Manipuler les nombres réels

entier q tel que a = b×q On dit alors que a est un multiple de b ou a est divisible par b On dit aussi que b et q sont des facteurs de a (ou des diviseurs) Ex : 204 = 17×12 204 est donc un multiple de 17 et de 12 204 est divisible par 17 et 12 17 et 12 sont des facteurs de 204 Décomposition en facteurs premiers Tout entier naturel supérieur

Codage des nombres entiers relatifs

On représente l’entier relatif x strictement négatif comme l’entier naturel x + Ainsi, un entier positif est représenté par un mot dont le premier bit sera 0, et un entier négatif par un mot dont le premier bit sera 1 Expliquons le dernier cas dans le cas des nombres codés sur 16 bits : 32 768 = donc tout nombre entier compris

CHAPITRE 2 : NOMBRES RÉELS

Un entier relatif est un nombre qui se présente comme un entier naturel muni d'un signe positif ou négatif indiquant sa position par rapport à zéro sur un axe orienté Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels: 1, 2, 3 (un nombre qui ne possède pas de signe est un nombre positif) L'entier zéro : 0

Les différents types de nombres - WordPresscom

une partie décimale dont le nombre de chiffres est fini - 5,324 est un nombre décimal Il 3 chiffres) de chiffres après la virgule Pour preuve, une autre écriture de 5,324 est 5324/1000 6, qui est un entier naturel et aussi un entier relatif, est un nombre décimal En effet, 6 = 60/10

Manipuler les nombres réels

• Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a 10n où a est un entier relatif et n un entier naturel 4) Écrire les décimaux suivants sous la forme a 10n: • 2,23 • -481,68 • 0,000104 • 68 • -437,534 • 1/4 Point méthode : Pour montrer qu’un nombre est un décimal, il faut le mettre sous la forme a 10n

Les puissances résumé - AlloSchool

Soient a et b deux nombres relatifs , et, n un nombre entier naturel non nul á× á =( × ) á Règle 5 : Soit a un nombre relatif non nul et, n et m deux nombres entiers naturels non nuls Ô Ô = à− á 12 Exemple : 7 12 / = s t7−3 = s t4 4- Quotient de deux puissances de même base

Les puissances résumé - Dyrassa

AKARMIM L’ARITHMETIQUE

Montrer que pour tout J entier naturel, 5 J3+ J est divisible par 6 Montrer que si J n’est pas un multiple de 7, alors : J6−1 est un multiple de 7 Montrer que pour tout entier naturel, le nombre J( J²+5) est divisible par 6 8) Les classes d’équivalences Définition : Soit J un entier naturel non nul

Les Puissances - Site de Mme CAZIN (Maths)

Définitions : ¤ Soient n un entier naturel non-nul et a un nombre relatif non-nul Le produit a×a×a× ×a nfacteurs égaux àa se note an et se lit « a puissance n » ou « a exposant n » L'inverse de an est 1 an, se note a−n et se lit « a puissance moins n » ou « a exposant moins n » ¤ L'inverse de a est a−1 ¤ En

Divisibilité dans Z Nombres premiers

61 est un nombre premier diviseur de 3599 tel que 3599

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1/8

Manipuler les nombres réels

I. Les ensembles de nombres

I.1. Construction des ensembles

•Un entier naturel est un nombre entier qui est positif, l'ensemble des entiers naturels est noté ℕ. •Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif, •Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffre après la virgule, l'ensemble des nombres décimaux s'écrit D •Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotienta b avec a un entier et b un entier non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté nombres que nous utiliserons en classe de seconde On remarquera que les ensembles sont inclus les uns dans les autres comme le montre le schéma, et donc on pourra écrire :

1) A partir des définitions proposées, placez chacun des nombres suivants dans

le bon ensemble : 2;

4,5;9;-1

3; 1

42) Compléter les ... dans les expressions mathématiques suivantes :

Maths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels» 2/8

3) Complétez le schéma suivant par au moins 3 nombres pour chaque sous-ensemble.

