Le codage des nombres
Ave la mantisse et l’exposant en inaire •A la fin des années 70, chaque ordinateur avait sa propre représentation pour les nombres à virgule flottante Il y a donc eu la nécessité de normaliser le codage des nombres flottants
Représentation des nombres flottants
Représentation en virgule flottante •Avec 2 digits réservés au codage de l’exposant avec un excentrement égal à 50 10 et 5 digits pour la mantisse on peut représenter • de 00001 x 10-50 à 99999 x 1049
Codage des nombres - Université de Poitiers
7 Codage des nombres à virgule 7 1 Codage en virgule fixe • Retenir un nombre fixe de chiffres • Garder simplement un nombre fixe de bits avant et après la virgule • L’espace entre 2 nombres qui se succède est toujours le même • Problème : l’erreur relative peut être grande 7 2 Codage en virgule flottante • Norme IEEE754
DSP Digital Signal Processor - ENSEA
Codage en virgule flottante 30 n 2 Formats (IEEE754) q Simple précision sur 32 bits q Double précision 64 bits Codage en virgule flottante 31 n
Codage en virgule fixe complément à 2 - IRISA
Dynamique en dB Dynamique virgule fixe/flottante Virgule flottante Virgule fixe • Niveau de dynamique DSP Virgule fixe 16 bits Codage virgule flottante IEEE 754 min() max( ) 20 log x x DN dB = = IV-5-50 0 50 0 20 40 60 80 100 Dynamique du signal d entré e en dB RSB en dB Rapport Signal à Bruit virgule fixe/flottante 10 15 20 25 30 0 Nombre
I Introduction Codage en virgule fixe - IRISA
automatique en virgule fixe pour les applications de traitement du signal École thématique ARCHI 03 Roscoff 31mars - 4 avril I Introduction -Codage en virgule fixe I Introduction Arithmétique virgule fixe Comparaison virgule flottante / virgule fixe Objectifs du codage en virgule fixe II Évaluation de la précision des systèmes en
Conversion de nombres en virgule flottante 32 bits
Par conséquent, le nombre à virgule flottante sur 32 bits 3E340000h vaut 0 175781250 en décimal Remarque Lors de la reconstruction du nombre, s'il est normalisé (comme dans la grande majorité des cas; voir la définition des nombres à virgule flottante) il faut ajouter " 1, " à gauche de la mantisse
Exercices - Codage des nombres
2 Codage des entiers relatifs en complément à 28 Écrivez en codage en complément à 2 sur 8 chiffres, les nombres suivants : -15, 127, -1 3 Virgule fixe Écrivez en binaire les nombres suivants : • 6 25 • 3 3125 • 1 2 4 Limites virgule flottante En simple précision, calculez (dans les nombres positifs) le plus petit et le plus grand
TD 2 – Corrigé
Le codage de la mantisse du résultat doit contenir autre chose que 23 zéros si l’on souhaite obtenir une différence avec le codage de la mantisse du nombre 1 Le plus petit nombre possible pour ob-tenir cette différence est donc 2–23 • Double précision Avec un raisonnement identique à celui du codage en simple précision, on
Correction du Travaux Dirigés N°2
Multiplier 10011011 et 11001101 en binaire Correction : Exercice N° 3 : Convertir le nombre décimal 8,625 en virgule flottante suivant la norme IEEE 754 Correction : Conversion de 8,625 en binaire : 8,625 => 1000,101 car
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Architecture Des Ordinateurs
ISET Mahdia 2009 / 2010
Correction du Travaux Dirigés N°2
Exercice Complémentaire : (Conversions)
Ecrire les nombres suivants dans les bases 2, 8, 10 et 16 :7F(16)_ 11000001(2) 1000001(2)_ 13(10) 755(8)_ 1100000011011110(2)_
Correction :
_______ _ 1111111(2) 177(8) 127(10) 7F(16) _ 11000001(2) 301(8) 193(10) C1(16) _ 1000001(2) 101(8) 65(10) 41(16) _ 1101(2) 15(8) 13(10) 0D(16) _ 111101101(2) 755(8) 493(10) 1ED(16) _ 1100000011011110(2) 140336(8) 49374(10) C0DE(16)Exercice N° 1 :
Exprimez le nombre décimal 100 dans les bases de 2 à 9 et en hexadécimalCorrection :
Base 2 1100100
Base 3 10201
Base 4 1210
Base 5 400
Base 6 244
Base 7 202
Base 8 144
Base 9 121
Base 16 64
Exercice N° 2 :
Multiplier 10011011 et 11001101 en binaire.
Correction :
Exercice N° 3 :
Convertir le nombre décimal 8,625 en virgule flottante suivant la norme IEEE 754Correction :
Conversion de 8,625 en binaire : 8,625 => 1000,101 car o Partie entière : 8 => 1000 o Partie décimale : 0,625 => 0,101 Normalisation : 1000,101 = 1000,101 x 20 = 0,1000101 x 24Architecture Des Ordinateurs
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Normalisation IEEE 754 : 1000,101 = 1,0001010 x 23 (de la forme 1,xxxx où xxx = pseudo mantisse) Décomposition du nombre en ses divers éléments : o Bit de signe : 0 (Nombre >0) o Exposant sur 8 bits biaisé à 127 => 3 + 127 = 130 => 10000010 o Pseudo mantisse sur 23 bits : 000 1010 00000000 00000000Signe Exposant biaisé Pseudo mantisse
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Exercice N° 4 :
Donnez la traduction à laquelle correspond le mot de 4 octets codé en hexadécimal suivant :49 55 50 31, :
- un entier signé, - un entier représenté en complément à 2, - un nombre représenté en virgule flottante simple précision suivant la norme IEEE 754,- une suite de caractères ASCII (représentés chacun sur 8 bits, le bit de plus fort poids étant
inutilisé et codé à 0)Correction :
Hexadécimal 4 9 5 5 5 0 3 1
Binaire 0 100 1001 0 101 0101 0101 0000 0011 0001Entier signé + 1 230 327 857
Complément à 2 + 1 230 327 857
IEEE 774
0 100 1001 0 101 0101 0101 0000 0011 0001
+ Exp biaisé : 146Exp : 146 127 = 19
Pseudo mantisse : 101 0101 0101 000 0011 0001
Mantisse : 1, 101 0101 0101 0000 0011 0001
+ 1, 101 0101 0101 0000 0011 0001 x 219 + 1101 0101 0101 0000 0011, 0001 x 20 => 873 731, 0625ASCII I U P 1
Exercice N° 5 :
Soient les 2 nombres codés suivant la norme IEEE 754 et représentés en hexadécimal :3EE00000 et 3D800000
Calculez en la somme et donnez le résultat sous forme IEEE 754 et sous forme décimale. Même question avec les nombres : C8 80 00 00 et C8 00 00 00.Correction :
Somme de 3EE00000 et 3D800000
Hexadécimal 3 E E 0 0 0 0 0
Binaire 0 011 1110 1 110 0000 0000 0000 0000 0000IEEE 774 + Exp biaisé : 125
Exp : 125127 = -2
Pseudo mantisse : 110 0000 0000 0000 0000 0000
Mantisse : 1, 110 0000 0000 0000 0000 0000
+ 1, 110 x 2-2 ( => 0,4375 en décimal)Hexadécimal 3 D 8 0 0 0 0 0
Binaire 0 011 1101 1 000 0000 0000 0000 0000 0000IEEE 774 + Exp biaisé : 123 Exp : 123127 = -4
Pseudo mantisse : 000 0000 0000 0000 0000 0000
Mantisse : 1, 000 0000 0000 0000 0000 0000
+ 1 , 0 x 2-4 ( => 0,0625 en décimal)Architecture Des Ordinateurs
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(1,110 x 2-2 ) + (1,0 x 2-4 ) = (1,110 x 2-2 ) + (0,010 x 2-2 ) = (1,110 + 0,010) x 2-2 = 10,0 x 2-2 = 1,0 x 2-1IEEE 774
+ 1, 0 x 2-1 ( => 0, 5 en décimal) + Exp : = -1Biaisé :-1+127 = 126
Mantisse : 1, 0
Pseudo mantisse : 000 0000 0000 0000 0000 0000
Binaire 0 011 1111 0 000 0000 0000 0000 0000 0000Hexadécimal 3 F 0 0 0 0 0 0
Somme de C8 80 00 00 et C8 00 00 00
Hexadécimal C 8 8 0 0 0 0 0
Binaire 1 100 1000 1 000 0000 0000 0000 0000 0000IEEE 774 - Exp biaisé : 145 Exp : 145 127 =18
Pseudo mantisse : 000 0000 0000 0000 0000 0000
Mantisse : 1, 000 0000 0000 0000 0000 0000
- 1 , 0 x 218 (- 262 144 en décimal)Hexadécimal C 8 0 0 0 0 0 0
Binaire 1 100 1000 0 000 0000 0000 0000 0000 0000 IEEE 774 - Exp biaisé : 1442 Exp : 144 127 = 17Pseudo mantisse : 000 0000 0000 0000 0000 0000
Mantisse : 1, 000 0000 0000 0000 0000 0000
- 1 , 0 x 217 (- 131 072en décimal) (- 1,.0 x 218) + (- 1, 0 x 217) = (- 1,.0 x 218) + (- 0, 1 x 218) = - 1,1 x 218IEEE 774
- 1,10 x 218 en décimal) - Exposant = 18 Biaisé: 18 + 127= 145 Mantisse : 1, 10Pseudo mantisse : 100 0000 0000 0000 0000 0000
1 100 1000 1 100 0000 0000 0000 0000 0000
Hexadécimal C 8 C 0 0 0 0 0
Exercice N° 6 :
Convertissez les quantités suivantes en valeurs IEEE à virgule flottante simple précision :A = 128 B = 32.75 C = 18.125
Correction :
A = 0100'0011'0000'0000'0000'0000'0000'0000
B = 1100'0010'0000'0011'0000'0000'0000'0000
C = 0100'0001'1001'0001'0000'0000'0000'0000
Exercice N° 7 :
Quelles valeurs sont représentées par les nombres IEEE à virgule flottante en simple précision
présentés ci-après: