TP : Equations du 2 degré à coefficients complexes

Pourensavoirplus 3 La formule de Cardan Au XVIe siècle, des algébristes italiens ont découvert une méthode pour calculer une racine d’un polynôme du 3e degré donné sous la forme réduite : x3 + px +q

Equations avec des nombres complexes Equations du premier degré

Equations avec des nombres complexes Soit on procède par identification : on pose z = x + i y Alors : x² - y ² + 2ixy = 2i d’où par identification partie réelle, partie imaginaire : x² - y² = 0 et 2 xy = 2

Résolution des équations algébriques de degré 3 et 4

Equation du troisième degré : méthode de Cardan Jérôme Cardan (1501–1576) Ainsi, u3 et v3 sont les solutions de l’équation X2+qX−(p/3)3=0 Comme on sait

Équations de degré deux, trois et quatre

b Écrire les solutions de l'équation z3 = 1 sous forme exponentielle c On note jle nombre complexe e 2iˇ 3 Écrire les solutions en fonction de 1;j et j2 d Soit w2C Montrer que l'équation z3 = admet une solution Soit z 0 une telle solution Exprimer toutes les solutions de l'équation z3 = wen fonction de z 0 et j Ces solutions

Les nombres complexes - Partie I

algébrique du nombre complexe - Le nombre a s'appelle la partie réelle de - Le nombre b s'appelle la partie imaginaire de - On notera et Exemple Le nombre complexe z=3-2i a pour partie réelle et pour partie imaginaire Attention La partie imaginaire d'un nombre complexe est donc un nombre bien réel C Égalité de deux complexes

NOMBRES COMPLEXES

Nombres complexes - 6e (6h) 6 3 Équations du second degré 3 1 Équations binômes (ou la recherche des racines carrées d’un nombre complexe) Il s’agit d’équations de la forme

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - Maths & tiques

3 sur 4 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le

Les formules de Cardan : résolution des équations du

3 Poser alors : X = u+v, et montrer qu’on obtient l’équation 54(u3 +v3)+(162uv +90)(u+v)+95 = 0 4 Écrire la condition de simpliﬁcation; donner alors le système d’équation somme-produit portant sur u3 et v3 5 u3 et v3 sont donc les racines d’un polynôme de degré 2