Limite d’une fonction Approche intuitive de la notion de limite

I - LIMITE D’UNE FONCTION But : donner un sens précis à la notion de limite ℓ d’une fonction lim x→a f(x) = ℓ où a,ℓ ∈ ℝ On rappelle que ℝ= ℝ∪ {−∞,+∞} Donc, ici, a et ℓ sont ﬁnis ou inﬁnis Notion de voisinage : on appelle voisinage de

LIMITE DUNE FONCTION - AlloSchool

LIMITE D’UNE FONCTION Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 2 Propriété :Si et sont confondues sur un intervalle pointé de centre 0 et si

Chapitre 8 : LIMITES dune FONCTION

Chapitre 8 : LIMITES d’une FONCTION 3) Limite d’une fonction composée Fonction composée : rappel Onconsidèredeuxfonctionsf etg Onnote ulafonctioncomposée: (x) = f g ) Rappel: ilfautvériﬁerque,pourtoutx deD g, ona: g(x) ∈D f Exemple: u(x) = s x2 −4x +3 x −2 TS, lycée les eaux claires

Limite d’une fonction Approche intuitive de la notion de limite

Limite d’une fonction Approche intuitive de la notion de limite Dans ce chapitre, nous avons besoin d’un outil mathématique appelé « Limite » qui est une notion fort nécessaire pour la compréhension et la pratique des mathématiques Pour introduire cette notion, je commence par un exemple géométrique :

Limite d’une fonction réele de variable réelle

Remarque 2 9 Il existe des fonctions qui n’ont pas de limite en a; c’est le cas de la fonction inverse, qui n’a pas de limite en 0 2 4 Limite d’une fonction à droite (ou à gauche) La fonction inverse n’a pas de limite en 0, car si x s’approche de 0, les nombres 1 x ne rentrent pas dans le cadre de la déﬁnition2 7

LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1)

I Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite finie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction admet pour limite # en +∞ si (’) est aussi proche de # que l’on veut pourvu que ’ soit suffisamment grand Exemple : La fonction définie par (’)=2+ +, a pour limite 2 lorsque x tend vers +∞

Limites de fonctions

B Approche d'une limite infinie en l'infini On considère la fonction définie sur par Question 1 [Solution n°2 p 30] D'après la courbe représentative de la fonction, conjecturez sa limite en On se souvient de la définition rigoureuse d'une limite infinie d'une suite - p 39

Limites et continuité de fonctions

2 Limites d'une fonction Limite en l'in ni, limite en un réel Limite à gauche, limite à droite Lien entre fonctions et suites Opérations sur les limites Branches in nies Ordre et limites 3 Continuité d'une fonction Continuité en un point Prolongement par continuité Opérations Continuité sur un intervalle 4 Fonctions trigonométriques

D´eveloppements limit´es d’une fonction `a deux variables

D´eveloppements limit´es d’une fonction a deux variables 1 D´eveloppements limit´es d’une fonction `a deux variables Ici, on va traiter seulement le cas de l’ordre 1 et le cas de l’ordre 2 au voisinage du point (a,b)

hosseini@maths-stan.fr PPaaggee 11 CCoouurrss :: LLiimmiitteess

LLiimmiittee dd""uunnee ffoonnccttiioonn

AApppprroocchhee iinnttuuiittiivvee ddee llaa nnoottiioonn ddee lliimmiittee

Dans ce chapitre, nous avons besoin d"un outil mathématique appelé " Limite » qui est une notion

fort nécessaire pour la compréhension et la pratique des mathématiques. Pour introduire cette notion, je commence par un exemple géométrique : Considérons un polygone régulier de n côtés (

5³n), inscrit dans un cercle C. Soit nP ce

polygone. À l"aide du logiciel " Geogebra », j"ai tracé

5P, 12P et 30P :

Il semble que

30P soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un

polygone et non pas un cercle).

Or, si l"on trace

5000P, on aura du mal à distinguer le polygone de son cercle circonscrit C.

On dit alors que la limite de ces polygones est le cercle circonscrit C et mathématiquement, on

écrit :

CPnn=+¥®lim

EExxeemmppllee ((dd""aapppprroocchhee àà ll""aaiiddee dd""uunnee ffoonnccttiioonn)) 11:: Soit la fonction f définie sur ℝ{}2-- par ( )2 42
+-=x xxf. f n"est pas définie en x = -2. Evaluons f sur des nombres de plus en plus proches de 2-=x : f (-1,99) = 993, - ; f (-1,999) = 9993,- ; f (-1,9999) = 99993,- ; f (-1,99999) = 999993,- f (-2,01) = 014, - ; f (-2,001) = 0014,- ; f (-2,0001) = 00014,- ; f (-2,00001) = 000014,-

On constate qu"en évaluant f

autour de -2, on se rapproche de plus en plus de 4-. Limite de f (x), pour x tendant vers -2, est égale à -4 et on écrit ()4 2-= -®xflim x.

hosseini@maths-stan.fr PPaaggee 22 CCoouurrss :: LLiimmiitteess

II-- LLiimmiittee ffiinniiee dd""uunnee ffoonnccttiioonn eenn xx00 ((aavveecc xx00 ffiinnii ))

Soit f une fonction définie sur ℝ ou une partie de ℝ.

Soit x

0∈ℝ, le but de cette partie de ce chapitre est de savoir comment f se comporte, lorsque x se

rapproche de x

0 (où x0 est une valeur finie).

