FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2) - Maths & tiques
fonctions polynômes du second degré Les coefficients a, x 1 et x 2 sont des réels avec *≠0 A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction qui s’écrit sous la forme # *#++,#+3 Par exemple, la fonction # 3#+−2#+1 est une fonction polynôme du second degré Méthode : Représenter
1 Fonctions polynôme de degré 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur Rpar f(x) = ax2+bx+c où a, b et c désignent des nombres réels avec a 6= 0 Cette écriture est la forme développée de f Remarque 1 Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré ou plus simplement fonction trinôme 1 2
Polyn mes du second degr - Free
Seconde Polynoˆmes du second degr´e (Exercices) Exercice 6-Utilisation de la propri´ete´ de sym´etrie de la parabole On consid`ere la fonction polynoˆme d´efinie sur Rpar f(x)=x2−4x +3 1 On consid`ere les deux points A et B de la parabole, ayant pour ordonn´ee c =3 Calculer les abscisses des points A et B 2
Fonctions polynomes du second degré - Meilleur en Maths
Fonctions polynomes du second degré Inéquations du second degré Déterminer les variations de f sur R De la première question, on déduit 2–f x = 1 4 x 2 2 Soit f x =− 1 4 x 2 2 2 a et b sont deux réels • Si −2≤a b soit 0≤a 2 b 2 alors a 2 2 b 2 2 Donc − 1 4 a 2 2 − 1 4
TES-cours Polynˆomes du second degr´e - Maths LFB
Soit la fonction polynome du second degr´e f d´efinie sur R par f(x) = ax2 +bx+c avec a 6= 0 La courbe repr´esentative de f est une parabole dont le sommet a pour coordonn´ees (α;β) avec α = −b 2a et β = f(α) On peut alors ´ecrire f sous forme canonique : f(x) = a(x−α)2 +β Tableau de variation :
FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES
Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde 2 Fonctions polynôme de degré 2 2 1 Définition Définition 3 Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur Rpar f : x → ax2+bx+c, où a,b,c sont trois nombres réels tels que a 6= 0 Exemple : f : x → 2x2 + x 3 +2 et g : x → −x2
Fonctions polynômes du second degré - Free
Dire qu’une fonction f, définie sur R, est une fonction polynôme du second degré signifie qu’il existe un réel non nul aet deux réels bet ctels que, pour tout réel x, f(x) = ax2 + bx+ c Exemples • La fonction carré est une fonction polynôme du second degré • La fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = (2x−1)2 −4 est une fonction
SECOND DEGRÉ (Partie 1) - Maths & tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques SECOND DEGRÉ (Partie 1) I Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur par une expression de la forme : f(x)=ax2+bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0 Remarque :
Équation du second degré - Parfenoff org
Équation du second degré I) Définition Une équation du second degré est de la forme : ² E L Ù avec a 0 II) Discriminant Le réel ² F Ý se note ∆ et s’appelle le discriminant du trinôme : ² E E On a donc : ; = d l E p² ∆ Ý Û h Exemples : • Calculer le discriminant de 3 ² – 5 E 1 :
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TES-coursPolynˆomes du second degr´e1Fonctions polynˆomes du second degr´e (rappels)
1.1 D´efinition
D´efinition : fonction polynˆome du second degr´eUne fonctionfd´efinie surRest une fonction polynˆome de degr´e 2 s"il existe trois r´eelsa,betcavec
a?= 0 tels que pour tout r´eelx,f(x) =ax2+bx+cRemarque :La forme donn´ee dans la d´efinition est la forme d´evelopp´ee maisf(x) peut s"´ecrire de diff´erentes fa¸cons,
notamment sous forme factoris´ee (f(x) =a(x-x1)(x-x2) avecx1etx2r´eels)quand cela est possible ou sous
forme canonique (voir sous section 2)Exemple 1: Identification des coefficientsDonner l"ensemble de d´efinition des fonctions suivantes et d´eterminer s"il s"agit d"une fonction polynˆome de
degr´e 2 (si oui, donner la valeurs des r´eelsa,betc)1.f(x) = (x-2)2+ 32.g(x) = 3x2-x+ 13.h(x) = (x-2)(x+ 1)-x2
1.2 Variations et courbe repr´esentative
Soit la fonction polynˆome du second degr´efd´efinie surRparf(x) =ax2+bx+caveca?= 0.La courbe repr´esentative defest uneparaboledont le sommet a pour coordonn´ees (α;β) avecα=-b2aet
β=f(α).
