Chapitre 2 1 24 Produits matriciels
1 1 Produit de matrices carr´ees On a l’habitude de faire des produits de nombre; Par exemple 2×3 = 6 et on est habitu´e aux propri´et´s suivantes • il n’y a pas de diviseur de O: si un produit de deux nombres est nul c’est que l’un de ces deux nombres est nul • le produit de deux nombres est commutatif: 2×3 = 3×2
Définition et opérations sur les matrices
e) Produit de deux matrices Soient p,, trois entiers naturels non nuls Soient une matrice Aa ij, de format mn, et Bb , ij, une matrice de format np On définit la matrice Cc ij, , de format mp,, produit de la matrice Aa ij, par la matrice Bb ,B ij, que l’on note par : , 1 n j k b ¦ ATTENTION : On ne peut donc multiplier A par B
Définition et opérations sur les matrices
e) Produit de deux matrices Soientm, p et q trois entiers naturels non nuls Soient une matrice A a= (i j,) de format (m n,) et B b= (i j,)une matrice de format (n p,) On définit la matriceC c= (i j,), de format(m p,), produit de la matrice A a= (i j,)par la matrice B b= (i j,)que l’on note C AB= par : § ¤ § ¤, , , 1 1, , 1, n i j i k k
Chapitre 13 : Matrices
Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure Démonstration Pour les matrices carrées, cela découle directement de la dé nition Pour les matrices diagonales, prenons deux matrices diagonales (de taille n) A et B Le terme d
Synthèse 3 : Les matrices
2 1 Addition de deux matrices Définition Soient deux matrices A = aij et B = bij toutes deux de dimension ()np, ; On additionne terme à terme pour obtenir : AB+= aij +bij de dimension ()np, Propriétés Soient A, B et C trois matrices de dimension (np,) et 0 la matrice (np,) dont les éléments sont tous égaux à 0
CALCUL MATRICIEL
Propriétés : Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille a) Commutativité : A + B = B + A b) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C) 2) Produit d'une matrice par un réel Définition : Soit A une matrice et k un nombre réel La produit de A par le réel k est la matrice, notée kA, dont les coefficients sont
Chapitre VIII Calcul matriciel
2 Produit de matrices, composition des applications linéaires Soient , , trois espaces vectoriels de dimension respective , , Soient (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗), (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) les bases respectives de , et Soient et deux applications linéaires On considère
Exo7 - Cours de mathématiques
MATRICES 2 MULTIPLICATION DE MATRICES 5 Exemple 8 A= 0 1 0 3 B = 4 1 5 4 C = 2 5 5 4 et AB = AC = 5 4 15 12 2 4 Propriétés du produit de matrices Malgré les difficultés soulevées au-dessus, le produit vérifie les propriétés suivantes :
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Les matrices - Déterminants33
Notes rédigées par Laurent ZIMMERMANN??????À l"aide des notions de produits vectoriel et mixte, nous généralisons le concept
de déterminant au cas des matrices carrées 33.?????https://clipedia.be/videos/determinant-3x3 Cette séquence exploite les notions de produit vectoriel et de produit mixte. https://clipedia. Une matriceAde dimension 33 peut être vue comme étant composée de trois vecteurs colonnes. En notant ces vecteurs ~u,~vet~w: u=0 @u x u y u z1 A ~v=0 @v x v y v z1 A ~w=0 @w x w y w z1 A !A=0 @u xvxwx u yvywy u zvzwz1 A Ces trois vecteurs ne sont dès lors autres que les transformations par cette matriceA des trois vecteurs de base~1x,~1yet~1z: 0 @u x u y u z1 A =A0 @1 0 01 A0 @v x v y v z1 A =A0 @0 1 01 A0 @w x w y w z1 A =A0 @0 0 11 A Le produit vectoriel~v~west un vecteur~Sdont l"orientation est donnée par la règle de la main droite et dont la valeur est égale à l"aire de la surface du parallélogramme construit sur les vecteur ~vet~w. 2 Une règle mnémotechnique a été imaginée pour le calculer : .écrire le produit vectoriel sous la forme d"un tableau dont la première rangée (ligne ou colonne) contient les trois vecteurs de base et dont les rangées suivantes contiennent les composantes des vecteurs ~vet~w: v~w=1x~1y~1z
v xvyvz w xwywz ou~v~w=1xvxwx~1yvywy~1zvzwz
.multiplier chaque vecteur de base par le déterminant 22 qui subsiste dans le tableau après avoir éliminé le reste de sa ligne et de sa colonne; .additionner les trois résultats, en changeant le signe de celui obtenu avec~1y:v~w=~1x(vywzvzwy)~1y(vxwzvzwx) +~1z(vxwyvywx)Les composantes(v...w...v...w...)sont respectivement les aires des projections sur
les plansyz,xzetxydu parallélogramme construit sur~v,~w. Le produit mixte~u(~v~w)est un scalaire. Sa valeur est le volume du parallélépi- pède (oblique) construit sur les vecteurs ~u,~vet~w:u(~v~w) =~u~S=Sucosj=Sh=VN.B. : glisser la face supérieure du parallélépipède droit parallèlement à elle-même
le déforme en un autre parallélépipède, oblique, mais volume identique. De par la définition du produit scalaire, le produit mixte~u(~v~w)s"obtient natu- rellement à partir du tableau de calcul du produit vectoriel ~v~woù les vecteurs de base sont remplacés par les composantes du vecteur ~u. u(~v~w) = u xvxwx u yvywy u zvzwz =ux(vywzvzwy)uy(vxwzvzwx) +uz(vxwyvywx) 3 Le tableau qui résulte de cette opération est le déterminant de la matrice A. det(A) = u xvxwx u yvywy u zvzwz Il peut être positif, négatif ou nul. Il en va donc de même pour le volume du parallé-lépipède. La situation est déterminée par l"anglejcompris entre~uet~S=~v~w..Si 0j<90, le volume est positif. C"est le cas lorsque~u,~vet~wforment un
trièdre dextrogyre (cf.règle de la main droite). .Si 90