Cours de mathématiques MPSI

PRIORITES OPERATOIRES

elle est constituée uniquement de multiplication et de division • 6×(−10) (−1)×(−3) est une expression négative car il y a 3 termes négatifs et car elle est constituée uniquement de multiplication et de division

A retenir : Chapitre 1

Règle de multiplication de fractions Pour multiplier une fraction par une fraction, - on simplifie au maximum les numérateurs avec les dénominateurs - on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux bd ac d c b a ( b 0 , d 0 ) 1 3 3 Exemple : 15 8 5 4 3 2 35 21 8 15 25 4 - 4 15 21 25 8 35 = - 9 50

TI 40 Collège

doit être un entier positif Pour rendre une fraction négative, appuyez sur M avant d’entrer le numérateur } < simplifie une fraction en utilisant le plus petit commun facteur premier Si vous voulez choisir le facteur (au lieu de laisser la calculatrice le choisir pour vous), appuyez sur }, entrez le facteur (un entier) et appuyez ensuite

A retenir : RAPPEL

Enoncer la règle de multiplication de fractions * 12 Reconnaître deux fractions inverses * 13 Enoncer la propriété de deux fractions inverses * 14 Enoncer la règle de division d’une fraction par une fraction C 2 Appliquer une procédure * 1 Calculer le quotient de deux entiers * 2 Effectuer des calculs variés, en respectant les

Section 3 - Accueil

Pour faciliter la résolution, il est préférable de transformer dès le départ le nombre fractionnaire en fraction On aura alors : Il ne restera alors qu'à utiliser la méthode de multiplication de fraction, soit de multiplier les numérateurs ensemble pour obtenir le nouveau numérateur et faire la même chose pour les dénominateurs

Cycle 3 – CM1 - Programme et socle commun

déclarative, négative Distinguer la nature et la fonction des mots 9 et 11, tables de multiplication, multiples de 2, 5, 10, 9, 3, 25, 50 et 100, calcul

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Mais tout nombre rationnel s’écrit de manière unique sous forme de fraction irréductible, c’est à dire sous la forme p q avec p 2Z, q 2N⁄ et avec p et q premiers entre eux (i e sans autres diviseurs communs que 1 et -1) Opérationssurlesrationnels On rappelle que : p q ¯ a b ˘ aq¯bp bq et p q £ a b ˘ ap bq L’addition et la

Panorama10 2012-2013

Longueur de la ligne fermée qui correspond à la frontière d’une figure plane C’est le contour de la figure On exprime le périmètre d’une figure en unités de longueur Unités de longueurs : système international d’unités (SI) km hm dam m dm cm mm Aire Mesure de la superficie d’une surface délimitée par une ligne fermée

Test cumulatif Pratique (A) Mathématique 10F

6) 4Lequel des suivants représente la forme simplifiée de l’expression « (7w )2 » : a) 49w8 8 6 b) 7w c) 49w6 d) 7w 7) 5La valeur de x dans l’expression « -(x) = -1024 » sera : a) négative b) positive c) non-définie d) zéro 8) Complète l’énoncé suivante pour qu’elle soit vraie : « 7 5 x 3 ☐ 11 6 x 2 »

AII Formalisme de Laplace

tend vers une valeur stable Vous verrez au cours de votre scolarité que cette condition de stabilité est associée à la condition suivante : Un système est stable si tous les pôles (racines du dénominateur) de sa fonction de transfert qui est une fraction rationnelle ont leur partie réelle négative