I.2. Les nombres décimaux

Pour exprimer mathématiquement le fait qu'un nombre décimal a un nombre fini de chiffre après la virgule on écrira : •Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a10n où a est un entier relatif et n un entier naturel.

4) Écrire les décimaux suivants sous la forme a

10n : •2,23 •-481,68 •0,000104 •68 •-437,534 •1/4 Point méthode : Pour montrer qu'un nombre est un décimal, il faut le mettre sous la forme a

10n5) Les nombres suivants sont-ils décimaux ?

125
505
1+2 3 Démonstration : Montrons que 1/3 n'est pas un nombre décimal. Si 1/3 était un nombre décimal, nous serions capable de l'écrire sous la forme a

10navec a un nombre entier. C'est à dire qu'on aurait 1

3=a10nMaths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels»

3/8 Avec le produit en croix, cela revient à écrire : a=10n 3

10n n'est pas divisible par 3 car d'après le critère de divisibilité par 3:1+0+0+0+...+0=1Comme 10n n'est pas divisible par 3, le nombre

10n

3n'est pas un entier.

On se retrouve dans la situation suivante :

a=10n 3 est un entier n'est pas un entier Un entier ne peut pas être égal à un nombre qui ne l'est pas, cette situation est absurde ! En supposant que 1/3 est un nombre décimal on aboutit à une absurdité, donc 1/3 n'est pas un nombre décimal. CQFD Ce type de raisonnement est appelé démonstration par l'absurde.

I.3. Les nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme p q où p et q sont des entiers.

6) Sur une droite judicieusement graduée, placer les nombres rationnels suivants :

1 3 ; 4

3 ; -2

3 ; 5

3 ; -5

Démonstration : Montrons que

Si telles que q. En choisissant ces entiers premiers entre eux, la fraction p q est irréductible. q

2∗q²=p²Maths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels»

4/8 p² est visiblement un multiple de 2, donc pair

Or si p² est pair alors p est pair et peut s'écrire p=2*k où k est un entier2∗q²=(2k)²2∗q²=4∗k²

q ²=2k²q² est donc pair, alors q est pair aussi. p et q sont tous les deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux. La fraction n'était pas irréductible ! C'est absurde

En supposant que

est irrationnel. CQFD

II. Intervalles de ℝ

II.1. Notation

graduée par :

Cet ensemble est un intervalle et se note [1;5]

Par exemple, 4 appartient à cet intervalle et on note alors

4∈[1;5]en revanche, -3∉[1;5] et 0∉[1;5]

II.2. Intervalles ouverts et fermés

Intervalle ouvert : Les deux crochets sont tournés vers l'extérieur, les bornes ne sont pas inclues dans l'intervalle. Exemple : ]1;4[ contient tous les réels compris entre 1 et 4 sauf 1 et 4 Intervalle fermé : Les deux crochets sont tournés vers l'intérieur, les bornes sont inclues dans l'intervalle. Exemple : [1;4] contient tous les réels compris entre 1 et 4 y compris 1 et 4 Maths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels» 5/8

7) Représenter l'intervalle et le nombre sur une même droite graduée avant de

préciser si le nombre appartient ou non à l'intervalle.

Nombre aIntervalle IDroite graduéea∈I?

1[1;5[

12]-∞;10]

-4[-5 ;6]

3[0;3]

-3]-2 ;0] -15]-∞;12[

12[-15 ; +∞[

8) Compléter le tableau suivant

[0;7[ x ≥4x [0;2[

II.3. Réunion et intersection

On considère deux intervalles I et J tels que : Maths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels» 6/8 Intersection : L'intersection des ensembles I et J est composé de tous les éléments appartenant à I et à J et se note I∩J

Ici I∩J=[-2;4]Réunion : La réunion des ensembles I et J est composé de tous les éléments

appartenant au moins à I ou à J (ou les deux) et se note

I∪JIci U∪J=[-6;9]

9) Pour chaque cas, déterminerI

∩J et I∪J •I=[-5 ;-2[ et J=[-4;6] •I=]-∞;4] et J=[-5 ; +∞[ •I=]6 ; +∞[ et J=[-4 ; +∞[ •I=]-4 ; 7] et J=]-∞ ; 2[ •I= ]-5;3[ et J=[3 ; +∞[ • I= ]-5;3[ et J=]3 ; +∞[

10) Écrire de la façon la plus simple possible :

11) Compléter comme dans l'exemple

Maths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels» 7/8

III. Valeur absolue

III.1. Définition

La distance de deux réels a et b est la distance entre les points A et B d'abscisses respectives a et b sur la droite graduée des réels.

