I-Définitions, vocabulaire

Calcul algébrique

2 LE SYMBOLE SOMME P: Dé nition: Somme des éléments d'une famille (z i) de nombres complexes indexée par J1;nK où n 2N, puis par Jm;nK où (m;n) 2N2;m n Exemples et exercices Propriétés: Changement d'indice: Soit (z i) 2J1;nK une famille de nombres complexes, alors Xn i=1 z i = nX 1 p=0 z p+1 et Xn i=1 z i = nX 1 p=0 z n p Propriété

I-Définitions, vocabulaire

Remarque: On utilise souvent la linéarité en invoquant le découpage d’une somme en plusieurs autres sommes en disant que l’on peut sortir du symbole tout ce qui ne dépend pas de l’indice (en les mettant en facteur avec le symbole ∑) Exemple: Calculer : ∑ = n k n 1 On a : ( )2 1 1 n n 1 n 1 1 1 n n 1 n n k n fois n k =× × =

LISTES DES SYMBOLES MATHEMATIQUES´

LISTES DES SYMBOLES MATHEMATIQUES´ Alphabet grec minuscules majuscules alpha α A beta β B gamma γ Γ delta δ ∆ epsilon ou ε E zeta ζ Z eta η H theta θ ou ϑ Θ iota ι I kappa κ K lambda λ Λ

DM PTSI 1 - bagbouton

1) Exprimer, pour tout réel x > 1, f xn ( ) sans le symbole å 2) Montrer que la fonction fn est dérivable sur ]1,+¥ [et que, pour tout réel x > 1, ( ) ( ) ( ) 1 ' 2 1 1 1 n n n nx n x f x x + - + + =- En déduire la somme 1 2 n k n k S k = = å en fonction de n On veut calculer la somme 1 2 n k n k S k = = å par une autre méthode 3

Statistiques - WordPresscom

arithmétiques (somme, multiplication, etc) n'ont pas de sens I Variable qualitative nominale : ses modalités ne sont pas ordonnées I Exemple : couleur des yeux d'une personne I Variable qualitative ordinale : ses modalités sont naturellement ordonnées I Exemple : l'addiction au chocolat Modalités : pas du tout, un peu, moyennement

L’éditeur d’équations de Word

Par exemple, si je veux obtenir le symbole , en tapant π /pi, il suffit, dans Word d’ouvrir la fenêtre d’options : menu Fichier → Options Cliquer à gauche sur « Vérification » et dans la fenêtre qui s’ouvre à droite sur « Options de correction automatique»

L’éditeur d’équations de Word

LES POUVOIRS DU SYMBOLE : KANT, NOVALIS, MALLARM I K (1724

chez Kant, récuse toute prétention du symbole es thétique à nous faire saisir l’Absolu, et qui, néan moins, en reprenant l’idée somme toute novali sienne de l’union fondamentale de l’homme et de la nature sur la base des nouvelles sciences phy

La mole et les grandeurs molaires

2 3) Signification macroscopique du symbole chimique Par convention : le symbole d’un élément chimique représente une mole d’atomes de cet élément Les proportions dans cette mole d’atomes des différents isotopes correspondant à cet élément sont celles que l’on rencontre dans la nature 3) La masse molaire moléculaire

[PDF] rubik's cube pdf

[PDF] rubik cube 3x3 solution francais

[PDF] tous différents tous égaux cycle 3

[PDF] tous différents tous égaux cycle 2

[PDF] tous différents tous semblables

[PDF] acide oléique formule semi développée

[PDF] acide palmitoléique formule

[PDF] nous sommes une génération choisie accords

[PDF] je sais qui je suis pdf

[PDF] acide palmitique formule semi développée

[PDF] formule brute acide palmitique

[PDF] partition je sais qui je suis

[PDF] je sais qui je suis accords piano

[PDF] acide linoléique formule semi développée

[PDF] formule brute d'un triglycéride

hosseini.mathsstan@gmail.com PPaaggee 11 CCoouurrss :: SSuuiitteess

II--DDééffiinniittiioonnss,, vvooccaabbuullaaiirree

II--11 :: NNoottiioonn ddee ssuuiittee ::

DDééffiinniittiioonn 11:: une suite d"éléments d"un ensemble A est une fonction de ℕ vers ℝ dont l"ensemble de

définition est du type A⊂ℝ. Si A=ℝ, on dit alors que cette suite est une suite réelle.