Borne inférieure, borne supérieure Chapitre 8 : Nombres réels2) Opérations et ordre sur les réelsL"ensembleRcontientQet possède une addition et une multiplication (qui prolongent celles deQ) quifont que (R,Å,£) est un corps commutatif. On admettra également qu"il existe deux parties deRque l"onnote A et B et qui vérifient :-A et B sont stables pour l"addition.-QÅ½A etQ¡½B.-RAEA[B.-A\BAE{0}.-Six,y2A alorsxy2A, six,y2B alorsxy2A et six2A ety2B, alorsxy2B (règle des signes).On définit alors une relationRdansRen posant :8x,y2R,xRy()x¡y2B. Cette relation est :-Réflexive :8x2R,xRx.-Antisymétrique : sixRyetyRxalorsxAEy.-Transitive : sixRyetyRz, alorsxRz.Le relationRest donc une relationd"ordresurR. On la notera désormais6, c"est à dire quexRyseranotéx6y(i.e. x¡y2B).Onremarqueraquex60signifiequex2B,etque06xsignifieque¡x2Betdoncx2AcarxAE(¡1)(¡x):produit de deux éléments deB. D"autre part, six2Aety2B, alorsx6ycary¡xAEyÅ(¡x) : somme de deuxéléments de B.Sixetysont deux réels quelconques, on ax¡y2Aoux¡y2B, c"est à direx¡y2Bouy¡x2B, c"est àdire encorex6youy6x. Deux réels sont donc toujours comparables, l"ordre esttotal.Notation: On pose AAERÅet BAER¡.La relation d"ordre6est :• Compatible avec l"addition, c"est à dire :8x,y,z2R, six6yalorsxÅz6yÅz.• Compatible avec la multiplication par un réel positif :8x,y,z2R, si06zetx6y, alorsxz6yz.Théorème 8.1Preuve: Six6y, alorsx¡y2R¡, mais (xÅz)¡(yÅz)AEx¡y, donc (xÅz)¡(yÅz)2R¡i.e.xÅz6yÅz. Si 06zetx6y, alorsx¡y2R¡doncz(x¡y)2R¡,i.e.zx6zy. On remarquera que siz60 alorsz(x¡y)2RÅdonczy6zx,l"inégalité change de sens.Conséquences-Six6yeta6b, alorsxÅa6yÅb.-Si 06x6yet 06a6balors 06ax6by.II BORNE INFÉRIEURE, BORNE SUPÉRIEURE1) Propriété fondamentale de l"ensemble des réelsSoit I une partie non vide deRet soitaun réel, on dit que :-Iest majorée para(ouaest un majorant deI), lorsque tout élément deIest inférieur ou égal àa:8x2I,x6a.-Iest minorée para(ouaest un minorant deI), lorsque tout élément deIest supérieur ou égal àa:8x2I,x>a.-I est bornée, lorsque I est à la fois minorée et majorée :9m,M2R,8x2I,m6x6M.ZExemples:-L"ensemble IAE{x21Åx2/x2R} est borné (minoré par 0 et majoré par 1).-L"ensemble IAE{x21Åjxj/x2R} est minoré par 0, mais non majoré.Remarque 8.1 --Iest non majoré équivaut à :8M2R,9x2I,xÈM.-Iest non minoré équivaut à :8m2R,9x2I,xÇm.-Iest borné équivaut à :9M2R,8x2I,jxj6M.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 76 -©Fradin Patrick -

Borne inférieure, borne supérieure Chapitre 8 : Nombres réelsSoitIune partie non vide deR. Si l"ensemble des majorants deIn"est pas vide et s"il admet un pluspetit élément, alors celui-ci est appeléborne supérieuredeIet notésup(I). La borne supérieure(lorsqu"elle existe) est doncle plus petit des majorants.Si l"ensemble des minorants deIn"est pas vide et s"il admet un plus grand élément, alors celui-ci estappeléborne inférieuredeIet notéinf(I). La borne inférieure (lorsqu"elle existe) est doncle plusgrand des minorants.Définition 8.1ZExemples:-IAE]0;1], l"ensemble des majorants est [1;Å1[, celui-ci admet un plus petit élément qui est 1, doncsup(I)AE1. L"ensemble des minorants deIest ]¡1;0] qui admet un plus grand élément : 0, doncinf(I)AE0.-IAE]1;Å1[, l"ensemble des majorants est vide doncIn"a pas de borne supérieure. L"ensemble desminorants est ]¡1;1], celui-ci admet un plus grand élément : 1, donc inf(I)AE1.On remarquera qu"une borne inférieure (ou supérieure) d"un ensembleIn"a aucune raison d"appartenir àI.Attention!Voici le lien entre minimum et borne inférieure (ou maximum et borne supérieure) :SoitIune partie non vide deRet soitaun réel :•aAEmin(I)ssia2IetaAEinf(I).•aAEmax(I)ssia2IetaAEsup(I).Théorème 8.2Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice.Il découle de la définition :SoitIune partie non vide deRet soitmun réel, alors :mAEsup(I)()(mmajoreI8"È0,m¡"ne majore pasI,i.e.9x2I,m¡"Çx.mAEinf(I)()(mminoreI8"È0,mÅ"ne minore pasI,i.e.9x2I,xÇmÅ".Théorème 8.3Toute partie deRnon vide et majoréeadmet une borne supérieure.Théorème 8.4(Propriété fondamentale deR(admise))Conséquence: il en découle que toute partie deRnon vide et minorée admet une borne inférieure.Preuve: SoitAune partie deRnon vide et minorée par un réelm, alors l"ensemble¡AAE{¡a/a2A}est une partiedeRnon vide et majorée par le réel¡m. D"après le théorème précédent,¡Aadmet une borne supérieureMet doncl"ensemble des majorants de¡Aest [M,Å1[, on en déduit que l"ensemble des minorants deAest ]¡1;¡M] et doncAadmet une borne inférieure qui est¡M, c"est à dire inf(A)AE¡sup(¡A).ZExemples:-Soitaun réel positif, on poseAAE©x2R¯¯x26aª.Aest une partie non vide deRcar 02A, d"autre partAest majoré paraÅ1 carxÈaÅ1AE)x2Èa2Å2aÅ1Èa. L"ensembleAadmet donc une bornesupérieureM. En raisonnant par l"absurde on peut montrer queM2AEa, par conséquentMAEpa, c"estune définition possible de la fonction racine carrée.-SoientAetBdeux parties deRnon vides et bornées telles queA½B. Montrer queinf(B)6inf(A) etsup(A)6sup(B).Réponse:inf(B) est un minorant deBdonc un minorant deA, par conséquentinf(B)6inf(A) carinf(A)est le plus grand des minorants deA. De même,sup(B) majoreB, donc majoreAégalement, d"oùsup(A)6sup(B) car sup(A) est le plus petit des majorants de A.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 77 -©Fradin Patrick -

