Division euclidienne Algorithme dEuclide

Algorithme d’Euclide François DE MARÇAY Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France 1 Division euclidienne : École élémentaire Soit Z l’anneau des nombres entiers naturels positifs ou négatifs, et soit N = Z + ˆZ le sous-ensemble des entiers qui sont positifs Déﬁnition 1 1

Mathématiques discrètes Algorithmes d’arithmétique

Mathématiques discrètes Algorithmes d’arithmétique Algorithme d’Euclide L’algorithme d’Euclide permet de déterminer le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers, ici « a » et « b » sont deux entiers naturels non nuls avec a > b : r = a b (reste de la division) Exemple : oui PGCD(78 ; 44) : 78 44 = 34 44 34 = 10 34 10 = 4

Division euclidienne Algorithme dEuclide

IREM et IUFM de Basse-Normandie Inspection de Mathématiques

Inspection de Mathématiques Académie de Caen Basse-Normandie Année 2009-2010 I) PGCD de deux entiers Algorithme d’Euclide dans l’Univers de la géométrie ainsi que dans l’univers de l’arithmétique II) Ouverture d’un problème par une transformation de l’énoncé

Tale S – Mathématiques (enseignement de spécialité) DS n°3

Déterminer par l'algorithme d'Euclide le pgcd de 2002 et 2015 Algorithme d'Euclide : 1 154 2015 2002 13 13 0 Donc pgcd (2002 ; 2015) = 13 Exercice 5 (4pts) On considère la suite (un) d'entiers naturels définis par : u0 = 2 un+1 = 8un + 1 Montrer que, pour tout n ≥ 1, le chiffre des unités de un est 7 Démonstration par récurrence :

exercices de mathématiques 3ème PGCD

Calculer le plus grand commun diviseur (pgcd) de 10 400 et 1 690 On calcule le pgcd des nombres 10 400 et 1 690 en utilisant l’algorithme d’Euclide 10 400 = 1 690 × 6+260 1 690 = 260 × 6 +130 260 = 130 × 2+0 Donc le pgcd de 10 400 et 1 690 est 130 3 Simpliﬁer la fraction 10 400 1 690 pour la rendre irréductible en indiquant la

Programmation sur TI : Algorithme d’EUCLIDE Identit´e de BEZOUT

Les commandes Input, Prompt, EﬀEcr, Output et Disp s’obtiennent `a l’aide de la touche prgm puis E/S La commande Frac s’obtient `a l’aide de math La commande partEnt (int) s’obtient `a l’aide de math puis NUM Programme n˚1 : Algorithme D’EUCLIDE D´ebut Variables : A,B et Dsont des entiers naturels non nuls

onctionsF mathématiques 1 Calcul du PGCD

onctionsF mathématiques Compte rendu de TP à rendre pour la semaine suivante dernier délai 1 Calcul du PGCD Le calcul du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est un algorithme classique Son implenta-tion e cace sur DSP est utilise pour la simpli cation de fraction Si l'algorithme initial d'Euclide

Exo7 - Cours de mathématiques

pgcd(600,124) = 4 La partie gauche est l’algorithme d’Euclide La partie droite s’obtient de bas en haut On exprime le pgcd à l’aide de la dernière ligne où le reste est non nul Puis on remplace le reste de la ligne précédente, et ainsi de suite jusqu’à arriver à la première ligne 600 = 124 4 + 104 4 = 600 6+124 (29)

Contrôle de mathématiques - Lycée dAdultes

pgcd et nombres premiers entre eux (4 points) 1) Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide le pgcd de 87 724 et 23 296 2) Montrer que les nombres a =7k +3 et b =2k +1 sont premiers entre eux pour tout entier k 3) On voudrait savoir pour quelles valeurs de l’entier n, la fraction q = 7n +6 3n +5 est irréductible

L'ALGORITHME D'EUCLIDE

Objectif :

Calcul du PGCD de deux nombres par l'algorithme d'Euclide.

Remarque préliminaire :

Dans toute l'activité, a et b sont deux entiers positifs tel que : a > b et b ne divise pas a. 1

ère

partie : Sur feuille

Pour calculer le PGCD de deux entiers a et b avec

l'algorithme d'Euclide, on utilise la succession d'opérations schématisée ci-contre.

Exemple : PGCD(36 ; 24)

a = 36 et b = 24

Le reste r de la division de 36 par 24 est 12

r = 12 en remplaçant : a = 24 et b = 12

Le reste r de la division de 24 par 12 est 0

r = 0 donc PGCD(36 ; 24) = 12 (le dernier reste non nul) Appliquer ce schéma pour trouver le PGCD de 38 et 14. 2

ème

partie : Avec le tableur

Ouvrir le fichier du tableur " Euclide » et réenregistrer-le en suivant les consignes du professeur.

L'objectif est dans cette partie de créer une feuille de calcul donnant le PGCD de deux nombres. Le tableau présentera les divisions successives effectuées dans l'algorithme d'Euclide.

Dans les cellules B1 et E1, se trouvent les nombres dont on cherche le PGCD. On retrouve ces nombres dans

les cellules A4 et B4.

1) a) Compléter la cellule C4 par une formule permettant de calculer le reste de la division du nombre inscrit dans

la cellule A4 par le nombre inscrit dans la cellule B4.

b) Appliquer l'algorithme d'Euclide pour compléter les cellules A5 et B5 par les formules qui conviennent.

c) La cellule C5 doit afficher le reste de la division du nombre inscrit dans la cellule A5 par le nombre inscrit

dans la cellule B5. Entrer la formule dans la cellule C5. d) Finir de compléter le tableau jusqu'à obtention du PGCD des deux nombres.

On pourra copier les formules vers le bas.

Dans quelle cellule retrouve-t-on le PGCD de 38 et 14 calculé dans la 1

ère

partie ? Expliquer.

2) En remplaçant dans les cellules B1 et E1, trouver le PGCD de 93 et 66 puis de 85 et 65.

Que peut signifier ici le message " #VALEUR ! » dans la cellule C7 ?

3) À l'aide du tableur, trouver les PGCD des couples de nombres suivants :

a) 19 110 et 61 710 b) 452 356 et 726 858 c) 217 309 365 et 30 107 000 Pourrait-on calculer le PGCD des nombres de la question c) à la main :-( ? 3

ème

partie : Prolongement

Entrer dans la cellule E5 la formule =SI(C5=0;C4;" ") et copier cette formule dans les cellules directement en

dessous de la cellule E5. Pouvez-vous expliquer ce que signifie cette formule ?

PGCD(a ; b) Trouver le reste r de la division de a par b r = 0 PGCD(a ; b) est égal au dernier reste non nul Remplacer : a par b b par r oui non

T1 T2 T3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

AIDES TABLEUR

T1 Dans la cellule C4, entrer la formule =MOD(A4;B4). T2 - Dans la cellule A5, entrer la formule suivante =B4 - Dans la cellule B5, entrer =C4 T3

Pour copier rapidement des formules :

- Sélectionner les cellules à copier. - Cliquer sans lâcher l e petit carré noir en bas à droite des cellules sélectionnées et faire glisser le curseur de façon à recouvrir les autres cellules dans lesquelles les formules doivent être copiées.

Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Division euclidienne Algorithme dEuclide

Algorithme d’Euclide - Département de Mathématiques d’Orsay

Mathématiques discrètes Algorithmes d’arithmétique