Les nombres irrationnels
pas un nombre rationnel, et donc est irrationnel • Supposons que la √ 2 est un nombre rationnel • Donc il existe deux entiers a et b tels que √ 2 = a b – Nous allons choisir a et b tels que la fraction a b soit irr´eductible Ceci veut dire qu’on ne peut par r´eduire davantage cette fraction En particulier, il n’est pas
Nombres entiers et rationnels - Piger-lesmaths
Dire qu’un nombre est rationnel signifie que ce nombre peut s’écrire sous la forme avec a et b nombres entiers relatifs (b ≠0) • Tout nombre entier relatif est un nombre rationnel Par exemple : -5 = • Tout nombre décimal est un nombre rationnel Par exemple : 2,15 =
Les nombres entiers et rationnels (cours)
Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs quelconques et si k ≠ 0, alors : a k + b k = a+b k et a k − b k = a −b k
Nombres entiers et rationnels PGCD
π et 2 sont de tels nombres Il sont dits irrationnels II Diviseurs Rappel Lorsqu'on pose la division euclidienne de deux nombres, on a : D=dq r et r d 1/ Diviseurs d'un nombre entier Définition d et n sont deux entiers naturels On dit qu'un nombre d divise un nombre n si le reste de la division euclidienne de n par d a un reste nul Exemple
3 Nombres rationnels, nombres réels
Tout nombre rationnel admet une écriture fractionnelle irréductible unique p q, avec p 2Z et q 2N⁄, telle que le seul diviseur commun à p et q soit 1 Exemple 1 3 2Q 14 ¡21 et 14 ¡21 ˘¡ 2 3 2,5 0,7 2Q car 2,5 0,7 ˘ 25 7 En particulier, tout nombre entier ou entier relatif est aussi un nombre rationnel Par exemple, 5 ˘ 5 1, donc 5 2Q
Problème 1 : nombres irrationnels - Maths-Concours
On rappelle que tout nombre rationnel non nul peut s’écrire sous la forme p q, où p et q sont des entiers relatifs premiers entre eux Un nombre réel est dit irrationnel s’il n’appartient pas à Q Dans ce problème, on se propose de démontrer l’irrationalité de quelques nombres réels Les trois parties de ce problème sont
D emonstration - CEREMADE
2) est la somme d’un rationnel et d’un irrationnel; c’est donc un nombre irrationnel d’apr es la premi ere question Ces deux nombres sont egalement positifs Pourtant, x 1 + x 2 = 10 donc x 1 + x 2 est un nombre rationnel 3 Vrai : la racine carr ee d’un nombre irrationnel positif est irrationnelle D emonstration Soit x 1 un
Les rationnels, les réels - Exo7 : Cours et exercices de
3 (****) p (LAMBERT a montré en 1761 que p est irrationnel, LEGENDRE a démontré en 1794 que p2 est irrationnel, LINDEMANN a démontré en 1882 que p est transcendant) Pour cela, supposer par l’absurde que p = p q avec p et q entiers naturels non nuls et premiers entre eux Considérer alors I n = R p=q 0 x n( qx) n sinx dx, n2N et
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Nombres entiers et rationnels
1Nombres entiers et rationnels
I Divisibilitéa) Division euclidienneDéfinition a et b désignent des nombres entiers avec b ¹0. Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver le quotient q et le reste rtel que : a = b ´ q+ r et 0 £ r< b.Exemple :
division euclidienne de 652 par 24.A la main dividende diviseur6 5 2 2 4
- 4 8 2 7 1 7 2 quotient - 1 6 8 reste 4652 = 24´ 27+ 4 et 0 £ 4< 24
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Nombres entiers et rationnels
b) Diviseurs et multiplesDéfinition a et b désignent des nombres entiers avec b ¹0. Dire que b est un diviseur de a signifie que le reste de la division euclidienne de a par b est nul c'est-à-dire que : a = b´´´´q avec q nombre entier.Vocabulaire
: On dit aussi que b divise aou que a est divisible par bou que a est un multiple de b. Remarques : •2,5´32 = 80, mais 32 n'est pas un diviseur de 80 car 2,5 n'est pas un nombre entier. •Tout nombre entier non nul est au moins divisible par 1 et lui-même.1 ´80 = 802 ´40 = 80
4 ´20 = 80
5 ´16 = 80
8 ´10 = 80On essaie les nombres entiers dans l'ordre croissant.
On s'arrête là car 9 ne
divise pas 80 et 10 est déjà écrit. Les diviseurs de 80 sont donc : 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80.Exemple : liste des diviseurs de 80.Nombres entiers et rationnels
c) Critères de divisibilitéPropriétés•Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 alors il est
divisible par 2. •Si la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par 3, alors ce nombre est divisible par 3. •Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ou 5, alors il est divisible par 5. •Si la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9. •Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, alors il est divisible par 10.Nombres entiers et rationnels
II Diviseurs communs à deux nombres entiersa) Diviseurs communsDéfinition a, b et k désignent des nombres entiers avec k ¹0. Dire que k est un diviseur communà a et b signifie que k divise à la fois a et b.Exemples : •2 est un diviseur commun à 12 et 38 (2´6 = 12 et
2´19 = 38).
•5 est un diviseur commun à 15 et 30 (5´3 = 15 et
5´6 = 30).
b) PGCDDéfinition a et b désignent des nombres entiers non nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est appelé le PGCD de a et b ( Plus GrandCommun
Diviseur)
Exemple :
PGCD de 36 et 24.
Les diviseurs de 24 sont 1; 2; 3; 4; 6; 8;
12 ; 24.Les diviseurs de 36 sont : 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12
; 18; 36.Parmi les diviseurs communs (1; 2; 3; 4; 6; 12
), le plus grand est 12Donc PGCD(36;24) =
12Nombres entiers et rationnels
c) Nombres premiers entre euxDéfinitionDire que deux nombres entiers sont premiers entre euxsignifie que 1 est
leur seuldiviseur commun. Dire que deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux revient àdire que PGCD(a;b) = 1.Exemple : Les diviseurs de 16 sont 1; 2; 4; 8; 16. Les diviseurs de 9 sont 1; 3; 9.
Ainsi 1 est le seul diviseur commun à 16 et 9, donc 16 et 9 sont premiers entre eux.Nombres entiers et rationnels
III Algorithme de calcul du PGCDAlgorithme d'Euclide ou des divisions successivesExemple :PGCD de 75 et 40.
75 = 1 ´40 + 35
40 = 1 ´35 +
535 = 5 ´7 + 0
Le PGCD est le dernier reste non nul.
Donc PGCD(75;40) = 5
Propriété (admise)a et b désignent des nombres entiers non nuls avec a > b. PGCD(a; b) = PGCD(b; r) où r est le reste de la division euclidienne de a et b.Dividende Diviseur Reste75 40 35
40 355quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2