Borne inférieure, borne supérieure Chapitre 8 : Nombres réels-SoientAetBdeux parties deRnon vides et majorées, on poseAÅBAE{aÅbja2A,b2B}. Montrer quesup(AÅB)AEsup(A)Åsup(B).Réponse:sup(A)Åsup(B)majoreAÅB,doncAÅBadmetunebornesup.etsup(AÅB)6sup(A)Åsup(B).Soienta2Aetb2B,aÅb6sup(AÅB), donca6sup(AÅB)¡b, ce qui signifie queAest majoré parsup(AÅB)¡b, d"oùsup(A)6sup(AÅB)¡b, mais alorsb6sup(AÅB)¡sup(A), doncBest majoré parsup(AÅB)¡sup(A), d"oùsup(B)6sup(AÅB)¡sup(A) et finalementsup(A)Åsup(B)6sup(AÅB) cequi prouve bien l"égalité.2) IntervallesSoitIune partie non vide deR, on dit queIest un intervalle lorsque :tout réel compris entre deuxéléments deIest lui-même élément deI, c"est à dire :8x,y2I,8z2R,x6z6yAE)z2I.Par convention,?est un intervalle deR.Définition 8.2SiIest un intervalle non vide deRalors on a :-soitIAER,-soitIAE[a;Å1[ouIAE]a,Å1[,-soitIAE]¡1;b]ouIAE]¡1;b[,-soitIAE]a;b[ouIAE]a;b]ouIAE[a;b[ouIAE[a;b].Théorème 8.5Preuve: Le premier correspond àInon borné, le deuxième àIminoré et non majoré, le troisième àInon minoré etmajoré, le quatrième à I borné.ZExemple:Zn"est pas un intervalle deRcar 1,22Zmais pas32.Qn"est pas un intervalle deR.On a les propriétés suivantes :-L"intersection de deux intervalles deRest un intervalle deR.-La réunion de deux intervalles deRnon disjointsest un intervalle deR.Théorème 8.6Preuve: SoientIetJdeux intervalles deR, posonsKAEI\J. SiKest vide, alors c"est un intervalle. SiKn"est pas vide,alors soitx,y2Ket soitzun réel tel quex6z6y. CommeIest un intervalle contenantxety,Icontientz, de mêmeJcontientz, finalementz2K et donc K est un intervalle deR.SupposonsIetJnon disjoints et soitKAEI[J.Kest non vide, soitx,y2Ket soitzun réel tel quex6z6y. Sixetysont dansI, alorszest dansIet donc dansK, de même sixetysont dansJ. Sixest dansIetydansJ, soitt2I\J, siz6t, alorszest compris entrexettqui sont éléments deI, doncz2I. Sit6z, alorszest compris entretetyqui sontéléments de J, donczest élément de J. Dans les deux cas on a bienz2K et donc K est un intervalle deR.3) La droite numérique achevéeOn ajoute à l"ensembleRdeux éléments non réels (par exempleiet¡i), l"un de ces deux éléments estnoté¡1et l"autreÅ1.L"ensembleR[{¡1,Å1}est notéRet appelédroite numérique achevée.Définition 8.3On prolonge la relation d"ordre deRàRen posant pour tout réelx:¡1ÇxÇÅ1. L"ensembleRdevientainsi un ensemble totalement ordonné, de plus il possède un maximum (Å1) et un minimum (¡1).Pour tout réelxon pose :-(Å1)ÅxAExÅ(Å1)AEÅ1.-(¡1)ÅxAExÅ(¡1)AE¡1.-(Å1)Å(Å1)AEÅ1.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 78 -©Fradin Patrick -

