LA DIVISION à VIRGULE - Miss Keating
Maths 8H La division avec virgules Prénom: TYPE 2 Voici la division qui sera notre exemple: 146 : 2,6 1° On transforme tout d’abord la division à virgule en division sans virgule en amplifiant le dividende et le diviseur autant que nécessaire pour ne plus avoir de virgule Dans
L’EMPLOI DE LA VIRGULE EN FRANÇAIS
Remarque: avec MAIS et CAR, l’emploi de la virgule est faultatif surtout si les éléments unis par MAIS et CAR sont brefs : Il est beau mais grand Je l’admie a elle est elle L’emploi de la virgule permet de mettre davantage en relief la proposition : Je suis fâchée, mais je ne lui en veux pas
DIVISION I) La division euclidienne Dividende → ← Diviseur
On place une virgule au quotient et on abaisse le chiffre des dixièmes Etc 168,75 = 25 x 6,75 + 0 On dit que 6,75 est le quotient exact de la division de 168,75 par 25 Autres exemples 1 : 5 = 0,2 35 : 6 ≈ 5,83 35 = 6 x 5,8 3+ 0,02 5,83 est un quotient approché à 0,01 près (c’est à dire 2 chiffres après la virgule )
La division La division euclidienne : Lorsque l’on divise
La division ? La division euclidienne : Lorsque l’on divise deux nombres entiers et que l’on décide de s’arrêter « avant la virgule », on dit que l’on effectue leur division euclidienne Effectuer une division euclidienne, c’est trouver deux nombres entiers: le quotient entier et le reste Exemple : problème 3(a) page 40 :
Évaluation en sixième : la division
Poser la division : Donner les ordres de grandeur de D et d Oui Non Choisir des OG efficaces Oui Non Calculer l'ordre de grandeur de q Oui Non Exactitude des calculs Oui Non Écriture en ligne cohérente Oui Non Lien entre l'OG du quotient et la place de la virgule Oui Non Calcul des produits avec un nombre à virgule
Division de nombres décimaux Théorie et exercices Page
Division de nombres décimaux Clé de correction Exercice 1 Source: http://ticfga ca/alphatic/default html Page 1
Didactique en pratique Multiplication et division
Pour les problèmes résolus avec une multiplication ou une division • Type de problème : les « proportion simple » sont plus faciles que les « problèmes de mesure » • Types de nombres utilisés : les nombres décimaux à virgule sont problématiques
Math 5 – Multiplication et division de nombres décimaux
faire effectuer la multiplication comme s’il s’agissait d’une opération avec des nombres entiers et de leur faire placer la virgule décimale seulement à la fin de l’opération Une autre difficulté courante est reliée à la division de zéros Les élèves trouvent souvent cela compliqué Leur rappeler que les zéros sont là pour
1 La division Euclidienne - ac-grenoblefr
Calcul mental : division (avec reste nul) , Divisions avec quotient et reste 1 c Utilisation d’une droite graduée si on multiplie 9 par 23 on dépasse 200, 23 n’est pas le bon quotient entier de la division euclidienne de 200 par 9 Remarque : on constate que 200=9×23-7 , 23 : ce n’est pas la preuve de la division mais on dit que
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Multiplication et division
1) Typologie des problèmes
On peut représenter les problèmes sous forme de schéma avec les lettres A, B, C, D. L'inconnue est A, B, C ou D.
Situation de proportion simple avec présence de l'unitéProblème de multiplication
" J'ai collé 32 timbres sur chaque page d'un album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l'album ? »1 ࢻ 32
14 ࢻ D
D = B x C
Problème de partage
" la valeur d'une part » = division partition, on partage un nombre par un autre. " J'ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y a le même nombre de timbres sur chaque page. Combien y a-t-il de timbres sur chaque page ? »1 ࢻ C
14 ࢻ 448
D = B x C ou D = (B x C) + r (r compris entre 0 et B)Problème de groupement
" le nombre de parts» = division quotition, on cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre. " J'ai collĠ 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ? »1 ࢻ 14
B ࢻ 448
D = B x C ou D = B x C + r (r compris entre 0 et C) Situation de proportion simple sans présence de l'unitĠA ࢻ B
C ࢻ D
Ces problèmes sont résolus en faisant intervenir des procédures liées à la proportionnalité.
objet A ࢻ (C fois plus ou C fois moins) ࢻ objet BSituation de produit de mesures
Problème de multiplication " Quel est le nombre de carreaux d'une page quadrillée de 25 sur 60 carreaux ? »
Modélisation : tableau à double entrée.
