Chapitre n°2 : Triangles 1
Chapitre n°2 : Triangles 1 • On place le milieu I du segment [AB] • On trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par I • Avec le compas, on place deux points à égale distance de A et de B 4 Hauteurs Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé
Chapitre 2 G1 Géométrie du triangle
Chapitre 2 G1 Géométrie du triangle 2 1 Inégalité triangulaire 2 1 1 Inégalité triangulaire Propriété 1 Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des lon-gueurs des deux autres côtés Exemple 1 Dans le triangle ABC, on a : • AB < AC + BC • AC < AB + BC • BC < AB + AC b B b A b C
Chapitre triangles superposables EB7
Chapitre triangles superposables – EB7 Voilà les adresses de 3 vidéos : La 1ère vidéo consiste à définir les triangles égaux (superposables) avec les éléments homologues La 2ème consiste à expliquer les 3 méthodes (ou cas) pour montrer que deux triangles sont égaux La 3ème forme un exercice d’application 1- Définition
CHAPITRE 1 – Triangles et droites remarquables
CHAPITRE 1 – Triangles et droites remarquables I Inégalité triangulaire et cas d'alignement A Inégalité triangulaire Propriété Dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés Illustration AB < AC + BC AC < AB + BC BC < AB + AC Remarque
CHAPITRE 1 : Propriétés et priorité des opérations
Chapitre 5 : Triangles et quadrilatères 1ère Compétences Objectifs C 1 Expliciter des savoirs Les triangles * 1 Employer à bon escient les termes suivants : sommet, côté, opposé, adjacent * 2 Définir chaque type de triangle suivant les côtés et les angles * 3 Définir médiane, hauteur, médiatrice et bissectrice dans un triangle
Chapitre II Cercle, triangles et médiatrice
4 Triangles Définition Untriangle est un polygone qui atrois côtéstrois côtés Vocabulaire A B C • A ,B etCsont les sommets • [AB],[BC] et[AC] sont les côtés • AB, BCet ACsont leslongueurs des côtés 6e/ 2019 côtés longueurs des c Méthode Tracer un triangle ABCtel que AB = 4,5 cm ;BC = 5,5 cm etAC = 3 cm
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Chapitre n°2 : Triangles semblables 2 Triangles égaux Définition : Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur Exemples : Les triangles ABC et EFG sont égaux car : • AB = EF • AC = EG • CB = FG Propriété : Si deux triangles sont égaux, alors leurs angles sont deux à deux de même mesure
CLASSE : 5ème CORRIGE DU CONTRÔLE sur le chapitre : TRIANGLES
CLASSE : 5ème CORRIGE DU CONTRÔLE sur le chapitre : TRIANGLES EXERCICE 1 : /3 points Construis les triangles suivants a ABC est un triangle tel que AB = 4,5 cm, AC = 7,6 cm et BC = 5,3 cm On commence toujours par construire un des segments à la règle graduée Par exemple, ici, on peut commencer par construire un segment
DEVOIR n º 10-1 : Quadrilatères (10 oints/durp eé 20mn) Justi
Sixième-Devoir Chapitre : triangles et quadrilatères DEVOIR n º 10-1 : Quadrilatères (10 oints/durp eé 20mn) Exercice 1 (4 ointsp ) En utilisant les codages des gures ci-dessous faites à main levée, donner la nature des quadrilatères
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Chapitre 1 L’étude des fonctions Section 1 : Les propriétés des fonctions Section 2 : Les fonctions définies par parties : la fonction en escalier
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Section2:L'espérancemathématique85
