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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2) - Maths & tiques

fonctions polynômes du second degré Les coefficients a, x 1 et x 2 sont des réels avec *≠0 A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction qui s’écrit sous la forme # *#++,#+3 Par exemple, la fonction # 3#+−2#+1 est une fonction polynôme du second degré Méthode : Représenter

1 Fonctions polynôme de degré 2

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur Rpar f(x) = ax2+bx+c où a, b et c désignent des nombres réels avec a 6= 0 Cette écriture est la forme développée de f Remarque 1 Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré ou plus simplement fonction trinôme 1 2

Polyn mes du second degr - Free

Seconde Polynoˆmes du second degr´e (Exercices) Exercice 6-Utilisation de la propri´ete´ de sym´etrie de la parabole On consid`ere la fonction polynoˆme d´efinie sur Rpar f(x)=x2−4x +3 1 On consid`ere les deux points A et B de la parabole, ayant pour ordonn´ee c =3 Calculer les abscisses des points A et B 2

Fonctions polynomes du second degré - Meilleur en Maths

Fonctions polynomes du second degré Inéquations du second degré Déterminer les variations de f sur R De la première question, on déduit 2–f x = 1 4 x 2 2 Soit f x =− 1 4 x 2 2 2 a et b sont deux réels • Si −2≤a b soit 0≤a 2 b 2 alors a 2 2 b 2 2 Donc − 1 4 a 2 2 − 1 4

TES-cours Polynˆomes du second degr´e - Maths LFB

Soit la fonction polynome du second degr´e f d´efinie sur R par f(x) = ax2 +bx+c avec a 6= 0 La courbe repr´esentative de f est une parabole dont le sommet a pour coordonn´ees (α;β) avec α = −b 2a et β = f(α) On peut alors ´ecrire f sous forme canonique : f(x) = a(x−α)2 +β Tableau de variation :

FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES

Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde 2 Fonctions polynôme de degré 2 2 1 Définition Définition 3 Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur Rpar f : x → ax2+bx+c, où a,b,c sont trois nombres réels tels que a 6= 0 Exemple : f : x → 2x2 + x 3 +2 et g : x → −x2

Fonctions polynômes du second degré - Free

Dire qu’une fonction f, définie sur R, est une fonction polynôme du second degré signifie qu’il existe un réel non nul aet deux réels bet ctels que, pour tout réel x, f(x) = ax2 + bx+ c Exemples • La fonction carré est une fonction polynôme du second degré • La fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = (2x−1)2 −4 est une fonction

SECOND DEGRÉ (Partie 1) - Maths & tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques SECOND DEGRÉ (Partie 1) I Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur par une expression de la forme : f(x)=ax2+bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0 Remarque :

Équation du second degré - Parfenoff org

Équation du second degré I) Définition Une équation du second degré est de la forme : ² E L Ù avec a 0 II) Discriminant Le réel ² F Ý se note ∆ et s’appelle le discriminant du trinôme : ² E E On a donc : ; = d l E p² ∆ Ý Û h Exemples : • Calculer le discriminant de 3 ² – 5 E 1 :

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Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

Fiche exercices

EXERCICE 1

✔Développer et réduire les expressions suivantes (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Factoriser les polynômes suivants : (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Transformation du polynôme du 2ième degré ◦Px=-3x25x-2 puis résoudre

Px=0

EXERCICE 2

f : RR xfx=-x23✔Étudier les variations de f dans R ✔Dresser le tableau des variations de f ✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;3] dans un repère orthogonal. ✔Résoudre graphiquement les équations suivantes : fx=-1◦fx=0 Déterminer ensuite graphiquement le signe de fx

EXERCICE 3

Résoudre dans R, le système d'inéquation.

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

EXERCICE 4

f : RR xfx=-1

4x2-x1

✔Montrer que f admet un maximum pour x = -2 ✔Déterminer les variations de f sur R ✔Construire la courbe représentative de f sur [-6;4] dans le repère orthogonal

EXERCICE 5

✔Développer et réduire les expressions suivantes (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Factoriser les polynômes suivants : (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Résoudre dans R l'équation ◦2x2-5x-7=0

EXERCICE 6

✔Développer et réduire le polynôme

Px=1

2x-12-3✔Déterminer les variations de f définie par :

f : RR xfx=1

2x2-x-5

2Dresser le tableau de variations de f

✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;5] dans un repère orthogonal. ✔Déterminer graphiquement le signe de fx sur l'intervalle [-3;5]

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

EXERCICE 7

EXERCICE 8

ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

On choisit la longueur AB pour unité de longueur, c'est à dire AB = AC = 1 Pour x∈[0;1] on considère le point E de [AB] tel que BE=xF est le point d'intersection de la parallèle à (AC) passant par E et de la droite (BC). ✔Réaliser la figure ✔Calculer la valeur maximale de l'aire du triangle EAF (justifier le résultat).