Problème de division
" Jean a 4 chemises différentes. Combien doit-il acheter de pantalons pour avoir 20 façons de s'habiller ? »Modélisation : équation (20 = 4 * x)
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2) Procédures de résolution
Problèmes de multiplication
Proportionnalité simple avec présence de l'unité J·ML MŃOHPp 6 NRvPHV GH 4 ŃUM\RQV. Combien ai-je de crayons ? ༃ Utiliser un support ou un schéma ࢻ avec des bâtons par ex. ༄ Faire des additions ࢻ 6 + 6 + 6 + 6 = 24 ༅ Faire des multiplications ࢻ 6 x 4 = 24 J·ai acheté 48 boîtes de 6 crayons. Combien ai-je de crayons ? ༃ Faire des additions (procédure coûteuse !) en regroupant les termes ༄ Faire une multiplication ࢻ 48 x 6 = 288 J·ai acheté 48 boîtes de 34 crayons. Combien ai-je de crayons ? ༄ Faire une multiplication avec éventuellement une calculatrice ࢻ 48 x 34 = 1632Produit de mesures
Combien puis-je composer de menus différents avec 3 entrées, 4 plats et 2 desserts ? ༃ Écriture de tous les couples possibles ༄ Arbre de dénombrement ༅ Tableau à double entrée ༆ Raisonnement (à chaque entrée on associe 4 plats, ce qui donne 4 x 3, etc.)Problèmes de division
On range 273 ±XIV dans des boîtes de 12. Combien de boîtes peut-on remplir ?༇ Pose de la multiplication à trou ࢻ c'est souvent une première étape vers une procédure plus élaborée
༉ Essais par approches successives ࢻ 12 x 30 puis 12 x 25 puis 12 x 15 puis 12 x 20... pour se rapprocher de 273.
༊ Quotients partiels au hasard ࢻ l'élève fait un essai de multiple puis retire ce multiple au dividende. Il recommence
་ Quotients partiels au hasard avec des multiples de 10. ༌ Utilisation de la division.X et Y petits
X grand et Y petit
X et Y grands
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Reconnaître si un nombre est un multiple de n
༃ Chercher si le nombre dans la table de multiplication " prolongée » ༄ Essayer des nombres k tels que n x k soit égal au nombre cherché ༅ Diviser le nombre donné par n pour voir si le reste est nul ༆ Utiliser une propriété connue ࢻ les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5, etc.3) Variables didactiques
Pour tous les problèmes : - la familiarité avec le contexte Pour les problèmes résolus avec une multiplication ou une divisionͻ Type de problème : les " proportion simple » sont plus faciles que les " problèmes de mesure ».
ͻ Types de nombres utilisés : les nombres décimaux à virgule sont problématiques.ͻ Taille des nombres
ͻ Outils de calculs disponibles ou non
Pour les problèmes résolus avec une divisionͻ Edžistence ou non d'un reste
4) Erreurs et difficultés fréquentes
Pour les problèmes avec des nombres entiers uniquementͻ Erreur dans le choix de la procédure de résolution : due au contexte ou à l'énoncé, quand certains mots prêtent à
ͻ Erreur dans l'exécution de la procédure ou dans l'interprétation de calculs effectués
ͻ Erreurs de calcul
Pour les problèmes avec des nombres à virguleͻ Difficulté à faire intervenir la multiplication : dans des problèmes du type " Un kilo de sucre coûte 5,70 Φ. J'ai acheté
0,735 kilos de sucre. Combien ai-je payé ? », les élèves ont du mal à voir qu'il faut multiplier 5,70 par 0,735.
ͻ Difficulté lorsque " la division ne s'arrête pas » : c'est le cas de 12/13 par exemple. Il faut donner une réponse
forcément imprécise.ͻ Diviser un entier par un nombre à virgule n'est pas au programme de primaire. Il faut trouver de nouvelles procédures
pour ce type de problèmes (ex : Combien de fois je peux avoir 9,25 dans 74 ? Au lieu de diviser simplement 74 par 9,25).
Difficultés dans les calculs de la multiplication ͻ Distributivité, commutativité, associativité de la multiplicationͻ Techniques opératoires :
- les tables ne sont pas parfaitement mémorisées - la décomposition en base 10 n'est pas automatiqueDidactique en pratique
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- les retenues sont mal gérées (certains élèves les traitent comme celles des additions) - les calculs ne sont pas faits dans l'ordre - le " décalage » qui correspond à l'existence d'un 0 n'est pas pris en compte.Difficultés dans les calculs de la division
ͻ La diǀision fournit deux résultats qu'il faut interpréter : le quotient et le resteͻ Techniques opératoires :
- il faut considérer le dividende " de gauche à droite » - la division exige d'effectuer simultanément des divisions, multiplications, soustractions - si on ne pose pas les soustractions partielles, le calcul devient très complexe - les chiffres écrits pour le quotient sont provisoires et peuvent changer !Difficultés dans la notion de multiple
ͻ Confusion multiple et multiplication : 24 est-il un multiple de 3 ? ࢻ 24 x 3 ͻ Si Y est multiple de X, cela ne veut pas dire que X est multiple de Yͻ Extension abusive des propriétés de certains nombres : 18 est multiple de 4 car 8 est dans la table de 4.
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