Les nombres irrationnels
pas un nombre rationnel, et donc est irrationnel • Supposons que la √ 2 est un nombre rationnel • Donc il existe deux entiers a et b tels que √ 2 = a b – Nous allons choisir a et b tels que la fraction a b soit irr´eductible Ceci veut dire qu’on ne peut par r´eduire davantage cette fraction En particulier, il n’est pas
Nombres entiers et rationnels - Piger-lesmaths
Dire qu’un nombre est rationnel signifie que ce nombre peut s’écrire sous la forme avec a et b nombres entiers relatifs (b ≠0) • Tout nombre entier relatif est un nombre rationnel Par exemple : -5 = • Tout nombre décimal est un nombre rationnel Par exemple : 2,15 =
Les nombres entiers et rationnels (cours)
Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs quelconques et si k ≠ 0, alors : a k + b k = a+b k et a k − b k = a −b k
Nombres entiers et rationnels PGCD
π et 2 sont de tels nombres Il sont dits irrationnels II Diviseurs Rappel Lorsqu'on pose la division euclidienne de deux nombres, on a : D=dq r et r d 1/ Diviseurs d'un nombre entier Définition d et n sont deux entiers naturels On dit qu'un nombre d divise un nombre n si le reste de la division euclidienne de n par d a un reste nul Exemple
3 Nombres rationnels, nombres réels
Tout nombre rationnel admet une écriture fractionnelle irréductible unique p q, avec p 2Z et q 2N⁄, telle que le seul diviseur commun à p et q soit 1 Exemple 1 3 2Q 14 ¡21 et 14 ¡21 ˘¡ 2 3 2,5 0,7 2Q car 2,5 0,7 ˘ 25 7 En particulier, tout nombre entier ou entier relatif est aussi un nombre rationnel Par exemple, 5 ˘ 5 1, donc 5 2Q
Problème 1 : nombres irrationnels - Maths-Concours
On rappelle que tout nombre rationnel non nul peut s’écrire sous la forme p q, où p et q sont des entiers relatifs premiers entre eux Un nombre réel est dit irrationnel s’il n’appartient pas à Q Dans ce problème, on se propose de démontrer l’irrationalité de quelques nombres réels Les trois parties de ce problème sont
D emonstration - CEREMADE
2) est la somme d’un rationnel et d’un irrationnel; c’est donc un nombre irrationnel d’apr es la premi ere question Ces deux nombres sont egalement positifs Pourtant, x 1 + x 2 = 10 donc x 1 + x 2 est un nombre rationnel 3 Vrai : la racine carr ee d’un nombre irrationnel positif est irrationnelle D emonstration Soit x 1 un
Les rationnels, les réels - Exo7 : Cours et exercices de
3 (****) p (LAMBERT a montré en 1761 que p est irrationnel, LEGENDRE a démontré en 1794 que p2 est irrationnel, LINDEMANN a démontré en 1882 que p est transcendant) Pour cela, supposer par l’absurde que p = p q avec p et q entiers naturels non nuls et premiers entre eux Considérer alors I n = R p=q 0 x n( qx) n sinx dx, n2N et
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ENIB 08/09 Informatique S2
Constructions Geometriques
Rationnel, nombre d'or et fractions continues
Alexis NEDELEC
LISYC EA 3883 UBO-ENIB-ENSIETA
Centre Europeen de Realite Virtuelle
Ecole Nationale d'Ingenieurs de Brest
enib c2009nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc
20091 / 52
Objectifs
Objectifs du cours
Construction de package python
tests unitaires de fonctions notion de packages, modules programmes de tests des fonctions de modules installation, distribution (setup.py, MANIFEST)Projet d'etude : rationnels et irrationnels denition des rationnels representations geometriques arbre de construction des rationnels fractions continues et irrationnels construction geometrique du nombre d'or nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc20092 / 52
ObjectifsEnvironnement de travail
Construction de packages
Arborescence de repertoires
{logname@hostname} tree nombres nombres |-- MANIFEST |-- README.txt |-- doc |-- setup.py |-- src | `-- rationnel | |-- __init__.py | |-- figures.py | |-- geometrie.py | |-- nombre.py | `-- utils.py nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc20093 / 52
ObjectifsEnvironnement de travail
Programmes de test
Arborescence de repertoires
`-- test |-- calkinWilf.py |-- constructionOr.py |-- euclide.py |-- ford.py |-- geometrie.py `-- spiraleOr.py {logname@hostname} nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc20094 / 52
Nombres rationnels
Projet d'etude : les rationnels
Nombre rationnel : Denition
Quotient de 2 entiers relatifs
Q=fmn j(m;n)2ZN f0ggZ: ensemble des entiers
N: ensemble des entiers naturelsRemarques
