Cours : puissances - hmalherbefr

On dit que n est l’exposant de la puissance de 10 Remarque : Pour passer d’une puissance de 10 à une puissance d’exposant supérieur, on multiplie par 10 Dans l’autre sens, on divise En particulier : 1 10² 100 10 10 10 10 === et 1 100 10 10 1 10 10 === Ce qui donne : 101 = 10 et 100 = 1 I 2 Puissance de 10 d’exposant entier

Puissances cours 4e - mathsfgnetfreefr

1 Puissance d’un nombre a 1 1 Puissance d’exposant un entier positif D e nition : Si n est un entier sup erieur ou egal a 2 alors : an = a a a{z a} n fois De plus a1 = a et a0 = 1 Exemples : 23 = 2 2 2 = 8 mais 32 = 3 3 = 9 31 = 3 et 30 = 1 ( 2)4 = 16 et ( 2)3 = 8 2

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4ème Cours : puissances 2 II Puissances d'exposant entier négatif Définition a désigne un nombre relatif non nul n désigne un entier non nul a-n désigne l’inverse de a n

LES PUISSANCES 4ème

I Puissance d’exposant positif: 1 Définition et vocabulaire: A est un nombre relatif quelconque et n un entier supérieur ou égal à 2: An se lit "A exposant n" An est le produit de n facteurs tous égaux au nombre A → On multiplie le nombre A par lui même autant de fois que l’indique l’exposant n Rq : An est une puissance du

Chapitre n°5 Les puissances Puissances entières dun nombre

3 Toute puissance entière d’exposant impair d’un nombre négatif est négative Exemple : Calculer les nombres suivants : • 33= 27 • (-5) 2= 25 • (-2) 3= -8 Exercices 3p30, 6p31 Calcul d'une expression utilisant les puissances Définition : Soit a un nombre relatif et n un nombre entier positif non nul

Chapitre 5 : Puissances I Puissances d’un nombre relatif 1

I Puissances d’un nombre relatif 1) Exposant entier positif Définition : a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul an désigne le produit de n facteurs égaux à a: an = a × a × × a n facteurs Le nombre n s’appelle un exposant Exemple : 34 est le produit de 4 facteurs égaux à 3 Donc : 34 = 3×3×3×3 = 81

Les puissances

I Puissance d'exposant positif a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif supérieur à 1 : est une puissance du nombre a et se lit « a exposant n » n facteurs Exemple 152 se lit « quinze exposant deux » Ce nombre est une puissance de 15 et « 2 » est l'exposant Cas particuliers = a pour n ≠ 0, = 0 = 1 (a ≠ 0)

4ème Chapitre09 : Puissances

Puissance Définition Écritu re: fractionnaire 71 Acc COO Cec CCC 1 000 000 10 10-2 10 105 Exercice10 : À chaque nombre de 2 ou 5 llaide de ta calculatrice, écris sous la forme dlune puissance b d 0,0625- a 256=2 15625=5 1 024=2 Exercice8 : Coche pour donner le signe des nombres 78 (3) (1,2 b 5,4) X 11 d (-015) h Ecris chaque nombre

Chapitre 5 : « Puissances entières dun nombre

a représente un nombre relatif et n un nombre entier « a puissance n » s'écrit an et signifie que l'on va multiplier le nombre a, n fois par lui-même an=a ×a× ×a n fois le facteur a Savoir s'exprimer an se dit « a puissance n » ou « a exposant n » a2 se dit « a au carré » et a3 se dit « a au cube » Exemples

Chap 5 : Puissances

• Connaitre et utiliser la notation puissance • Calculer avec des puissances de 10 • Utiliser la notation scientiﬁque 1 Puissances entières d’un nombre relatifs 1 Puissances positives Voc : a désigne un nombre relatif et n désigne un nombre entier plus grand que 1 : n facteurs an est le produit de n facteurs, tous égaux à a

PUISSANCES Cours

I- PUISSANCES D"UN NOMBRE

1) Puissance d"exposant positif

Définition : Soient n un entier supérieur ou égal à 1 et a un nombre relatif. a

n = a ´´´´ a ´´´´ a ´´´´ ... ´´´´ a ´´´´ a

n facteurs a n se lit " a puissance n » ou " a exposant n ». Exemples : 25 = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 = 32 2 0001 = 2 000 (-3)

2 = (-3) ´ (-3) = 9 (-3)3 = (-3) ´ (-3) ´ (-3) = - 27

)))2

33 = 2

´ 2

3 = 2 ´ 2 ´ 2 3

´ 3 ´ 3 = 8

27 032 = 0

Remarque : a2 se lit " a au carré » ; a3 se lit " a au cube ».

Remarque

: Attention à ne pas confondre 23 = 2 ´ 2 ´ 2 = 8 et 3´2 = 2 + 2 + 2 = 6.