Approximation d"un réel Chapitre 8 : Nombres réels-(¡1)Å(¡1)AE¡1.-SixÈ0 :x(Å1)AE(Å1)xAEÅ1et (¡1)xAEx(¡1)AE¡1.-sixÇ0 :x(Å1)AE(Å1)AE¡1et (¡1)xAEx(¡1)AEÅ1.-(Å1)(Å1)AEÅ1, (¡1)(¡1)AEÅ1et (¡1)(Å1)AE(Å1)(¡1)AE¡1.Remarque 8.2 -On prendra garde au fait que nous n"avons pas défini de loi de composition interne dansRpuisque nous n"avons pas défini0£(§1)ni(¡1)Å(Å1). Les règles de calculs définies ci-dessus auront leurutilité dans le chapitre sur les limites.SoitAune partie non vide deR, alorsAadmet une borne supérieure et une borne inférieure dansR.Théorème 8.7Preuve: SoitAune partie non vide deR. SiAest majorée dansRalors admet une borne supérieure réelle (propriétéfondamentale deR). SiAn"est pas majorée dansR, alors dansRl"ensemble des majorants est{Å1}, donc il y a uneborne supérieure dansRqui estÅ1(le plus petit majorant). Le raisonnement est le même pour la borne inférieure.4) VoisinagesSoitx2R, tout intervalle de la forme]x¡";xÅ"[où"È0est appelévoisinagedex.Tout intervalle ouvert de la forme]a;Å1[(a2R) est appelé voisinage deÅ1.Tout intervalle ouvert de la forme]¡1;a[(a2R) est appelé voisinage de¡1.Définition 8.4SoitV1,V2deux voisinages dex2R, alorsV1\V2est un voisinage dex. Soita,b2R, siaÇbalors ilexiste un voisinageVdeaet un voisinageV0debtels que8x2Vet8y2V0,xÇy.Théorème 8.8Preuve: Celle - ci est simple et laissée en exercice.SoitP(x)une proposition dépendante dex2R, et soita2R, on dit que la propriétéPestvraie auvoisinagedealorsqu"il existe au moins un voisinageVdeatel que :8x2V,P(x)est vraie.Définition 8.5ZExemple: Soitf(x)AEx2Åx¡1, alors au voisinage de 0 on af(x)Ç0, et au voisinage deÅ1,f(x)È0. En effet,le trinômex2Åx¡1 admet deux racines réelles :x1Ç0 etx2È0, posons"AEmin(jx1j,jx2j), six2]0¡";0Å"[alorsx2]x1;x2[ et doncx2Åx¡1Ç0,VAE]0¡";0Å"[ est donc un voisinage de 0 et sur ce voisinage on a bienf(x)Ç0. Posons WAE]x2;Å1[, alors W est un voisinage deÅ1et sur ce voisinage on a bienf(x)È0.III APPROXIMATION D"UN RÉEL1) Valeur absolueSoitxun réel, les deux nombresxet¡xsont comparables puisque l"ordre est total, ce qui donne un sensà la définition suivante :Soitx2R, on appellevaleur absoluedexle réel notéjxjet défini par :jxj AEmax(x,¡x). On a doncjxjAExlorsque06x, etjxjAE¡xlorsquex60.Définition 8.6L"ensembleRpeut être assimilé à une droite graduée (i.e.munie d"un repère (O,¡!u)), les réels sont alorsles abscisses des points de cette droite. SiA(a) etB(b) sont deux points de cette droite, alors le réel positifjb¡ajreprésente ladistancedeAàB, en particulierjxjreprésente la distance de l"origine au point d"abscissex.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 79 -©Fradin Patrick -

Solution des exercices Chapitre 8 : Nombres réelsPourn>1, l"entierdnAE10n(an¡an¡1)AEb10nxc¡10¥10n¡1x¦est appelénedécimaledex.Définition 8.11Remarquons quedn10¡nAEan¡an¡1, ce qui entraîne quea0,d1d2...dnAEa0ÅnPkAE1dk10¡kAEan, or la suite(an) converge versx, on écrit alors :xAEa0ÅÅ1XkAE1dk10¡kAEa0,d1d2¢¢¢(développement décimal infini dex)IV SOLUTION DES EXERCICESMPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 83 -©Fradin Patrick -

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