Section 3

PRIORITES OPERATOIRES

elle est constituée uniquement de multiplication et de division • 6×(−10) (−1)×(−3) est une expression négative car il y a 3 termes négatifs et car elle est constituée uniquement de multiplication et de division

A retenir : Chapitre 1

Règle de multiplication de fractions Pour multiplier une fraction par une fraction, - on simplifie au maximum les numérateurs avec les dénominateurs - on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux bd ac d c b a ( b 0 , d 0 ) 1 3 3 Exemple : 15 8 5 4 3 2 35 21 8 15 25 4 - 4 15 21 25 8 35 = - 9 50

TI 40 Collège

doit être un entier positif Pour rendre une fraction négative, appuyez sur M avant d’entrer le numérateur } < simplifie une fraction en utilisant le plus petit commun facteur premier Si vous voulez choisir le facteur (au lieu de laisser la calculatrice le choisir pour vous), appuyez sur }, entrez le facteur (un entier) et appuyez ensuite

A retenir : RAPPEL

Enoncer la règle de multiplication de fractions * 12 Reconnaître deux fractions inverses * 13 Enoncer la propriété de deux fractions inverses * 14 Enoncer la règle de division d’une fraction par une fraction C 2 Appliquer une procédure * 1 Calculer le quotient de deux entiers * 2 Effectuer des calculs variés, en respectant les

Section 3 - Accueil

Pour faciliter la résolution, il est préférable de transformer dès le départ le nombre fractionnaire en fraction On aura alors : Il ne restera alors qu'à utiliser la méthode de multiplication de fraction, soit de multiplier les numérateurs ensemble pour obtenir le nouveau numérateur et faire la même chose pour les dénominateurs

Cycle 3 – CM1 - Programme et socle commun

déclarative, négative Distinguer la nature et la fonction des mots 9 et 11, tables de multiplication, multiples de 2, 5, 10, 9, 3, 25, 50 et 100, calcul

Cours de mathématiques MPSI - AlloSchool

Mais tout nombre rationnel s’écrit de manière unique sous forme de fraction irréductible, c’est à dire sous la forme p q avec p 2Z, q 2N⁄ et avec p et q premiers entre eux (i e sans autres diviseurs communs que 1 et -1) Opérationssurlesrationnels On rappelle que : p q ¯ a b ˘ aq¯bp bq et p q £ a b ˘ ap bq L’addition et la

Panorama10 2012-2013

Longueur de la ligne fermée qui correspond à la frontière d’une figure plane C’est le contour de la figure On exprime le périmètre d’une figure en unités de longueur Unités de longueurs : système international d’unités (SI) km hm dam m dm cm mm Aire Mesure de la superficie d’une surface délimitée par une ligne fermée

Test cumulatif Pratique (A) Mathématique 10F

6) 4Lequel des suivants représente la forme simplifiée de l’expression « (7w )2 » : a) 49w8 8 6 b) 7w c) 49w6 d) 7w 7) 5La valeur de x dans l’expression « -(x) = -1024 » sera : a) négative b) positive c) non-définie d) zéro 8) Complète l’énoncé suivante pour qu’elle soit vraie : « 7 5 x 3 ☐ 11 6 x 2 »

AII Formalisme de Laplace

tend vers une valeur stable Vous verrez au cours de votre scolarité que cette condition de stabilité est associée à la condition suivante : Un système est stable si tous les pôles (racines du dénominateur) de sa fonction de transfert qui est une fraction rationnelle ont leur partie réelle négative

MAT-4072-2

Section 3 Puissances et notation scientifique

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Sylvie Leblond

Gilles Coulombe

CSPO 1

Mise en situation

R est la valeur en ohms de la résistance

I est la valeur en ampères du courant qui circule dans la résistance Vous travaillez avec un circuit électrique dans lequel circule un courant de 6,1 X

A. Vous voulez connaitre la puissance

circuit, mais vous avez malheureusement oublié votre wattmètre à la maison. Sachant que la valeur de la résistance est de 8,2 X

Quelle est donc cette puissance?

L'exponentiation

L'exponentiation est une opération qui consiste à affecter un exposant à une base. Le résultat d'une exponentiation est une puissance.

Baseexposant = Puissance

L'exposant représente en fait le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même.

L'exponentiation

On peut appliquer un exposant (négatif, nul ou positif) à toute base représentée par un nombre entier positif.

Exemple 1

Calculer la puissance de 75.

Solution :

Pour calculer cette puissance, il suffit de multiplier le chiffre 7 cinq fois par lui- même, soit : 3

7 X 7 X 7 X 7 X 7 = ?.

Cette puissance est donc de 16 807.

Exemple 2

Calculer la puissance de 2-3.