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

CORRECTION

EXERCICE 1

Développer :

B=-30x106x2-2x-13x226

C=-612x218x-24x2-2736x

C=-12x254x-33Factoriser

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

C=5-7x13x-4

Transformation du polynôme du 2ième degré ✔Px=-3x25x-2

Px=-3[x2-5

3x2

3]x2-5

3x25

36=x-5

6

2Px=-3[x-5

62

-25

362

3]

Px=-3[x-5

62

-25

3624

36]

Px=-3[x-5

62

-1 36]

Px=-3x-5

62

1 12

Pour résoudre

62

-1

36]=-3[x-5

62

-1

62

Px=-3x-5

6-1

6x-5

61

6

3

Px=0un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des deux facteurs est nul. x-1=0Ou x-2 3=0

S={1;2

3}

EXERCICE 2

f : RR xfx=-x23✔Étudier les variations de f dans R a et b sont des nombres réels •si Donc -a23-b23 Soit fafb

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

f est strictement décroissante sur [0;∞[ -a23-b23 Soit fafb f est strictement croissante sur ]-∞;0] ✔Dresser le tableau des variations de f x-∞0∞ f(x)3 ✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;3] dans un repère orthogonal. •S(0;3) est le sommet de la parabole. L' axe de la parabole est (y'y). •fx=-1

Les solutions de l'équation

fx=-1 sont les points d'intersection de la courbe représentative de f et de la droite d'équation y=-1Il y a 2 points d'intersection A et B d'abscisses respectives : - 2 et 2

S={-2;2}•fx=0

Les solutions de l'équation fx=0 sont les points d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe des abscisses. Il y a 2 points d'intersection E et F d'abscisses respectives : - 1,7 et 1,7

S={-1,7;1,7}✔Sur

[-1,7;1,7]la courbe représentative de f est au dessus de l'axe des abscisses donc si x∈[-1,7;1,7] alors fx≥0 ✔Sur [-3;-1,7] ou sur [1,7;3]la courbe représentative de f est en dessous de l'axe des abscisses donc si x∈[-3;-1,7]∪[1,7;3] alors

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

x-3-1,71,73 f(x)-0+0-

EXERCICE 3

x12≥2x-32 (2) 1 x=-1 23=x
x -∞-1

23∞2 x + 1-0++

3 - x++0-

P(x)-0+0-

S1=]-∞;-1

2]∪[3;∞[

-x4=03x-2=0x=4 x=2

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

x-∞2

34∞

- x + 4++0-

3x - 2-0++

R(x)-0+0-S2=[2

3;4]

S=S1∩S2=[3;4]EXERCICE 4

f : RR xfx=-1

4x2-x1

✔Montrer que f admet un maximum pour x = -2 Pour démontrer que f admet un maximum pour x = -2, il suffit de démontrer que pour tout x de R f-2-fx≥0

4x2-x1=21

4x2x-1

f-2-fx=1

4x2x1

f-2-fx=1

4x24x4

f-2-fx=1

4x22≥0Donc f(-2) est le maximum de f.

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

✔Déterminer les variations de f sur R

De la première question, on déduit

2-fx=1

4x22

Soitfx=-1

4x222a et b sont deux réels

•Si

4a22-1

4b22

soit -1

4a222-1

4b222

on a fafbf est strictement décroissante sur

Donc -1

4a22-1

4b22soit -1

4a222-1

4b222

on a fafb f est strictement croissante sur

]-∞;-2]✔Construire la courbe représentative de f sur [-6;4] dans le repère orthogonal

•S-2;2Est le sommet de la parabole. •La droite d'équation : x=-2 est l'axe de la parabole.

EXERCICE 5

✔Développer et réduire les expressions suivantes

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

A=20x2-148x80

B=-32x2-44x-56✔Factoriser les polynômes suivants :

A=5x34x-5-64x-5 A=4x-5[5x3-6]

A=4x-55x-3

B=6x-24x4

✔Résoudre dans R l'équation

2x2-5x-7=0

2[x2-5

2x-7 2]=0 or x2-5

2x25

16=x-5

42

2[x-5

42

-25 16-7 2]=0

2[x-5

42

-2556 16]=0

2[x-5

42

-81 16]=0

2[x-5

4-9

4]×[x-5

49

4]=0

2x-14

4x1=0

2x-7

2x1=0

Fonctions polynomes du second degré

Inéquations du second degré

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un facteur est nul. x-7quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9