2) Produit de deux puissances d"un même nombre

Ex : 23 ´ 24 = 2´2´2 ´ 2´2´2´2 = 27 5

2 ´ 51 = 5´5 ´ 5 = 53

6 ´ 32 = 3´3´3´3´3´3 ´ 3´3 = 38

Règle de calcul : Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 1 et a un nombre relatif.

a n ´´´´ ap = an + p On somme les deux exposants. Rq : 83 ´ 82 ´ 84 = 83 + 2 + 4 = 89 Il y a en tout 9 facteurs 8.

52 ´ 43 = 5´5 ´ 4´4´4 Ce ne sont pas les mêmes facteurs.

On ne peut pas l"écrire sous forme d"une seule puissance.

36 + 32 = C"est une somme.

On ne peut pas l"écrire sous forme d"une seule puissance.

Conséquence

: Puissance 0 5

0 ´ 54 = 50 + 4 = 54 et 1 ´ 54 = 54

Il faut donc que 5

0 = 1.

Pour tout nombre relatif a, on a : a

0 = 1.

En particulier :

00 = 1.

Conséquence

: Puissance de puissance (2

3)2 = (23) ´ (23) = 23 + 3 = 26

6)3 = (76) ´ (76) ´ (76) = 76 + 6 + 6 = 718

Pour tout nombre relatif a, on a : (a

n)p = an´´´´p

3) Puissance d"exposant négatif

Ex : 23 ´ 1

23 = 2´2´2 ´ 1

2´2´2 = 2´2´2

´2´2 = 1

3 ´ 2-3 = 23 + (-3) = 20 = 1 donc 2-3 = 1

23 .
Définition : Soient n un entier et a un nombre relatif non nul. a -n = 1 an

Ex : 3-2 = 1

32 = 1

9 5-1 = 1

51 = 1

5 (L"inverse de a se note donc a-1.)

4) Quotient de deux puissances d"un même nombre

Ex : 2

22 = 2´2´2´2´2

´2 = 2´2´2 = 23 3

36 = 3´3´3´3

´3´3´3´3´3 = 1

3´3 = 1

32 = 3-2

4 3

41 = 4´4´4

4 = 42

Règle de calcul : Soient n et p deux entiers et a un nombre relatif non nul. a n ap = an - p

Ex : 5

53 = 58 - 3 = 55 7

7 = 724 - 1 = 723

11 3

117 = 113 - 7 = 11-4 = 1

114 4

-2

43 = 1

42 ´ 1

43 = 1

42´43 = 1

45 = 4-5 = 4-2 - 3

5) Puissance d"un produit, d"un quotient

Ex : (2´3)4 = 2´3 ´ 2´3 ´2´3 ´2´3 = 2´2´2´2 ´ 3´3´3´3 = 24 ´ 34

)))2

53 = 2

´ 2

5 = 2´2´2 5

´5´5 = 2

3 53
Règle de calcul : Soient n un entier, a et b deux nombres non nuls. (a ´´´´ b)n = an ´´´´ bn ((( )))a bn = a n bn

Ex : 43 ´ 73 = (4´7)3 = 283 36

37 = (((

)))36

37 = 127

II- PUISSANCE DE 10

Ex : 103 = 10´10´10 = 1 000 10-2 = 1

102 = 1

100 = 0,01

Propriété

: Soit n un entier supérieur ou égal à 1. 10 n = 10´10´...´10 = 100...0 (un chiffe 1 suivi de n chiffres 0) 10 -n = 1

10n = 1

100...0 = 0,00..01 (n chiffre après la virgule)

Ex : 105 = 100 000 10-4 = 0,000 1 100 = 1 101 = 10 10-1 = 0,1

Règles de calcul

: Soient n et p deux entiers.

Règle Exemples

Produit 10n ´ 10p = 10n + p

103 ´ 104 = 107

10-6 ´ 104 = 10-2

Quotient 10

10p = 10n - p

107

103 = 104

10-5

108 = 10-13

Puissance de puissance (10n)p = 10n´p

(105)2 = 1010 (103)-4 = 10-12

Propriété

: Soit n un entier positif.

Pour multiplier un nombre décimal par 10

n, on déplace la virgule de n rangs vers la droite.

Pour multiplier un nombre décimal par 10

-n, on déplace la virgule de n rang vars la gauche. Ex : 25,1 ´ 105 = 2 510 000 25,1

´ 10-5 = 0,000 251

Ex : La distance entre le Soleil et la planète Mars est 2,29 ´ 108 km.

Celle entre le Soleil et la Terre est 150

´ 106 km

La planète la plus proche du soleil est la Terre car 150

´ 106 = 150 000 000 km

2,29

´ 108 = 229 000 000 km

Pour comparer facilement de tels nombres, on va les écrire sous une forme particulière : l"écriture scientifique.

III- ECRITURE SCIENTIFIQUE

Définition

: L"écriture (ou notation) scientifique d"un nombre relatif est l"écriture de ce nombre sous la forme a

´ 10n

où a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule et n est un entier relatif. Ex : A = 8,56 ´ 107 A est écrit en notation scientifique.

