et alors : . II) THEOREMES PRINCIPAUX. 1) Théorème de Bézout : Théorème 1 : Soient et des entiers relatifs non nuls : Preuve : On suppose que On a et donc tel que : et donc : et puisque alors ( On suppose que On a : car ( et
Larithmtiue A.KARMIM 6 Théorème 2 : Soient et des entiers relatifs non nuls : Preuve : 1- Si alors si - alors - si - alors - 2- Si (même raisonnement) 3- On suppose que tel que - daprs lalgorithme dEuclide on a si - alors : si - alors : si - alors : . si - alors : si - on arrête le processus . Et daprs la proprit prcdente : car : et - On obtient : où et où et On répète le processus et à chaque fois on montre que : cette opération est valable pour tous les reste en particulier pour le dernier reste qui est donc : . Remarque Dans lcriture le couple nest pas uniue. - on a - et -- La réciproque du thorme nest pas raie : --- mais - Théorème (Théorème de Bézout) Soient et des entiers relatifs non nuls : Cest le thorme prcdent. On suppose que Soit on aura : donc par suite donc ) et donc Exemples : - car : -- -- car -- Application : Lutilisation de lalgorithme dEuclide pour dterminer les coefficients de Montrons que : -- et déterminons et dans tels que -- on a : -- et - donc --- Dautre part : -- - -- -
Larithmtiue A.KARMIM 7 ---- Donc : - Considérons dans ( luation et détérminons une solution particulière de . On a donc daprs le thorme de ; il existe et tels que : donc admet une solution. On pose et on obtient : -- - Donc : -- et - Do : donc le couple est une solution de luation . 2) Application du théorème de Bézout : Théorème de Gauss Soient et des entiers relatifs non nuls : Preuve : On a : daprs le thorme de Bzout : do Et puis que alors (où ) donc do et donc . Remarque : La condition dans le théorème de Gauss est indispensable ; mais et Théorème Soient et des entiers relatifs non nuls : Preuve : On a : donc ils existent et tels que : et puisque alors : Donc : (on multipliant par ) et par suite Remarque : La condition dans le théorème précèdent est indispensable ; - et - mais -. Propriétés : Soient et des entiers relatifs non nuls : ( Preuve : On suppose que donc : Par le produit on obtient : ; do après développement on obtient : et donc donc et daprs Bzout On suppose que donc Do donc et donc
Larithmtiue A.KARMIM 8 On suppose que et on montre par récurrence que : Pour la propriété est vraie. On suppose que la propriété est vraie pour On montre uelle est raie pour On a : donc et daprs on a : do Donc si alors pour tout dans . On suppose que donc et dprs le thorme de Bzout Donc : donc et par suite Est un résultat immédiat de . Théorème : (fondamental) Luation : admet une solution si et seulement si Preuve : On suppose que alors : et on a : Cest-à-dire : donc luation admet comme solution où In versement : On suppose que : admet une solution , donc : puisque : alors donc donc : . Théorème : Si le couple est une solution de luation : alors, lensemble des solutions de est : Démonstration : On pose : et on montre que Montrons que : il suffit de montrer que le couple est solution de luation : On a : Donc le couple (pour ) est solution : do : Inversement : On suppose que le couple Donc es solution de luation do ; or : est une solution de luation , donc : donc (différence membre à membre) Soit on a : Donc : (*) (- On conclut que : et puisque : alors (daprs T. Gauss) Donc et par suite : (*) do : Par suite : où en remplaçant on obtient :
Larithmtiue A.KARMIM 9 C.Q.F.D. Exemple : Considrons luation - 1- Montrer luation admet une solution. 2- Déterminer une solution particulière de 3- Rsoudre luation Solution : - et -( 1- On a : - et donc luation admet une solution dans (. 2- En utilisant lalgorithme dEuclide on obtient et - - - - On a donc : - - Finalement : - et donc le couple - est une solution particulière de do - -- -- 4) La congruence modulo ,complément. Théorème : Soient et des entiers relatifs non nuls. et et on a : Preuve : On suppose : , donc donc et comme Alors ( Daprs thorme de Gauss) donc : On suppose que : donc ( donc ( Donc : do donc . Propriété : Preuve : Ce sont des résultats immédiats du théorème précédent. 5) Le P.G.D.C et le P.P.M.C de plusieurs nombres. Définition : Soient des entiers relatifs non nuls, le plus grand entier naturel qui divise en même temps tous les nombres sappelle le plus grand diiseur commun des nombres et se note : Théorème : Soient des entiers relatifs non nuls ; on a :