On peut alors ´ecrirefsous formecanonique :f(x) =a(x-α)2+βTableau de variation :Remarque : Pour ´etudier les variations def, on peut aussi ´etudier le signe de sa d´eriv´eef?(x) = 2ax+b......
Courbe repr´esentative :Exemple 2: Avec la fonction de l"exemple 2 Rappel :fest la fonction polynˆome du second degr´e d´efinie surRparf(x) = 2x2-8x+ 3Donner le tableau de variation defet"l"allure»de la courbe repr´esentative defpuis sa forme canonique.1/4
TES-coursPolynˆomes du second degr´e2Racines et signe du polynˆome du second degr´e2.1 Discriminant
D´efinition : Discriminant d"une fonction polynˆome de degr´e 2Le nombre r´eel not´e Δ =b2-4acest appel´e discriminant defExemple 3: Calcul du discriminant
Avec la fonction de l"exemple 2, calculer le discriminant def. Rappel :fest la fonction polynˆome du second degr´e d´efinie surRparf(x) = 2x2-8x+ 32.2 Solutions de l"´equationf(x) =ax2+bx+c= 0
Il y a trois cas possibles selon le signe de Δ :-CasΔ>0et l"´equationf(x) = 0 admet deux solutions
x1=α+⎷Δ
2a=-b+⎷Δ
2aet x2=α-⎷Δ
2a=-b-⎷Δ
2aOn a alorsf(x) =a(x-x1)(x-x2) (forme factoris´ee def)-CasΔ = 0On alorsf(x) =a(x-α)2
donc l"´equationf(x) = 0 admet une solutionx1=α=-b2a-CasΔ<0l"´equationf(x) = 0 n"a pas de solution.Exemple 4:R´esolutionf(x) = 2x2-8x+ 3 = 0 (fonction de l"exemple3)
D´eterminer les solutions de 2x2-8x+ 3 = 0Exemple 5:R´esolution d"´equations du second degr´e
(voir aussi fiche m´ethode-aide m´emoire second degr´e) R´esoudre dansRles ´equations suivantes :1.3x2-2x-1 = 02.4x2-3x= 03.9x2-5 = 02/4 TES-coursPolynˆomes du second degr´e2.3 Signe du polynˆome du second degr´eCas o`u Δ>0 et le polynˆome admet deux racinesx1etx2(avecx1< x2)Cas o`u Δ<0 et le polynˆome n"admet pas de racine.Cas o`u Δ = 0 et le polynˆome admet une racinex1=-b2a.3/4
TES-coursPolynˆomes du second degr´e2.4 Conclusion et r´esum´e f(x) =ax2+bx+c=a(x-α)2+βavecα=-b2aetβ=f(α) Δ =b2-4acΔ>0Δ = 0Δ<0Deux racinesune racinepas de racine x1=-b-⎷Δ
2ax1=-b2ax
2=-b+⎷Δ
2aExemple 6: ´etude du signe
Etudier le signe de 3x2-2x-1 = 0 (exemple 5.1.)
3Compl´ements
3.1 Somme et produit des racines (casΔ>0)
Si Δ>0, il y a deux racinesx1=-b-⎷Δ
2aetx2=-b+⎷Δ
2a x1+x2=-b-⎷Δ
2a+-b+⎷Δ
2a doncx1+x2=-baet
x1×x2=-b-⎷Δ
2a×-b+⎷Δ
2a =b2-Δ4a2=b2-b2+ 4ac4a2 doncx1x2=caCela permet de contrˆoler les racines obtenues par exemple ou de trouver la seconde racine
quand l"une des deux est"simple»(exemple 5 question1)3.2 Calculatrice
La calculatrice graphique permet de r´esoudre des ´equations de la formeax2+bx+c= 0.Menu : equ
pol : toucheF1 deg 2 : toucheF1Entrer les coefficientsa,betcpuis solve.
Par exemple avec la l"´equation 1 de l"exemple 5 :3x2-2x-1 = 0 Entrer les coefficientsa= 3,b=-2 et
c=-1 puis r´esoudre.