[PDF] Repérage et Problèmes de géométrie I Géométrie sans repère

PROJECTION ORTHOGONALE DANS LE PLAN

1 I est le projeté orthogonal de A sur (LM) 2 B est le projeté orthogonal de A sur (BJ) 3 L est le projeté orthogonal de M sur (LN) 4 L est le projeté orthogonal de N sur (LM) 5 A est le projeté orthogonal de N sur (IA) Exercice 2 Dans un triangle ABC, on appelle A’ le pied de la hauteur issue de A

2 Géométrie plane, projeté orthogonal

2 Géométrie plane, projeté orthogonal Livre p 148 Les propriétés de géométrie plane vues au collège sont rappelées p 335-336 du livre Objectifs: † Réinvestir la géométrie vue au collège (triangles, quadrilatères, cercles) dans la résolution de problèmes † Géométrie repérée : savoir déterminer un milieu, calculer une

Maths produit scalaire 30juin

Projection dans un triangle est un triangle est le projeté orthogonal de sur ( ) Si l’angle est droit, = Si l’angle est aigu, appartient à la demi-droite [ ) Si l’angle est obtus, n’appartient pas à la demi-droite [ )

Les droites remarquables Prof : Fouad DARDOURI Collège

) Tracer H le projeté orthogonal de M sur (AO) alors il est équidistant des côtés délimitant cet 3) Tracer K le projeté orthogonal de M sur (OB) 4) Calculer MH et MK Que peut-on conclure ? Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet Définition

Première S - Propriétés de calcul du produit scalaire

(d) est une droite et M un point du plan Le projeté orthogonal de M sur la droite (d) est le point H intersection de la perpendiculaire à (d) passant par le point M et de (d) 2) Propriété • Les vecteurs et sont non nuls tel que et Alors où H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA)

Repérage et Problèmes de géométrie I Géométrie sans repère

Définition - Hauteur dans un triangle Dans un triangle ABC, la droite qui passe par le sommet A et qui est perpendiculaire au côté opposé [BC] s'appelle la hauteur issue de A La longueur AH est la distance du point A à la droite (BC) Exemple ABC est un triangle équilatéral de côté 4 Le projeté orthogonal H du point A sur la droite

G´eom´etrie dans le plan I Rappels : Configurations du plan

- Lorsque le point Aappartient a une droite (d), son projet´e orthogonal sur (d) est lui-mˆeme III Trigonom´etrie dans un triangle rectangle 1) Rappels : Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu D´efinition 4 Dans un triangle ABCrectangle en A, cos(\ABC) = AB BC sin(\ABC) = AC BC tan(\ABC) = AC AB 2 Mme GOUVEN

PRODUIT SCALAIRE - AlloSchool

Application : Soit ABC un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC) et AH cm 2 et 3 ABC S Calculer AB et BH et BC Réponse a)On a ABH un triangle rectangle en H donc sin AH ABC AB Donc 2 2 2 4 23 sin sin 333 3 2 AH AB ABC S u §· ¨¸ ©¹ b)On a 2 2 2 AB AH HB car ABH un triangle rectangle en Donc

Produit scalaire - Meilleur en Maths

Soit ABC un triangle tel que AB = 2, BC = 3 et ABC = 3 Soit K le milieu de [BC] et H le projeté orthogonal de A sur [BC] Calculer BA BC, AH BC et BC CK Exercice 2 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-4;2), B(-1; 3) et C(1; -3) Démontrer, en utilisant le produit scalaire , que le triangle ABC est rectangle

Chapitre 14 Produit scalaire dans l’espace Orthogonalité

Soit O un point du plan Soient A et B les points du plan tels que Ð→u = Ð→ OA et Ð→v = Ð→ OB Soient H est le projeté orthogonal de B sur la droite (OA) et K est le projeté orthogonal de A sur la droite (OB) H B A K O Ð→u Le produit scalaire des vecteurs Ð→u et Ð→v est Ð→u Ð→v = Ð→ OA Ð→ OB = Ð→ OA ÐÐ

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I.Géométrie sans repère

Définition -Projeté orthogonal

On appelle projeté orthogonal d'un point M sur une droite d avec M extérieur à cette droite,

Repérage et Problèmes de géométrie

Remarque

Si le point M appartient à la droite d alors

le point H intersection de la droite d et de la perpendiculaire à la droite d passant par M. il est son propre projeté orthogonal. Définition -Distance d'un point à une droite On appelle distance d'un point M à une droite d

Démonstration

Soit ܭun point quelconque de la droite ݀distinct de ܪ

Le triangle ܭܪܯest rectangle en ܪ

Cette distance est la plus courte distance entre le point M et un point de la droite. la longueur MHoù H est le projeté orthogonal de M sur la droite d. ce qui montre que la plus courte distance est bien ܪܯ on en déduit que quel que soit le point ܭde la droite ݀, ܭܯ൐ܪܯ

Exemple

ABCDest un rectangle de longueur AB = 7 et de largeur BC = 3. Le projeté orthogonal du point D sur la droite (BC) est le point C donc la distance du point D à la droite (BC) vaut

DC = AB = 7.

Propriété -Ensemble des points à une distance donnée d'une droite L'ensemble des points à une distance fixée ݔd'une droite donnée ݀est composé

Remarque

La droite ȟଵest également la droite

perpendiculaire à (MH) passant par M où H est le projeté orthogonal de M sur d.

Remarque

De la même manière, la hauteur SH d'une pyramide est la plus courte distance entre son sommet et sa base.

Définition -Hauteur dans un triangle

Dans un triangle ABC, la droite qui passe par le sommet A et qui est perpendiculaire au côté opposé [BC] s'appelle la hauteur issue de A. La longueur AH est la distance du point A à la droite (BC).

Exemple

ABC est un triangle équilatéral de côté 4. Le projeté orthogonal H du point A sur la droite (BC) est le milieu du segment [BC] car

A est sur la médiatrice de ce segment.

Donc la distance de A à la droite (BC) est la longueur AH. Pour la calculer on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AHBqui donne :

II.Géométrie avec repère

Définition -Repère

Étant donné trois points distincts O, I et J non alignés, le repère noté (O ; I, J) est le repère d'origine O ayant pour axe des abscisses (OI), pour axe des ordonnées (OJ) et tel que I et J sont les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1).

Remarque

Les deux cas particuliers qui sont le plus souvent utilisés sont les suivants.

Remarque

Les deux cas particuliers qui sont le plus souvent utilisés sont les suivants. orthogonal. repère est orthonormé (ou orthonormal)

Définition -Distance entre deux points

Exemple

Démonstration

On considère le point H tel que ses coordonnées sont ܪ le triangle ABHest donc rectangle en H et le théorème de Pythagore nous donne : Propriété -Coordonnées du milieu d'un segment Dans un repère quelconque, le milieu d'un segment [AB]

Exemple

ʹsoit ͳ

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