Manipuler les vecteurs du plan

I. Généralités sur les vecteurs

Exemple 1 : On considère le triangle ABC suivant :

1.Donner son image par la translation de vecteur ⃗u

2.Donner son image par la translation de vecteur ⃗v3.Donner son image par la translation de vecteur ⃗w

uExemple 2 : Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan »ABC 2/12

Exemple 3 :

I.1. Définitions

Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B est appelé translation de vecteur ⃗AB Propriété : Lorsque A et B sont distincts, le vecteur AB est caractérisé par :

Sa direction (la droite (AB))

Son sens (de A vers B)

Sa longueur (la distance AB)

Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 3/12

Exemple 4 :

Exemple 5 :

I.2. Opérations sur les vecteurs

I.2.1. de ⃗u à λ⃗u⃗

uetλ⃗uont : la même direction le même sens si

λ>0, des sens opposés si λ<0

des longueurs différentes

Ces deux vecteurs sont dits colinéaires.

Si λ=-1, ces deux vecteurs seront dits opposés. Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 4/12

Exemple 6 : Soient ⃗uet⃗v deux vecteurs du plan. Tracer 2⃗u, 2⃗v,-⃗u,

2⃗u, -3⃗v, 4⃗u

Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 5/12 I.2.2. Somme de deux vecteurs ⃗u+⃗vDéplacer un objet selon la translation de vecteur ⃗ upuis selon la translation de vecteur ⃗v, c'est comme le déplacer selon une translation de vecteur ⃗ u+⃗v. Remarque : ⃗u-⃗v=⃗u+(-⃗v)

Exemple 7 :

Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 6/12

Exemple 8 :

I.3. Relation de Chasles

La relation de Chasles permet les sommes de vecteurs et indique que :⃗AB+⃗BC=⃗ACExemple 9 :

Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 7/12

Exemple 10 :

Exemple 11 :

Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 8/12

II. Vecteurs et coordonnées.

II.1. Coordonnées d'un vecteur.

Soit (O;⃗i;⃗j) un repère du plan. On dit que⃗ua pour coordonnées(x;y)ssi : ⃗u=x⃗i+y⃗j •Deux vecteurs ⃗ u et ⃗v sont égaux ssi ils ont les même coordonnées. •Soit A (xA;yA) et B(xB;yB). Les vecteur ⃗AB a pour coordonnées : ⃗AB (xB-xA yB-yA)Exemple 12 : 1) Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 9/12

2) Placer les vecteurs précédents dans le repère suivant et vérifier graphiquement les

résultats obtenus

3) Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :

• -⃗CA•⃗

CA+⃗BG•⃗BF+2⃗AE

•⃗AD-3⃗CA

II.2. Vecteurs colinéaires

On a vu que ⃗

u et ⃗v sont colinéaires ssi il existe un réel λ tel que ⃗u=λ⃗v. Propriété : Deux vecteurs non nuls ⃗u(x y) et ⃗v(x' y')sont colinéaires ssi xy' -yx'=0.

Démonstration : Soient ⃗u(x

y) et ⃗v(x' y') deux vecteurs non nuls du plan. u et⃗vsont colinéaires il existeλ∈ℝ, ⃗u=λ⃗v (x y)=(

λx'

λy')

λ∗x' et y=λ∗y'

∗y'-y∗x'=λ∗x'∗y'-λ∗y'∗x'=0Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan »

10/12 Pour résoudre des problèmes de géométrie on pourra très souvent utiliser les

équivalences suivantes

Exemple 13 : Dire si les couples de vecteurs suivants sont colinéaires ou non

Exemple 14 :

Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 11/12

III. Vecteurs et géométrie

Cas n°1⃗AB=⃗CD ABDC est un parallélogramme

Cas n°2

⃗AB=⃗BC B est le milieu de [AC]

Cas n°3

⃗AB=⃗AC B et C sont confondus

Cas n°4

⃗AB=λ⃗CD (AB)//(CD)

Cas n°5

⃗AB=λ⃗AC A, B et C sont alignés Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 12/12 Exemple 15 : Compléter le tableau suivant : Maths Seconde séq2 "Géométrie» chap 3 " Manipuler les vecteurs du plan » 13/12

Exercices

Exercice 1 :

On considère le parallélogramme ABCD non aplati.

Soient R le point tel que⃗AR=5

2⃗AB et le point S tel que ⃗AS=5

3⃗AD

1.Faire une figure

2.Quelle conjecture pouvez-vous faire sur les points S, C et R ?

3.Montrer que

⃗SR=5

2⃗AB-5

3⃗AD

4.Montrer que

⃗SC=-2

3⃗AD+⃗AB

5.Les vecteurs ⃗SC et ⃗SRsont-ils colinéaires ? Les points S, C et R sont-ils

alignés ? Justifier vos réponses

Exercice 2 : On considère le repère

(O;⃗i;⃗j). Dans ce repère on considère les points A(-3;-2),

B(2;-1), C(3;4) et D(-2;3).

1.Montrer que le point C est l'image du point D par la translation de vecteur

⃗AB. En déduire la nature du quadrilatère ABCD

2.Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure des questions.

3.Le point J est le milieu du segment [AD]. Déterminez ses coordonnées.

4.Le point K est tel que

⃗JK=1

3⃗JC. Exprimer ⃗DB et⃗DK en fonction de

DJ et ⃗DC. Que peut-on en déduire ? Expliquer

5.Montrer que le point K a pour coordonnées

(-2 3; 5

3)6.Le point E est le centre du quadrilatère ABCD. Calculer le déterminant des

vecteurs ⃗DK et ⃗DE. Que peut-on en déduire ? Expliquer

7.Calculer les distances AB et AD. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère

ABCD ?

8.Calculer les distances AC et ED. En déduire l'aire du quadrilatère ABCD

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