Donc si u : ℕ ® ℝ est une telle fonction, alors on désigne l"image de n∈ℕ (par u), par nu et

on note cette suite par ()INnnuÎ.

EExxeemmppllee ccoonnccrreett::On peut considérer une suite comme une suite infinie de nombres réels :

p022,1 3210
-¯¯¯¯uuuu II--22 :: MMooddeess ddee ggéénnéérraattiioonn ddeess ssuuiitteess

* Si une suite ()nu est telle que ()nfun=, (suite définie par son terme général ou suite définie

de façon explicite), alors les propriétés de ()nu dépendent de celles de la fonction f associée.

EExxeemmppllee:: la suite ()INnnuÎ définie par 1 32
++=n nu n est associée à la fonction f définie sur ℝ+ par : ( )1 32
++=x xxf donc les propriétés de ()nu sont celles de la fonction f.

* Si une suite ()nu est telle que ()nnufu=+1, (suite définie par récurrence ou de façon récurrente)

, alors les propriétés de ()nu dépendent de celles de la fonction f et de son premier terme 0u.

EExxeemmppllee:: la suite ()INnnuÎ définie par 321+=+nnuu est suite définie de façon récurrente.

IIII CCoommppoorrtteemmeenntt gglloobbaall dd""uunnee ssuuiittee

IIII--11 :: SSuuiittee mmiinnoorrééee,, ssuuiittee mmaajjoorrééee,, ssuuiittee bboorrnnééee

DDééffiinniittiioonnss 22:: * Une Suite ()nu est majorée par un réel M (majorant) lorsque tous ses termes sont

majorés par M, c"est-à-dire si, pour tout entier n, un £ M.( M constante indépendante de n)

* Une Suite ()nu est minorée par un réel m(minorant) lorsque tous ses termes sont minorés par

m, c"est-à-dire si, pour tout entier n, un ≥ m. (m constante indépendante de n)

* Une Suite ()nu est bornée lorsqu"elle est à la fois minorée et majorée, c"est-à-dire s" il existe

EExxeemmpplleess:: * La suite ()INnnuÎ définie par ()n nu1-= est majorée par 1 (par exemple) et minorée par

1- (par exemple), donc elle est bornée.

* La suite ()INnnvÎ définie par nvn= est minorée par 0 (par exemple) , mais elle ne peut pas être majorée, donc elle n"est pas bornée.

hosseini.mathsstan@gmail.com PPaaggee 22 CCoouurrss :: SSuuiitteess

IIII--22 ::LLaa mmoonnoottoonniiee dd""uunnee ssuuiittee ()nu (( sseennss ddee vvaarriiaattiioonn ddee ()nu ))

DDééffiinniittiioonn 33:: * La suite ()INnnuÎ est croissante (resp. décroissante), si et seulement si ∀n∈ℕ,

01³-+nnuu (resp. 01£-+nnuu).

* Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone.

* La suite ()INnnuÎ est strictement croissante (resp. strictement décroissante), si et seulement si

∀n∈ℕ, 01>-+nnuu (resp. 01<-+nnuu).

* Une suite strictement croissante ou strictement décroissante est appelée suite strictement

monotone.

RReemmaarrqquuee :: Lorsque tous les termes d"une suite sont strictement positifs, c"est-à-dire ∀n∈ℕ,

0>nu , alors l"étude de la monotonie de la suite ()INnnuÎ revient à comparer le rapport

nnuu

1+ à 1.

En effet, si ∀n∈ℕ, 11<+

nn uu, alors ()INnnuÎ est strictement décroissante et si ∀n∈ℕ, 11>+ nn uu, alors ()INnnuÎ est strictement croissante. EExxeerrcciiccee 11:: Étudier la monotonie de la suite ()*INnnuÎ définie par nnuncos3+=

SSoolluuttiioonn::

TThhééoorrèèmmee 11:: (aaddmmiiss) - Une suite croissante est minorée par son premier terme.

- Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

DDééffiinniittiioonn 44:: soit ()INnnuÎ, une suite réelle. On dit que ()INnnuÎ est une suite constante si ∀n∈ℕ,

il existe a∈ℝ tel que auun==0.

DDééffiinniittiioonn 55:: soit ()INnnuÎ, une suite réelle. On dit que ()INnnuÎ est une suite stationnaire si elle est

constante à partir d"un certain rang 0n∈ℕ , c"est-à-dire ∀0nn³ , nnuu=+1.