Solution :

fraction, soit : Ensuite, on doit inverser le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue f devienne un exposant positif (selon la loi des Enfin, on peut trouver le produit au dénominateur, soit :

2 3 = 2 X 2 X 2 = 8

1 = 0,125.

8 Une expression contenant un exposant négatif peut être transformée en une expression où l'eǆposant devient positif. Parmi les lois sur les eǆposants, l'une d'elle concerne la diǀision de termes :

Exemple :

Développement :

En conclusion, on peut affirmer que :

La puissance peut alors être -à-dire

0,125.

L'exponentiation tif

On peut appliquer un exposant (négatif, nul ou positif) à toute base représentée par un nombre entier négatif.

Calculer la puissance de (-3)4.

Solution :

Pour calculer cette puissance, il suffit de multiplier le chiffre négatif -3 quatre fois par lui-même, soit : (-3) X (-3) X (-3) X (-3) = ?.

Cette puissance est donc de + 54.

Il faut remarquer que la réponse obtenue est positive, même si la base est négative. son calcul. Les parenthèses ont une grande importance, mais son calcul demeure une multiplication répétée. Voyons l'importance des parenthèses en calculant -62 et (-6)2. -62 = -1 x 62 À cause de la priorité des opérations, les puissances se calculent avant les produits.

Étape 1 : 6 x 6 = 36

Étape 2 : -1 x 36 = -36

La réponse finale est donc : -36.

5 (-6)2 À cause de la priorité des opérations, on calcule les parenthèses en premier et ensuite l'exposant. On calcule la puissance tout de suite. C'est tout le nombre -6 dans les parenthèses qui se multiplie. (-6) x (-6) = 36

La réponse finale est donc : 36.

Remarque :

Lorsque l'exposant est un nombre pair, il y a donc un nombre pair de multiplications de nombres négatifs. La puissance est positive.

Exemple: (-5)4 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = 625

Lorsque l'exposant est un nombre impair, il y a donc un nombre impair de multiplications de nombres négatifs. La puissance est négative.

Exemple: (-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

Exercice 1

Calculer la puissance des expressions suivantes.

1. 2. 3. 4. 6 5. 6. 7. 8. 9. 10.

L'exponentiation d'une fraction ou d'un nombre

fractionnaire Dans le cas d'une fraction ou d'un nombre fractionnaire affecté d'un exposant, il suffit encore une fois de multiplier le nombre par lui-même le nombre de fois indiqué par l'exposant en utilisant la méthode de multiplication des fractions.

Solution :

L'application d'un exposant 4 à une base constituée d'un nombre fractionnaire revient dans ce cas à faire ceci : Pour faciliter la résolution, il est préférable de transformer dès le départ le nombre fractionnaire en fraction. On aura alors : Il ne restera alors qu'à utiliser la méthode de multiplication de fraction, soit de multiplier les numérateurs ensemble pour obtenir le nouveau numérateur et faire la même chose pour les dénominateurs. = 150 ou 150,0625 7

L'exponentiation d'un nombre décimal

Pour les nombres décimaux, le principe reste toujours le même : multiplier le nombre par lui-même selon l'exposant.

Trouver la puissance équivalente à : 0,253

Solution :

L'application d'un exposant 3 à une base constituée d'un nombre décimal revient

à ce cas-ci à ceci :

0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,015624

8 Trouver la puissance équivalente à ceci : 0,7-4

Solution :

Pour calculer cette puissance, il faut transformer la fraction de départ en inversant le numérateur et le dénominateur (qui est 1) : 9

Les types d'exposant

L'exposant positif est le cas le plus souvent rencontré. On a tout simplement à multiplier par lui-même la base le nombre de fois indiqué par l'exposant.

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

33 = 3 x 3 x 3 = 27

Lorsque l'exposant est égal à 1, la réponse est automatiquement la base. D'ailleurs, il arrive très souvent que l'exposant 1 ne soit pas écrit.

41 = 4

L'exposant nul, c'est-à-dire l'exposant égal à 0, équivaut toujours à une puissance de 1, sauf dans un seul cas : 00 est indéfini.

40 = 1

1520 = 1

330 = 1

L'exposant négatif est souvent appelé "exposant contraire". Cela est dû au fait que lorsqu'il y a un exposant négatif, on doit inverser le numérateur et le dénominateur pour ainsi obtenir un exposant positif au dénominateur. Dans le cas où le nombre est un entier, il suffit de considérer l'entier sur un dénominateur de 1.

Type 1

Type 2

Type 3

10 L'exposant fractionnaire, c'est-à-dire un exposant qui a la forme d'une fraction, peut être traduit par une racine. Le numérateur de la fraction reste exposant de la base alors que le dénominateur correspond au nombre dans le radical.

Exercice 2

Calculer la puissance des expressions suivantes.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Capsule vidéo : Exponentiation

Type 4

Les nombres carrés

Un nombre carré 2 fois multiplié par lui-même.