plusieurs representations : 12 ;24 ;36 forme privilegiee : (m;n) : nombres premiers entre euxfraction : nombre rationnel non-entier fraction irreductible : (m;n) premiers entre euxirrationnel : nombre reel qui n'est pas un rationnel nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc20095 / 52
Nombres rationnelsDenition
Nombre rationnel : denition
Arithmetique des rationnels
Egalite :
ab =cd ()a:d=b:cAddition :
ab +cd =a:d+b:cb:dMultiplication :ab
:cd =a:cb:dOppose,inverse :
(ab ) =ab =ab;(ab )1=ba (a6= 0)nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc20096 / 52
Nombres rationnelsDenition
Nombre rationnel : construction
Suites de Farey (1766-1826)
\Si, apres avoir range dans leur ordre de grandeur les fractions irreductibles ... on en prend trois de suite ... en additionant les numerateurs et denominateurs de la premiere et de la troiseme on obtient une fraction non-necessairement irreductible, egale a la fraction intermediaire (fraction mediane)"Suites de Farey : Exemples F1=f0;1g; F2=f0;12
;1g; F3=f0;13 ;12 ;23 ;1g F4=f0;14
;13 ;12 ;23 ;34 ;1g; F5=f0;15 ;14 ;13 ;25 ;12 ;35 ;23 ;34 ;45 ;1gnedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc20097 / 52
Nombres rationnelsSuites de Farey
Suites de Farey
Proprietes
Si ab etcd sont deux fractions consecutives deFnalors : b:ca:d= 1 Si ab ;cd ;ef sont trois fractions successives deFnalors : cd =a+eb+f=ab ef Recurrence :Fn+1a partir deFnpour 2 fractions consecutives ab etcddeFninserer la fraction mediane irreductible si (b+d)n+ 1nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc
20098 / 52
Nombres rationnelsSuites de Farey
Suites de Farey : Recurrence
Recurrence :Fn+1a partir deFnF
6=f0;16
;15 ;14 ;13 ;25 ;12 ;35 ;23 ;34 ;45 ;56 ;1gOn obtientF7en inserant :
F7=f0;17
;16 ;15 ;14 ;27 ;13 ;25 ;37 ;12 ;47 ;35 ;23 ;57 ;34 ;45 ;56 ;67 ;1gnedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc20099 / 52
Nombres rationnelsSuites de Farey
Suites de Farey : implementation
Module :rationnel.nombredef farey(n) :
suite de Farey d'ordre (n) -> list (Fn) >>> farey(1) [(0, 1), (1, 1)] >>> farey(3) [(0, 1), (1, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 1)] assert type(n) is int and n > 0Fn = [(0,1),(1,1)]
nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200910 / 52
Nombres rationnelsSuites de Farey
Suites de Farey : implementation
Module :rationnel.nombreif n > 1 :
i=0 while Fn[i][0]!=1 or Fn[i][1]!=1: if Fn[i][1]+Fn[i+1][1] <= n :Fn.insert(i+1,\
(Fn[i][0]+Fn[i+1][0],\Fn[i][1]+Fn[i+1][1]))
else : i=i+1 return Fn nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200911 / 52
Nombres rationnelsSuites de Farey
Suites de Farey : representation
Cercles de Ford (1886-1975)
Representation geometrique associe a la fraction irreductible pq cercle de centre ( pq ;12q2)de rayon12q2nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc
200912 / 52
Nombres rationnelsSuites de Farey
Cercle de Ford : implementation
Module :rationnel.figuresdef fordCircle(rational,scale=500.0, x=0, y=0) : representation de (rational) par un cercle de Ford assert type(rational) is tuple assert len(rational) == 2 assert type(scale) is float a=(scale*rational[0])/rational[1] b=scale/(2*rational[1]**2) up() goto(x+int(a),y) down() circle(b) nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200913 / 52
Nombres rationnelsSuites de Farey
Cercle de Ford : Programme de test
Repertoire de test :ford.pyimport sys
sys.path.append("../src") from rationnel.nombre import farey from rationnel.figures import fordCircle for rational in farey(5) : fordCircle(rational) nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200914 / 52
Nombres rationnelsArbre de Stern-Brocot
Nombre rationnel : construction
Arbre de Stern-Brocot
Moritz Stern (1807-1894) en 1858 :
Uber eine
zahlentheoretische Funktion. Crelle's Journal 55 :193-220Achille Brocot (1817-1878) en 1861 :Calcul des rouages par
approximation, nouvelle methode.Revue Chronometrique 3 :186-194Denition
construction de l'ensemble des rationnelsQ.on part du couple de fractions irreductibles (0/1, 1/0) on insere entre ( pq ;p0q0) la fraction mediante (p+p0q+q0)nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc
200915 / 52
Nombres rationnelsArbre de Stern-Brocot
Arbre de Stern-Brocot
Remarques
extr^eme-gauche se trouvent les fractions unitaires extr^eme-droite, les nombres entiers sous forme rationnelle nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200916 / 52
Nombres rationnelsArbre de Stern-Brocot
Arbre de Calkin-Wilf
Variation autour de l'arbre de Stern-Brocot
