FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2) - Maths & tiques
fonctions polynômes du second degré Les coefficients a, x 1 et x 2 sont des réels avec *≠0 A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction qui s’écrit sous la forme # *#++,#+3 Par exemple, la fonction # 3#+−2#+1 est une fonction polynôme du second degré Méthode : Représenter
1 Fonctions polynôme de degré 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur Rpar f(x) = ax2+bx+c où a, b et c désignent des nombres réels avec a 6= 0 Cette écriture est la forme développée de f Remarque 1 Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré ou plus simplement fonction trinôme 1 2
Polyn mes du second degr - Free
Seconde Polynoˆmes du second degr´e (Exercices) Exercice 6-Utilisation de la propri´ete´ de sym´etrie de la parabole On consid`ere la fonction polynoˆme d´efinie sur Rpar f(x)=x2−4x +3 1 On consid`ere les deux points A et B de la parabole, ayant pour ordonn´ee c =3 Calculer les abscisses des points A et B 2
Fonctions polynomes du second degré - Meilleur en Maths
Fonctions polynomes du second degré Inéquations du second degré Déterminer les variations de f sur R De la première question, on déduit 2–f x = 1 4 x 2 2 Soit f x =− 1 4 x 2 2 2 a et b sont deux réels • Si −2≤a b soit 0≤a 2 b 2 alors a 2 2 b 2 2 Donc − 1 4 a 2 2 − 1 4
TES-cours Polynˆomes du second degr´e - Maths LFB
Soit la fonction polynome du second degr´e f d´efinie sur R par f(x) = ax2 +bx+c avec a 6= 0 La courbe repr´esentative de f est une parabole dont le sommet a pour coordonn´ees (α;β) avec α = −b 2a et β = f(α) On peut alors ´ecrire f sous forme canonique : f(x) = a(x−α)2 +β Tableau de variation :
FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES
Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde 2 Fonctions polynôme de degré 2 2 1 Définition Définition 3 Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur Rpar f : x → ax2+bx+c, où a,b,c sont trois nombres réels tels que a 6= 0 Exemple : f : x → 2x2 + x 3 +2 et g : x → −x2
Fonctions polynômes du second degré - Free
Dire qu’une fonction f, définie sur R, est une fonction polynôme du second degré signifie qu’il existe un réel non nul aet deux réels bet ctels que, pour tout réel x, f(x) = ax2 + bx+ c Exemples • La fonction carré est une fonction polynôme du second degré • La fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = (2x−1)2 −4 est une fonction
SECOND DEGRÉ (Partie 1) - Maths & tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques SECOND DEGRÉ (Partie 1) I Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur par une expression de la forme : f(x)=ax2+bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0 Remarque :
Équation du second degré - Parfenoff org
Équation du second degré I) Définition Une équation du second degré est de la forme : ² E L Ù avec a 0 II) Discriminant Le réel ² F Ý se note ∆ et s’appelle le discriminant du trinôme : ² E E On a donc : ; = d l E p² ∆ Ý Û h Exemples : • Calculer le discriminant de 3 ² – 5 E 1 :
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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
Chapitre 2/2
Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2Exemple :
La fonctiondéfinie par
=2 -2 +2 est une fonction du second degré. En effet, elle s'écrit aussi sous la forme ⟼ =2 -2 +2 =2 -4 =2 -8. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 2.Les coefficients ,
et sont des réels avec ≠0. A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction qui s'écrit sous la forme ⟼Par exemple, la fonction ⟼3
-2+1 est une fonction polynôme du second degré. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ parL'équation
=0 possède deux solutions (éventuellement égales) : = et appelées les racines de la fonction polynôme. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ par La droite d'équation = avec = est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction. Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée.Vidéo https://youtu.be/riqMPcUT_Ts
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 -2 +4Déterminer :
a) l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, b) son axe de symétrie, c) les coordonnées de son extremum.Placer au fur et à mesure ces éléments géométriques dans un repère puis tracer la parabole
représentant la fonction.2 sur 6
Correction
a) Pour déterminer l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, il suffit de résoudre l'équation =0.Soit : 2
-2 +4 =0.Il s'agit d'une équation-produit. On a donc :
-2=0 ou +4=0 soit : =2 ou =-4. La courbe detraverse l'axe des abscisses en =-4 et en =2. On peut marquer ces deux points d'intersection, A et B, dans le repère. b) Ici, =2 -2 +4 donc =2 et =-4, et donc = =-1. La droite d'équation =-1 est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction.On peut tracer cette droite dans le repère.
c) - Le sommet S de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie, donc il a pour abscisse = -1 et pour ordonnées : -1 =2 -1-2 -1+4 =2× -3×3=-18
Le sommet de la parabole S est donc le point de
coordonnées (-1 ; -18).On peut placer le point S dans le repère.
- L'expression de la fonctionest =2 -2 +4 , donc a = 2 > 0.On en déduit que la parabole
représentant la fonctionpossède des branches tournées vers le haut.Le sommet de la parabole
correspond donc au minimum de la fonction.On trace ainsi la parabole
passant par les points S, A et B.3 sur 6
Méthode : Associer une fonction du second degré à sa représentation graphiqueVidéo https://youtu.be/Yrt2Cdx1uk4
Associer chaque fonction à sa représentation graphique :Correction
- On a : ℎ =5 -1 =5La fonction ℎ est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole
correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses. La parabole bleue intercepte l'axe des abscisses en 1 uniquement, c'est donc la représentation graphique de la fonction ℎ. - Les fonctionset sont de la forme =3 -1 +3 et =-2 -1 +3 Ces fonctions possèdent donc toutes les deux les mêmes racines : =1 et =-3. On peut donc les associer à la parabole rouge et à la parabole verte qui passent toutes les deux par les points d'abscisse -3 et 1.Les branches de la parabole verte sont tournées vers le haut donc > 0 dans l'écriture de la
fonction ⟼ Ainsi, la parabole verte représente la fonctionpour qui = 3 > 0. La parabole rouge représente alors la fonction . Méthode : Factoriser une expression du second degréVidéo https://youtu.be/FoNm-dlJQLc
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 +4-6. a) Conjecturer une racine de la fonction polynômeet vérifier par calcul. b) Factoriser.4 sur 6
Correction
a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme.En effet,
1 =2×1 +4×1-6=2+4-6=0. b) D'après l'expression de la fonction , on a : =2 +4-6.On peut affirmer que =2.
Par ailleurs, 1 est une racine de. Donc, sous sa forme factorisée,s'écrit : =2 -1Il s'agit donc de déterminer
, tel que : 2 +4-6=2 -1 En prenant par exemple =0, cette égalité s'écrit : -6=2 -1 , soit -6=2 ou encore -3= Ainsi, sous sa forme factorisée, la fonction polynômes'écrit =2 -1 -3 > ou encore =2 -1 +3 Partie 2 : Signe d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degréVidéo https://youtu.be/EjR6TCc_fdg
Étudier le signe de la fonction polynômedéfinie sur ℝ par =-2 -3 +2Correction
Le signe de -2
-3 +2 dépend du signe de chaque facteur -2, - 3 et + 2. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. - 3 = 0 ou + 2 = 0 = 3 = -2 En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =-2 -3 +25 sur 6
On en déduit que ()≥0 pour ∈ -2;3 et -∞;-23;+∞
La représentation de la fonctionà l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats