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Problèmes sur les séries entières

1. Lemmes de pincement.

2. Les séries de François Le Lionnais

3. Théorèmes de Cesàro et applications.

4. Théorèmes abéliens et taubériens.

5. Le dilogarithme.

6. Détermination continue du logarithme.

7. Une série entière lacunaire.

8. Une série entière lacunaire.

9. Séries de Lambert.

10. Un produit infini.

11. Partitions d"Euler.

12. Suite et produit de Thue-Morse

13. Fonctions absolument et complètement monotones.

14. Théorème de S. Bernstein.

15. Euler, Stieltjes, Borel.

16. Nombre d"involutions.

17. Théorème de Mazurkiewicz.

18. Fonctions analytiques.

Pierre-Jean Hormière

___________ 2

Problème 1 : lemmes de pincement

1) Discuter selon les valeurs du réel a, la nature de l"intégrale G(a) =

01.dtteat.

2) Soit f : ]0, +¥[ ® R

+ continue décroissante et intégrable. Encadrer h∑ =N nnhf

1)(, pour h > 0.

En déduire que, pour tout h > 0,

=1)( nnhf converge, et lim h®0+ h∑ =1)( nnhf = ∫

0).(dttf.

3) Soit f : [0, +¥[ ® R une fonction continue, décroissante sur [A, +¥[, et intégrable. Montrer

que, pour tout h > 0, la série =1)( nnhf converge, puis que : lim h®0+ h∑ =1)( nnhf = ∫

0).(dttf.

On pourra écrire

h∑ =1)( nnhf = h∑ =N nnhf

1)( + h∑

+=1)(

Nnnhf, où N = [hA] .

4) a) Déterminer le domaine de définition réel de la fonction F

a(h) = ∑ 11 nnhaen (discussion). b) Montrer que F a est décroissante et convexe sur son domaine. Limites au bord ? c) Equivalent de F a(h) quand h ® 0+ , lorsque a = 0, puis lorsque a > 0 ?

5) a) Déterminer le domaine de définition réel de la fonction G

a(x) = ∑ =1nan nx (discussion). b) Montrer que G a est continue sur son domaine de définition. Limites en 1-0 ? c) Equivalent de G a(x) quand x ® 1-0 , lorsque a = 1, puis lorsque a < 1 ( poser x = e-h ) ? __________

Corrigé : lemmes " de pincement »

On se propose d"étendre à certaines intégrales généralisées la convergence des sommes de

Riemann.

1) Bis repetita...

2) Fixons h > 0. On a l"encadrement

+hN hdxxf )1().( £ h∑ =N nnhf

1)( £ ∫

Nhdxxf0).( £ ∫

0).(dxxf.

La suite N ®

=N nnhf

1)(est croissante majorée, donc elle converge, et la série ∑

=1)( nnhf converge.

Faisons tendre N vers l"infini. Il vient :

hdxxf).( £ h.∑ =1)( nnhf £ ∫

0).(dxxf.

En vertu du lemme des gendarmes, h

=1)( nnhf tend vers ∫

0).(dxxf quand h tend vers 0+.

3) Soit f : [0, +¥[ ® R une fonction réglée, décroissante sur [A, +¥[, et intégrable.

Pour tout h > 0, la série

=1)( nnhf converge, pour la même raison qu"en 1).

Ecrivons

h∑ =1)( nnhf = h∑ =N nnhf

1)( + h∑

+=1)(

Nnnhf, où N = [hA] .

D"une part, h

=N nnhf

1)( ® ∫

Adxxf0).( par un argument de sommes de Riemann.

D"autre part, h∑

+=1)(

Nnnhf ® ∫

Adxxf).( par encadrement comme ci-dessus.

4) Applications à des séries de fonctions

a) Fixons h réel. La série à termes positifs

11nnhaen est :

grossièrement divergente si h < 0, et convergente si h > 0 par d"Alembert. Si h = 0, elle converge pour a < 0, elle diverge pour a ³ 0 (règle de Riemann).

Conclusion

: la fonction Fa(h) = ∑

11nnhaen est définie sur R+ pour a < 0, sur R*+ pour a ³ 0.

Remarque : On démontre aisément que Fa est continue sur R+ pour a < 0 (convergence normale), et sur R* + pour a ³ 0 (convergence normale sur chaque demi-droite [a, +¥[, a < 0). b) Chacune des fonctions u n(h) = nhaen--1 est décroissante et convexe. Fa est décroissante et convexe car une somme finie et une limite de fonctions décroissantes et convexes le sont aussi.

NB : On pourrait démontrer que F

a est C¥ sur R*+, et complètement monotone.

La série

11 nnhaen converge normalement sur [1, +¥[, car 0 < un(h) = nhaen--1 £ naen--1.

Par théorème d"interversion de limites, F

a(h) ® 0 quand h ® +¥.

Enfin, F

a(h) = ∑ 11 nnhaen ∑ 11 nan quand h ¯ 0+ , c"est-à-dire vers +¥ si a ³ 0 et vers z(1-a) si a < 0, par un argument d"associativité de bornes supérieures. c) Equivalent en 0+ . Le cas a < 0 vient d"être traité.

Si a = 0, F

0(h) = ∑

1nnh ne = - ln( 1 - e-h ) = - ln( h + O(h2) ) = - ln h + O(h) = - ln h + o(1).

Si a > 0, je dis que F

a(h) = ahh∑ 11)( nnhaenh ~ ah1∫

01.dtteat = aha

)(G . En effet, une étude des variations montre que la fonction f a(x) = e-x.xa-1 est · Décroissante et intégrable sur ]0, +¥[ pour 0 < a < 1 ;

· Continue sur R

+, croissante sur [0, a - 1], décroissante sur [a-1, +¥[ si a ³ 1. Il suffit alors d"appliquer la question 2) dans le 1 er cas, la question 3 dans le 2ème.

5) Application à une famille de séries entières, les polylogarithmes

On nomme ainsi les séries entières G

a(x) = ∑ =1nan nx. Elles ont toutes 1 pour rayon de convergence. Plus précisément, leurs domaines de définition exacts sont : · [-1, 1] pour a > 1 (avec convergence normale). · [-1, 1[ pour 0 < a £ 1 (convergence uniforme sur [-1, 0], normale sur [0, r], 0 < r < 1). · ]-1, 1[ pour a £ 0 (convergence normale sur [-r, r], pour 0 < r < 1).

Etudions le comportement de G

a(x) quand x 1-0.

· Si a > 1, G

a(x) ∑ =11 nan = z(a) par bornes sup et convergence uniforme.

· Si a £ 1, G

a(x) ∑ =11 nan = +¥ par associativité de bornes sup. Plus précisément : 4

¨ Si a = 1, G1(x) = - ln( 1 - x ).

¨ Si a < 1, posons x = e

-h , où h ¯ 0. Alors : G a(x) = ∑ =1nan nx = ∑ 1nanh ne = F1-a(h) ~ aha--G

1)1( = axa--

-G

1)ln()1( ~ axa--

-G

1)ln()1( ~ axa--

-G

1)1()1(.

Remarque

: avec les mêmes méthodes, le lecteur résoudra les questions suivantes : i) Équivalents de =0² nnx et de ∑ =0nnx a au V(1-) ; ii) Équivalents de =1n nnxx+1 , ∑ =1n nnxxn-1. et ∑ =1n 1)ln( -nnxx au V(1-) ; iii) Montrer que =1n nnxx-1 = x x 1 )1ln( + x-1 g + o(x-11) au V(1-) ; [ Indication : On rappelle que g = ∫

0te(tt1)exp(11---).dt .]

__________ Problème 2 : Les séries de François Le Lionnais

Préliminaires

1) Les deux résultats suivants seront admis sans démonstration :

a) n ! = n n e-nnp2 ( 1 + e(n) ) , où limn®+¥ e(n) = 0. b) Soit une série entière de terme général a nxn, n Î N, de rayon de convergence R > 0.

Soit f(x) =

=0nn nxa "x Î ]-R, R[.

Si la série de terme général a

nRn est convergente, il vient limx®R, x < R f(x) = ∑ =0nn nRa. De même, si la série de terme général a n(-R)n converge, limx®-R, x > -R f(x) = ∑ 0)( nn nRa.

2) Les parties B et C sont indépendantes de la partie A.

A. Première partie.

Soient u

n , vn , wn , n Î N*, les fonctions définies sur R par les relations : u n(x) = nnnCx2 , vn(x) = nnnnCx2 , wn(x) = nnnCnx2².

1) Déterminer le rayon de convergence commun R des trois séries entières de terme général

u n(x), vn(x), wn(x).

2) Etudier la convergence de chacune des séries de terme général u

n(R), un(-R), vn(R), vn(-R), w n(R), wn(-R).

B. Deuxième partie.

Soit (E) l"équation différentielle (E) x (x + 2).y" + (x + 1).y - 1 = 0.

1) Déterminer la solution générale x ® y(x) de l"équation différentielle (E) continûment

dérivable définie successivement sur l"intervalle I

1 = ]-¥, -2[ , I2 = ]-2, 0[ , I3 = ]0, +¥[.

Indication

quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

[PDF] Problèmes sur les séries entières

Problèmes sur les séries entières

1. Lemmes de pincement.

2. Les séries de François Le Lionnais

3. Théorèmes de Cesàro et applications.

4. Théorèmes abéliens et taubériens.

5. Le dilogarithme.

6. Détermination continue du logarithme.

7. Une série entière lacunaire.

8. Une série entière lacunaire.

9. Séries de Lambert.

10. Un produit infini.

11. Partitions d"Euler.

12. Suite et produit de Thue-Morse

13. Fonctions absolument et complètement monotones.

14. Théorème de S. Bernstein.

15. Euler, Stieltjes, Borel.

16. Nombre d"involutions.

17. Théorème de Mazurkiewicz.

18. Fonctions analytiques.

Pierre-Jean Hormière

Problème 1 : lemmes de pincement

1) Discuter selon les valeurs du réel a, la nature de l"intégrale G(a) =

01.dtteat.

2) Soit f : ]0, +¥[ ® R

1)(, pour h > 0.

En déduire que, pour tout h > 0,

0).(dttf.

3) Soit f : [0, +¥[ ® R une fonction continue, décroissante sur [A, +¥[, et intégrable. Montrer

0).(dttf.

On pourra écrire

1)( + h∑

Nnnhf, où N = [hA] .

4) a) Déterminer le domaine de définition réel de la fonction F

5) a) Déterminer le domaine de définition réel de la fonction G

Corrigé : lemmes " de pincement »

Riemann.

1) Bis repetita...

2) Fixons h > 0. On a l"encadrement

1)( £ ∫

Nhdxxf0).( £ ∫

0).(dxxf.

La suite N ®

1)(est croissante majorée, donc elle converge, et la série ∑

Faisons tendre N vers l"infini. Il vient :

0).(dxxf.

En vertu du lemme des gendarmes, h

0).(dxxf quand h tend vers 0+.

3) Soit f : [0, +¥[ ® R une fonction réglée, décroissante sur [A, +¥[, et intégrable.

Pour tout h > 0, la série

Ecrivons

1)( + h∑

Nnnhf, où N = [hA] .

D"une part, h

1)( ® ∫

Adxxf0).( par un argument de sommes de Riemann.

D"autre part, h∑

Nnnhf ® ∫

Adxxf).( par encadrement comme ci-dessus.

4) Applications à des séries de fonctions

11nnhaen est :

Conclusion

11nnhaen est définie sur R+ pour a < 0, sur R*+ pour a ³ 0.

NB : On pourrait démontrer que F

La série

Par théorème d"interversion de limites, F

Enfin, F

Si a = 0, F

0(h) = ∑

Si a > 0, je dis que F

01.dtteat = aha

· Continue sur R

5) Application à une famille de séries entières, les polylogarithmes

On nomme ainsi les séries entières G

Etudions le comportement de G

· Si a > 1, G

· Si a £ 1, G

¨ Si a = 1, G1(x) = - ln( 1 - x ).

¨ Si a < 1, posons x = e

1)1( = axa--