22 = 2 x 2 = 4

32 = 3 x 3 = 9

42 = 4 x 4 = 16

4, 9 et 16 sont des nombres carrés.

Les nombres cubes

Un nombre cubique est le fois multiplié par lui-même.

23 = 2 x 2 x 2 = 8

33 = 3 x 3 x 3 = 27

63 = 6 x 6 x 6 = 216

8, 27, et 216 sont des nombres cubiques.

Les racines carrées et cubiques

Le symbole se nomme radical. Si l'on voit ce symbole, il s'agit habituellement de la racine carrée. Cependant, s'il y a un chiffre au-dessus du radical, cela modifie le type de racine. est la racine carrée du nombre x est aussi la racine carrée du nombre x est la racine cubique du nombre x est la racine quatrième du nombre x est la racine ne du nombre x 13 radicande. Dans les exemples précédents, il s'agit du x. Une racine carrée d'un nombre x correspond à un autre nombre qui, élevé au carré, nous donne x. Pour tout nombre positif, il existe 2 racines carrées : l'une positive et l'autre négative. = ±3 car 32 = 9 et (-3)2 = 9

3 x 3 = 3 2 = 9.

Pour ce faire, on se demande : quel chiffre, 2 fois multiplié par lui-même, nous 9.

La réponse est 3. Donc,

= ±3. Une racine cubique d'un nombre x correspond à un autre nombre qui, élevé au cube, nous donne x. Pour tout nombre réel, il n'existe qu'une seule racine cubique qui est du même signe que ce nombre.

3 x 3 x 3 = 3 3 = 27.

Afin d'effectuer l'opération inverse, on doit se demander quel est le chiffre, 3 fois multiplié par lui-même, obtenir 27.

La réponse est 3. Donc,

= 3 14

Exercice 3

1. Indiquer si le nombre est un nombre carré ou cubique ?

NOMBRE NOMBRE

CARRÉ

NOMBRE

CUBIQUE

NOMBRE NOMBRE

CARRÉ

NOMBRE

CUBIQUE

1 -1

2 -1/4

3 -27

9 1/25

25 49

27 50

36 -8

1/ 2 101

1/4 1/125

2. Calculez les expressions suivantes en indiquant les étapes de la

solution. 15 16

Les lois des exposants

1. Les propriétés des exposants

1) Un exposant entier et positif indique le nombre de fois par lequel une base

est multipliée par elle-même. am = a x a x a x a x a ... m fois (m > 0) (23 = 2 x 2 x 2)

2) N'importe quelle base (sauf 0) affectée de l'exposant 0 donne 1.

a0 = 1

40 = 1

00 est indéfini

a1 = a

251 = 25

nombre

Pour x = 4

0,25 (en notation décimale)

exposant sur les bases.

Si am = an, alors m = n

84 = 8x alors x = 4

2. Les lois des exposants

Produit de puissances

Exemples : 104 x 106 = 10 000 X 1000 000 = 10 000 000 000 = 1010

104 x 106 = 104+6 = 1010

10-3 x 10-2 = 0,001 x 0,01 = 0,000 01 = 10-5

10-3 x 10-2 = 10-3-2 = 10-5

Quotient de puissances

Exemples :

Puissance d'un quotient

)m =

Exemple : (

)3 =

Puissance d'une puissance

On multiplie les exposants quand une base est affectée de plusieurs exposants.

Exemple : (72)3 = 72×3= 76

Exercice 4

Utiliser la loi des exposants pour résoudre les expressions suivantes 19

La notation scientifique

La notation scientifique, dérivée de la notation exponentielle, permet de simplifier

Elle se présente sous la forme

où : se situe entre 1 et 10 (10 exclu) ou entre -10 et -1 (-10 exclu) est un nombre entier positif ou négatif, différent de 0.

Définitions de puissances de dix

1. Puissances de dix avec des exposants positifs

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Nous noterons pour plus de facilité dans les calculs :

Cas particuliers : 101 = 10 et 100 = 1

Exemples :

2. Puissances de dix avec des exposants négatifs

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Nous noterons pour plus de facilité dans les calculs :

Cas particuliers : 10-1 = 0,1 et 10-0 = 100 = 1

Exemples :

Remarques sur les puissances de dix

Cela se généralise quelle que soit la puissance de dix et quel que soit le nombre entier relatif n :

De plus :

Quel que soit le nombre entier relatif n : 10-n est de 10n. 22

La notation scientifique

1. Écriture en notation scientifique

Exemple 1

Écrire le nombre 6 430 en notation scientifique.

6 430 6, 4 3 0, 6,43 × 103

On déplace la virgule de manière à obtenir un nombre ayant un seul chiffre non nul avant la virgule, puis on multiplie par la puissance 10 de manière à avoir une égalité. cientifique de 6 430 est donc 6,43 × 103

Exemple 2

Écrire le nombre 0,00432 en notation scientifique.

0,00432 0, 0 0 4, 3 2 4,32 × 10-3

On déplace la virgule de manière à obtenir un nombre ayant un seul chiffre non nul avant la virgule, puis on multiplie par la puissance 10 de manière à avoir une égalité.

0,00432 est donc 4,32 × 10-3

On déplace la virgule de 3 espaces vers la gauche, l'eǆposant est 3 On déplace la virgule de 3 espaces vers la droite, l'eǆposant est -3 23

Exercice 5

1. Transformer les nombres suivants en notation scientifique

NOMBRES NOTATION SCIENTIFIQUE

0,000 000 093 41

5 249 000 000 000

70 000 000 000

0,000 098

90 346 000

0,000 005 481

0,000 000 000 000 672

1 300 000 000 000 000 000

32 407 000 000

0,000 009 543

0,000 000 000 106 75

0,000 000 200 821

Capsule vidéo : La notation scientifique

2. Transformer les nombres suivants sous leur forme décimale.

NOTATION

SCIENTIFIQUE

NOMBRES SOUS FORME DÉCIMALE

2. Calculs et notation scientifique

Addition et Soustraction en notation scientifique : Pour additionner ou soustraire des nombres en notation scientifique il faut absolument que les nombres aient la même puissance de base 10. Il faut donc choisir une puissance de 10 et convertir les autres nombres dans cette même base. Il est préférable de choisi

Par exemple :

Autre exemple :

Après , nous obtenons le résultat

qui ne respecte plus la notation scientifique. La mantisse plus comprise entre 1 et 10 (10 exclu). Il faut donc faire une étape supplémentaire et modifier la mantisse principe avec des exposants négatifs ; on convertit toujours dans la puissance la plus grande. Dans le cas suivant la puissance la plus grande est 26
Multiplication et division en notation scientifique : Il est très facile de multiplier et de diviser des nombres en notation scientifique. Il suffit tout simplement de réar On multiplie ou divise les mantisses entre elles puis on additionne (multiplication) ou soustrait (division) les exposants de la base 10.

Par exemple :

Autre exemple :

Voici des exemples de calculs avec des expressions numériques

écrites en notation scientifique.

La somme

La différence

Le produit

Le quotient

Capsule vidéo : La notation scientifique et calculs

8,4932 × 104

Exercice 6

Effectuer les calculs demandés et exprimer le résultat en notation scientifique 29
quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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Puissances et notation scientifique

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Mise en situation

R est la valeur en ohms de la résistance

A. Vous voulez connaitre la puissance

Quelle est donc cette puissance?

L'exponentiation

Baseexposant = Puissance

L'exponentiation

Exemple 1

Calculer la puissance de 75.

Solution :

7 X 7 X 7 X 7 X 7 = ?.

Cette puissance est donc de 16 807.

Exemple 2

Calculer la puissance de 2-3.

Solution :

2 3 = 2 X 2 X 2 = 8

1 = 0,125.

Exemple :

Développement :

En conclusion, on peut affirmer que :

La puissance peut alors être -à-dire

0,125.

L'exponentiation tif

Calculer la puissance de (-3)4.

Solution :

Cette puissance est donc de + 54.

Étape 1 : 6 x 6 = 36

Étape 2 : -1 x 36 = -36

La réponse finale est donc : -36.

La réponse finale est donc : 36.

Remarque :

Exemple: (-5)4 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = 625

Exemple: (-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

Exercice 1

Calculer la puissance des expressions suivantes.

L'exponentiation d'une fraction ou d'un nombre

Solution :

L'exponentiation d'un nombre décimal

Trouver la puissance équivalente à : 0,253

Solution :

à ce cas-ci à ceci :

0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,015624

Solution :

Les types d'exposant

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

33 = 3 x 3 x 3 = 27

41 = 4

40 = 1

1520 = 1

330 = 1

Type 1

Type 2

Type 3

Exercice 2

Calculer la puissance des expressions suivantes.

Capsule vidéo : Exponentiation

Type 4

Les nombres carrés

22 = 2 x 2 = 4

32 = 3 x 3 = 9

42 = 4 x 4 = 16

4, 9 et 16 sont des nombres carrés.

Les nombres cubes

23 = 2 x 2 x 2 = 8

33 = 3 x 3 x 3 = 27

63 = 6 x 6 x 6 = 216

8, 27, et 216 sont des nombres cubiques.

Les racines carrées et cubiques

3 x 3 = 3 2 = 9.

La réponse est 3. Donc,

3 x 3 x 3 = 3 3 = 27.

La réponse est 3. Donc,