B = 0,45

´ 10-2 B n"est pas écrit en notation scientifique car le chiffre avant la virgule est 0.

C = 9,1 ´ 53 C n"est pas écrit en notation scientifique car le 2ième facteur n"est pas une puissance de 10.

Ex : Ecrire en notation scientifique

D = 732 = 7,32

´ 102 H = 345 ´103 = 3,45 ´ 102 ´ 103 = 3,45 ´ 105

E = 0,043 = 4,3

´ 10-2 I = 0,067 3 ´ 104 = 6,73 ´ 10-2 ´ 104 = 6,73 ´ 102

F = 345 756 = 3,457 56

´ 105

G = 0,000 673 = 6,73

´ 10-4

Ex : Comparer. a) A = 6,04 ´ 105 et B = 2,03 ´ 107 A < B car 5 < 7 b) A = 9,1 ´ 10-3 et B = 8,4 ´ 10-2 A < B car -3 < -2 c) A = 4,51 ´ 107 et B = 6,7 ´ 107 A < B car 7 = 7 et 4,51 < 6,7. On compare d"abord les puissances, puis en cas d"égalité, on compare les nombres décimaux. Ex : a) Effectuer à la calculatrice 623 452 ´ 786 549.

On obtient 4.903755471 E 11.

Cela signifie 4,903 755 71 ´ 10

11. Quand le nombre est trop grand, la calculatrice donne la valeur la

plus précise possible en utilisant une notation scientifique. b) Effectuer à la calculatrice 0,012 345 : 915 234.

On obtient 1.34883538 E -8.

Cela signifie 1,348 835 38 ´ 10

-8.

Règles de calcul : Soient n et p deux entiers.

Règle Exemples

Produit 10n ´ 10p = 10............

103 ´ 104 =

10-6 ´ 104 =

Quotient 10

10p = 10............

107
103 =
10-5 108 =
Puissance de puissance (10n)p = 10............ (105)2 = (103)-4 =

Règles de calcul

: Soient n et p deux entiers.

Règle Exemples

Produit 10n ´ 10p = 10............

103 ´ 104 =

10-6 ´ 104 =

Quotient 10

10p = 10............

107
103 =
10-5 108 =
Puissance de puissance (10n)p = 10............ (105)2 = (103)-4 =quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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PUISSANCES Cours

I- PUISSANCES D"UN NOMBRE

1) Puissance d"exposant positif

2 = (-3) ´ (-3) = 9 (-3)3 = (-3) ´ (-3) ´ (-3) = - 27

33 = 2

´ 2

´ 2

´ 3 ´ 3 = 8

27 032 = 0

Remarque

2) Produit de deux puissances d"un même nombre

2 ´ 51 = 5´5 ´ 5 = 53

6 ´ 32 = 3´3´3´3´3´3 ´ 3´3 = 38

52 ´ 43 = 5´5 ´ 4´4´4 Ce ne sont pas les mêmes facteurs.

36 + 32 = C"est une somme.

Conséquence

0 ´ 54 = 50 + 4 = 54 et 1 ´ 54 = 54

Il faut donc que 5

0 = 1.

Pour tout nombre relatif a, on a : a

0 = 1.

En particulier :

00 = 1.

Conséquence

3)2 = (23) ´ (23) = 23 + 3 = 26

6)3 = (76) ´ (76) ´ (76) = 76 + 6 + 6 = 718

Pour tout nombre relatif a, on a : (a

3) Puissance d"exposant négatif

Ex : 23 ´ 1

23 = 2´2´2 ´ 1

2´2´2 = 2´2´2

´2´2 = 1

3 ´ 2-3 = 23 + (-3) = 20 = 1 donc 2-3 = 1

Ex : 3-2 = 1

32 = 1

9 5-1 = 1

51 = 1

5 (L"inverse de a se note donc a-1.)

4) Quotient de deux puissances d"un même nombre

Ex : 2

22 = 2´2´2´2´2

´2 = 2´2´2 = 23 3

36 = 3´3´3´3

´3´3´3´3´3 = 1

3´3 = 1

32 = 3-2

41 = 4´4´4

4 = 42

Ex : 5

53 = 58 - 3 = 55 7

7 = 724 - 1 = 723

117 = 113 - 7 = 11-4 = 1

114 4

43 = 1

42 ´ 1

43 = 1

42´43 = 1

45 = 4-5 = 4-2 - 3

5) Puissance d"un produit, d"un quotient

53 = 2

´ 2

´ 2

´5´5 = 2

Ex : 43 ´ 73 = (4´7)3 = 283 36

37 = (((

37 = 127

II- PUISSANCE DE 10

102 = 1

100 = 0,01

Propriété

10n = 1

100...0 = 0,00..01 (n chiffre après la virgule)

Règles de calcul

Règle Exemples

Produit 10n ´ 10p = 10n + p

103 ´ 104 = 107

10-6 ´ 104 = 10-2

Quotient 10

10p = 10n - p