on part d'un rationnel (a/b) on genere deux enfants : gauche ( aa+b), droite (a+bb )l'arbre contient tous les rationels positifs une seule fois sur chaque niveau : le denominateur du rationel gauche coincide avec le numerateur de son voisinm^eme remarque en developpant ligne a ligne nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200917 / 52
Nombres rationnelsArbre de Stern-Brocot
Arbre de Stern-Brocot
Trouver le rationnel positif correspondant a un nombre soitxce nombre,l=01 ; r=10 (r:1)silxralors trois cas possibles :lx < lrx=lrlr < xrAlgorithme initialisation :x;l=01 ; r=10 traitements premier cas :r (lr)deuxieme cas : on a trouve le rationnel correspondanttroisieme cas :l (lr)arr^et : sixnon-rationnel, denir un seuil de precisionnedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc
200918 / 52
Nombres rationnelsArbre de Stern-Brocot
Arbre de Stern-Brocot
Representation matricielle
Un rationnel (p/q) peut s'exprimer par un mot constitue d'une succession de (L;R) representant les matrices : L=1 0 1 1 R=1 1 0 1 denissant le chemin de la racine jusqu'au noeud representant le rationnel de l'arbre de Stern-Brocot.Exemple : (5/7) LRRL 1 1 =1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 =5 7 nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200919 / 52
Nombres rationnelsArbre de Stern-Brocot
Arbre de Stern-Brocot
Module :rationnel.nombrefrom math import sqrt
from numpy import matrix def code2rational(mot) : conversion,codage LR,de (mot) -> nuplet (rational) >>> code2rational('LLRR') (3, 7) >>> code2rational('RLRLRLRLRLRLRLRLRLRLRLRL') (121393, 75025) assert codeLR(mot) active = matrix('[1,0;0,1]') vector = matrix([[1],[1]]) nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200920 / 52
Nombres rationnelsArbre de Stern-Brocot
Arbre de Stern-Brocot
Module :rationnel.nombreL = matrix('[1,0;1,1]')
R = matrix('[1,1;0,1]')
for c in mot : if c == 'L' : active = active*L elif c =='R' : active = active*R result = active*vector rational = (int(result[0][0]),int(result[1][0])) return rational print 1.*r[0]/r[1] # 1.61803398867 print (1 + sqrt(5))/2 # 1.61803398875 nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200921 / 52
Nombre d'OrDenition
Nombre d'or :'=1+p5
2 = 1:61803398875:::Denition Euclidienne \Une droite est dite coupee en extr^eme et moyenne raison lorsque la droite entiere est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit."a b =a+baLe rapport
ab est alors egal au nombre d'or ('=ab )nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200922 / 52
Nombre d'OrDenition
Nombre d'or :'=1+p5
2 = 1:61803398875:::Test de proportion d'orSpirale d'Or
nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200923 / 52
Nombre d'OrConstruction
Construction du nombre d'Or
A la regle et au compas
tracer un segment de longueur unite. tracer un segment de longueur 1/2, perpendiculaire au precedenttracer un cercle de centre C' (extremite du segment precedent) et de rayon 1/2tracer le segment passant par les points (C,C') intersectant le cercle de centre (C') en dehors de (CC') nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200924 / 52
Nombre d'OrConstruction
A la regle et au compas
Calculs a eectuer
Etant donne deux points(p1,p2)du plantrouver la direction d'un vecteur perpendiculaire : direct=perpendiculaire(p1,p2)calculer le centre C' (center) du cercle : rayon = distance(p1,p2)/2.0 center = scale(rayon/norme(direct),direct) center = somme(center,p2) nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200925 / 52
Nombre d'OrConstruction
A la regle et au compas
Calculs a eectuer
trouver les coecients de la droite (p1,center) : da,db = coeffsDroite(p1,center)calculer l'intersection droite (p1,center) avec le cercle de centre (C') et de rayon (distance(p1,p2)/2.0) a,b,c= coeffsDroiteCercle(da,db,center,rayon) rac = racines(a,b,c) pi1,pi2 = pointsIntersection(da,db,rac)recuperer le point d'intersection exterieur au segment (CC') nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc200926 / 52
Nombre d'OrConstruction
Coecients de droite :y=a:x+bModule :rationnel.geometriefrom linearSystems.directMethods.gauss import solve
def coeffsDroite(p1,p2) : resoudre le systeme : a*x1 + b*1 = y1 a*x2 + b*1 = y2 (p1,p2) -> list : (a,b) coefficients de la droite >>> coeffsDroite([-100,-100],[100,100]) [1.0, 0.0] >>> coeffsDroite([-100,100],[100,-100]) [-1.0, 0.0] >>> coeffsDroite([0,0],[100,0]) [0.0, 0.0] nedelec@enib.fr(ENIB-CERV)Constructions Geometriquesenibc