DDééffiinniittiioonn 11::

Un voisinage V d"un réel x0 , est un intervalle ouvert de la forme ][fDxxÌ+-aa00; ou ][][fDxxxxÌ+È-aa0000;; ( suivant que x0 est inclus dans Df ou non) , avec a> 0.

EExxeemmpplleess ::

22)) Les fonctions 1

22
-+x même si ces deux dernières fonctions sont définies sur ][][+¥È¥-,11, et sur ][][+¥È¥-,00,. II--11-- LLiimmiittee ffiinniiee eenn xx00 ((aavveecc xx00 ffiinnii)) Soit ℓ∈ℝ et f une fonction définie au voisinage de x0, , sauf peut-être en x0.

DDééffiinniittiioonn 22:: On dit que f tend vers ℓ, lorsque x tend vers x0 , si on peut rendre | f(x)- ℓ | "aussi

petit que l"on veut » à condition de prendre x " suffisamment proche de x0 ».On écrit alors :

®xf

0lim ℓ.

DDeeuuxxiièèmmee vvaarriiaannttee ddee llaa ddééffiinniittiioonn pprrééccééddeennttee

DDééffiinniittiioonn 33:: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0, sauf peut-être en x0, on

dit que f admet une limite réelle ℓ au point x0 si :

∀ℇ >0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, <-<00xxα ⇒ f(x)- ℓ<ℇ

RReemmaarrqquueess :: 11)) La définition précédente est valable, même si f n"est pas définie en x0 .

22)) ℇ est choisi arbitrairement.

IInntteerrpprrééttaattiioonn :: On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, ()=

®xf

0lim ℓ signifie que l"on peut

rendre la distance entre f(x) et ℓ aussi petite que l"on veut `a condition de prendre x "suffisamment proche de x 0".

hosseini@maths-stan.fr PPaaggee 33 CCoouurrss :: LLiimmiitteess

EExxeerrcciiccee 11:: Soit f une fonction définie sur ℝ par ()5=xf.

Soit x

0 un nombre appartenant à ℝ. Montrons que ()5

®xf

xxlim

SSoolluuttiioonn::

II--22-- LLiimmiittee àà ddrrooiittee,, lliimmiittee àà ggaauucchhee ddee xx00 II--22--11-- LLiimmiittee àà ddrrooiittee

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ][bx,0, où b est un nombre réel ou +∞.

DDééffiinniittiioonn 44:: On dit que f admet une limite réelle ℓ à droite de x0 si :

∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈][bx,0, <-<00xxα ⇒ f(x)- ℓ

On écrit alors : ()=

xf xxxx 0 0 lim ℓ, ou encore ()= +®xf xx 0 lim ℓ. RReemmaarrqquuee :: Cela signifie que x tend vers x0, mais tout en restant supérieur à x0. II--22--22-- LLiimmiittee àà ggaauucchhee

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ][0;xb, où b est un nombre réel ou -∞.

DDééffiinniittiioonn 55:: On dit que f admet une limite réelle ℓ à gauche de x0 si :

∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈][bx,0, -α 00<-On écrit alors : ()= xf xxxx 0 0 lim ℓ, ou encore ()= -®xf xx 0 lim ℓ. RReemmaarrqquuee :: Cela signifie que x tend vers x0, mais tout en restant inférieur à x0.

TThhééoorrèèmmee 11 ((aaddmmiiss)):: Soit f une fonction définie au voisinage V du réel x0 , alors on a l"équivalence

suivante : ()=

®xf

0limℓ ⇔⇔ ()=

xf xxxx 0 0 lim ℓ =()xf xxxx 0 0 lim II--33-- LLiimmiittee iinnffiinniiee dd""uunnee ffoonnccttiioonn Soit f une fonction définie sur son ensemble de définition D f .

DDééffiinniittiioonnss 66::

-- On dit que f est définie au vvooiissiinnaaggee VV de -- ∞∞, s"il existe un réel a tel que ][Ì¥-a,Df.

-- On dit que f est définie au vvooiissiinnaaggee VV de ++ ∞∞, s"il existe un réel a tel que ][Ì¥+;aDf.

hosseini@maths-stan.fr PPaaggee 44 CCoouurrss :: LLiimmiitteess

[PDF] Limite d’une fonction Approche intuitive de la notion de limite

LLiimmiittee dd""uunnee ffoonnccttiioonn

5³n), inscrit dans un cercle C. Soit nP ce

5P, 12P et 30P :

Il semble que

30P soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un

Or, si l"on trace

5000P, on aura du mal à distinguer le polygone de son cercle circonscrit C.

écrit :

CPnn=+¥®lim

On constate qu"en évaluant f

Soit x

0∈ℝ, le but de cette partie de ce chapitre est de savoir comment f se comporte, lorsque x se

0 (où x0 est une valeur finie).

DDééffiinniittiioonn 11::

EExxeemmpplleess ::

22)) Les fonctions 1

®xf

0lim ℓ.

22)) ℇ est choisi arbitrairement.

®xf

0lim ℓ signifie que l"on peut

Soit x

0 un nombre appartenant à ℝ. Montrons que ()5

®xf

SSoolluuttiioonn::

On écrit alors : ()=

®xf

0limℓ ⇔⇔ ()=

DDééffiinniittiioonnss 66::

EExxeemmpplleess ::

11)) Les fonctions xx1quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10