DDééffiinniittiioonn 66:: soit ()INnnuÎ, une suite réelle. On dit que ()INnnuÎ est une suite périodique s"il existe

un entier 1³p tel que ∀n∈ℕ , npnuu=+. On dit alors que ()INnnuÎ est périodique de période p.

hosseini.mathsstan@gmail.com PPaaggee 33 CCoouurrss :: SSuuiitteess

EExxeerrcciiccee 22:: Montrer que la suite ()INnnuÎ définie par  =6sin pnu n est une suite périodique dont la période reste à déterminer.

SSoolluuttiioonn::

RReemmaarrqquueess:: On associe à l"ensemble des suites réelles, les lois d"additions et de multiplications,

dites terme à terme, c"est-à-dire, si ()INnnuÎ et ()INnnvÎ sont deux suites réelles etÎlℝ, alors :

()INnnnvuvuÎ+=+ , ()INnnnvuvuÎ´=´ et ()INnnuuÎ´=´ll

EExxeemmppllee:: Les suites ()INnnuÎ et ()INnnvÎ définies respectivement par : {}⋯,0,1,0,1,0,1=u et

{}⋯,1,0,1,0,1,0=v sont telles que la suite ()INnnnvuÎ´ est la suite nulle. IIIIII-- LL""uuttiilliissaattiioonn dduu ssyymmbboollee ssoommmmee ((ssiiggmmaa))

En mathématiques la somme de n éléments comme nnxxxx+++-121⋯ peut être notée à l"aide

d"un symbole appelé "

Sigma » sous la forme :

finalevaleur initialevaleur nk k knnxxxxx

1121⋯ ou encore

finalevaleur initialevaleur n k knnxxxxx 1121

L"entier k est appelé la

variable muette.

AAtttteennttiioonn :: Le nombre de termes dans la somme précédente est calculé de la façon suivante :

1""+-termepremierduindiceltermedernierduindicel= 11+-n= n termes.

EExxeemmpplleess :: 1) Calculer: ∑

4 1 41
kka

12322318

21
31
21141
31
21
111
4 1

4++=+++=+++==∑

=kka

2) Écrire à l"aide du symbole ,∑ la somme suivante :∑

12 1

2248642

kk⋯.

3) L"expression d"un polynôme de degré n peut être donnée sous la forme :

n ii in nn n xaaxaxaxaxa 0012 21
1

hosseini.mathsstan@gmail.com PPaaggee 44 CCoouurrss :: SSuuiitteess

PPrroopprriiééttééss éélléémmeennttaaiirreess :: 1) n i innn i i akaakkakaka 000 0 ⋯⋯. Donc ∑∑ n i in i i akka 00

2)( ) ( ) ( )∑

n i foisnnnnnii ppkbkbaakbakbapkba 00000 ⋯⋯⋯⋯ donc n in in i in i iii pbkapkba

00 00 (Linéarité)

RReemmaarrqquuee:: On utilise souvent la linéarité en invoquant le découpage d"une somme en plusieurs

autres sommes en disant que l"on peut sortir du symbole tout ce qui ne dépend pas de l"indice (en les

mettant en facteur avec le symbole ∑).

EExxeemmppllee:: Calculer : ∑

=n kn

1 . On a : ( )2

quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] I-Définitions, vocabulaire

II--11 :: NNoottiioonn ddee ssuuiittee ::

1- (par exemple), donc elle est bornée.

01³-+nnuu (resp. 01£-+nnuu).

0>nu , alors l"étude de la monotonie de la suite ()INnnuÎ revient à comparer le rapport

1+ à 1.

En effet, si ∀n∈ℕ, 11<+

SSoolluuttiioonn::

SSoolluuttiioonn::

Sigma » sous la forme :

1121⋯ ou encore

L"entier k est appelé la

1""+-termepremierduindiceltermedernierduindicel= 11+-n= n termes.

EExxeemmpplleess :: 1) Calculer: ∑

12322318

4++=+++=+++==∑

2) Écrire à l"aide du symbole ,∑ la somme suivante :∑

2248642

3) L"expression d"un polynôme de degré n peut être donnée sous la forme :

2)( ) ( ) ( )∑

00 00 (Linéarité)

EExxeemmppllee:: Calculer : ∑

1 . On a : ( )2