Si a
Si a>b
Cette distance se note |a-b|, se lit " valeur absolue de a-b » et vaut : •b-a si ab
12) Soient A et B deux points d'abscisses a et b d'une droite graduée. Calculer la
distance AB. •a=-1 et b=5 •a= 3/4 et b= -3/2 •a=-1,4 et b=-5,2
13) Écrire les quantités suivantes sous forme d'une distance entre deux réels.
|x-3|• |x|• |Π-x|• |x-(-4)|• |x+5|• L'intervalle [a-r;a+r] est l'ensemble des réels x tels que
Explication sur la droite des réels :
Maths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels» 8/8 Si la distance entre x et a est plus petite que r alorsx∈[a-r;a+r], et réciproquement.
14) Caractériser à l'aide d'une inégalité faisant intervenir une valeur absolue les
intervalles suivants : [5;10]•[-7,5;-6,5] |x-2|=3• |x-4|=2 |x-(-1)|=5 |x+4|=0 |x+3|=2• |x|=2
16) Déterminer l'ensemble des réels vérifiant l'inégalité donnée :
Maths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels»quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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[PDF] Manipuler les nombres réels

Manipuler les nombres réels

I. Les ensembles de nombres

I.1. Construction des ensembles

1) A partir des définitions proposées, placez chacun des nombres suivants dans

4,5;9;-1

42) Compléter les ... dans les expressions mathématiques suivantes :

3) Complétez le schéma suivant par au moins 3 nombres pour chaque sous-ensemble.

I.2. Les nombres décimaux

4) Écrire les décimaux suivants sous la forme a

10n5) Les nombres suivants sont-ils décimaux ?

10navec a un nombre entier. C'est à dire qu'on aurait 1

3=a10nMaths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels»

10n n'est pas divisible par 3 car d'après le critère de divisibilité par 3:1+0+0+0+...+0=1Comme 10n n'est pas divisible par 3, le nombre

3n'est pas un entier.

On se retrouve dans la situation suivante :

I.3. Les nombres rationnels

6) Sur une droite judicieusement graduée, placer les nombres rationnels suivants :

3 ; -2

3 ; -5

Démonstration : Montrons que

2∗q²=p²Maths Seconde séq1 "Nombres et calculs» chap 1 "Manipuler les nombres réels»

En supposant que

II. Intervalles de ℝ

II.1. Notation

Cet ensemble est un intervalle et se note [1;5]

4∈[1;5]en revanche, -3∉[1;5] et 0∉[1;5]

II.2. Intervalles ouverts et fermés

7) Représenter l'intervalle et le nombre sur une même droite graduée avant de

Nombre aIntervalle IDroite graduéea∈I?

1[1;5[

12]-∞;10]

3[0;3]

12[-15 ; +∞[

8) Compléter le tableau suivant

II.3. Réunion et intersection

I∪JIci U∪J=[-6;9]

9) Pour chaque cas, déterminerI

10) Écrire de la façon la plus simple possible :

11) Compléter comme dans l'exemple

III. Valeur absolue

III.1. Définition

Si a>b

12) Soient A et B deux points d'abscisses a et b d'une droite graduée. Calculer la

13) Écrire les quantités suivantes sous forme d'une distance entre deux réels.

Explication sur la droite des réels :

14) Caractériser à l'aide d'une inégalité faisant intervenir une valeur absolue les

16) Déterminer l'ensemble des réels vérifiant l'inégalité donnée :