Larithmtiue A.KARMIM 10 Exemple : -- Théorème Si alors telle que : Preuve : par récurrence Définition : On dit que les entiers relatifs non nuls sont premiers entre eux si Remarque : Les entiers relatifs non nuls sont premiers entre eux ne veut pas dire que les entiers sont premiers entre eux deux à deux. Exemple : et sont premiers entre eux. Théorème Si si et seulement si telle que : Définition : Soient des entiers relatifs non nuls, le plus petit entier naturel qui est multiple en même temps tous les nombres sappelle le plus grand diiseur commun des nombres et se note : 6) Propriétés des nombres premiers. Théorème : Si et sont des nombres premiers positifs alors ils sont premier entre eux. T Si est premier alors il est premier avec tout nombre entier non nul tel que Preuve : En exercice. Remarque : La réciproque de nest pas rais ; et 9 sont premiers entre eu mais aucun deu nest premiers. Propriétés : - - - Preuve : Résultat du théorème de Gauss. 7) Le petit théorème de Fermat. Théorème : Si est un nombre premier et un entier relatif non nul et pas divisible par alors : est divisible par cest-à-dire ou encore :
Larithmtiue A.KARMIM 11 Preuve : Soient un nombre premier et un entier naturel tel que On a premier et donc et par suite dautre part : Donc et comme alors daprs T. Gauss Montrons que On a dprs la formule de binme On a : Donc Et comme pour alors On a donc : . Montrons par récurrence sur (On prend pour le moment ) que Pour - la propriété est vraie car --- On suppose que la propriété est vraie pour cest-à-dire Montrons que le propriété est vraie pour cest-à-dire On a daprs les uestions prcdente . Or daprs H.R donc : . Donc Si - alors - o Si - on aura - et - car -- o si alors est impaire et et on en déduit que et finalement Do le thorme. Exemple : Montrons que : - - On a : daprs le petit thorme de Fermat : Donc Dautre part : Donc - et et puisque - et sont premiers alors - Finalement : - Exercices Soient et deux nombres premiers distincts ; montrer que Considérons dans luation et soit son ensemble de solution : 1- Montrer que - 2- Montrer que - 3- Dterminer lensemble . Remarque : La rciproue du thorme de Fermat nest pas raie : - mais 25 nest pas premier.
Larithmtiue A.KARMIM 12 III) SYSTEMES DE NUMERATION 1) Théorème et définition Théorème : Soit un entier naturel tel que : Chaque entier naturel non nul scrit dune faon uniue de la forme : Où : les sont des entiers naturel - et - Preuve : En utilisant la division Euclidienne de sur on obtient : où - o Si on sarrte et o si , On effectue une autre division Euclidienne de sur on obtient : et par suite . Si on sarrte et Si non on continue le processus Notation : Si on écrit : cette criture sappelle lcriture de lentier dans la base Exemple : Le nombre - scrit - car ---- Essayons dcrire dans la base 6 : On a : - - - - --- Donc --- Cette succession de divisions Euclidiennes se représente comme ci-contre : 2) Les opérations dans une base de numération 2.1 La somme : On peut effectuer la somme dans une base donnée par deux façons différentes : La décomposition : -- - Calcul direct avec le retenu
Larithmtiue A.KARMIM 13 2.2 Le produit : Il est prfrable deffectuer le produit en utilisant le calcul direct avec le retenu car la dcomposition risue dtre longue : Pour vérifier : -- - --- 2.3 Opérations dans différentes bases : Pour effectuer des opérations dans différentes base on développe les deux nombres dans la base 10 ; on effectue lopration et on crit le rsultat dans la base demande. Exemple : effectuer dans la base 9 -- -- -- -- IV) CRITERES DE DIVISIBILITE DES NOMBRES 5,25,3,9,11 ET 4 Théorème : Soit un entier naturel non nul tel que : --- où - ; on a : - - - - --- - - - - - - - - Preuve en exercice : OU EST UN NOMBRE PREMIER. Théorème : Pour tous entiers relatifs non nuls et ; Preuve : On suppose que : , alors dprs T. Bzout Donc : donc et finalement : On suppose que : ) donc donc donc : et daprs T. Bzout inerse
Larithmtiue A.KARMIM 14 Théorème : Si est un nombre premier positif alors tout élément - admet un inverse dans - Preuve : Soit un nombre premier positif ; on pose - - étant, premier donc ne diise aucun nombre de lensemble - do Et daprs la proprit prcdente : Donc : Do : et comme donc
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