Chapitre 1 L'étude des fonctions Section 1 : Les propriétés des fonctions Section 2 : Les fonctions définies par parties : la fonction en escalier Section 3 : D'autres fonctions définies par parties
Chapitre1Lespropriétésd'unefonctionPage1Chapitre 1, section 1 : Les propriétés des fonctions Unefonction,c'est:COMMENTRECONNAÎTREGRAPHIQUEMENTUNEFONCTION?PROPRIÉTÉSD'UNEFONCTIONDomaine:ÉcritureExemples
Chapitre1Lespropriétésd'unefonctionPage6EXERCICES1. Faitl'étudecomplètedelafonctionsuivante.Domaine:Image:Coordonnéesàl'origine:Lessignesdelafonction:Lesextremums:Lavariation:2.Identifieparmilesgraphiquessuivantsceuxreprésentantdesfonctions.Encercleleslettres.A)B)C)D)E)F)
Chapitre1LafonctionenescalierPage9Chapitre 1, section 2 : Les fonctions définies par parties : la fonction en escalier Fonctiondéfinieparparties:Lafonctionenescalierestunefonctiondéfinieparpartie.Lafonctionenescalierestdiscontinue:Lafonctionenescalierpossèdedesvaleurscritiques:ExempleÉTUDED'UNEFONCTIONENESCALIERPropriétéValeurDomaineImageAbscisseàl'origineOrdonnéeàl'origineSigneExtremumsVariationLes valeurs critiques sont :
Chapitre1D'autresfonctionsparpartiesPage11Chapitre 1, section 3 : D'autres fonctions définies par parties Fonctionaffineparparties:Lafonctionaffineparpartiespossèdeautantdetauxdevariation.ExemplePropriétéValeurDomaineImageAbscisseàl'origineOrdonnéeàl'origineSigneExtremumsVariationLafonctionpossèdeparties,doncellepossèdetauxdevariation.COMMENTTROUVERLARÈGLED'UNEFONCTIONAFFINEPARPARTIES?
Chapitre 2 Les triangles isométriques et semblables Section 1 : Les triangles isométriques Section 2 : Les triangles semblables Section 3 : Les relations métriques dans le triangle rectangle
Chapitre2LestrianglesisométriquesPage13Chapitre 2, section 1 : Les triangles isométriques Danscechapitre,nousutiliseronssouventletermehomologue.Queveutdireceterme?Deuxtrianglessontisométriqueslorsque.Exemple:LestrianglesABCetDEFsontisométriques,carleursangleshomologuessontisométriquesetleurscôtéshomologuessontisométriques.∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E et ∠ C ≅ ∠ F ≅ , ≅ et ≅ Onécritalors∆ABC ≅ ∆DEF . Remarques:- Lesymbole"≅»selit"estisométriqueà».- Onnommedestrianglesisométriquesselonleurssommetshomologues.Donc,si∆ABC≅∆DEF,onpeutaffirmerquel'angleAesthomologueàl'angleD,quel'angleBesthomologueàl'angleEetquel'angleCesthomologueàl'angleF.LESTROISCONDITIONSMINIMALESD'ISOMÉTRIEDETRIANGLES.Pourpouvoiraffirmerquedeuxtrianglessontisométriques,iln'estpasnécessairedevérifierquetousleurscôtéshomologuesettousleursangleshomologuessontisométriques.Ilsuffitdes'assurerquelestrianglesrespectentunedestroisconditionsminimalessuivantes.Lesymboled'égalitéconcernedesnombresalorsquelesymboled'isométrie(≅)concernedesobjetsgéométriques.Onadoncm= m, mais ≅ .
Chapitre2LestrianglesisométriquesPage14Laconditionminimaled'isométrieCCCDeuxtrianglesayanttroiscôtésisométriquessontnécessairementisométriques.Exemple:∆ABC ≅ ∆DEF, car ≅ , ≅ et ≅ .Laconditionminimaled'isométrieCACDeuxtrianglesay antunangleisométriqueco mprisentr edeuxc ôtésho mologuesisométriquessontnécessairementisométriques.Exemple:∆GHJ ≅ ∆KLM, car ∠ H ≅ ∠ L, ≅ et ≅ .Laconditionminimaled'isométrieACADeuxtrianglesayan tuncôtéisométriquecomp risentre deuxangl eshomologu esisométriquessontnécessairementisométriques.Exemple:∆NPR ≅ ∆STU, car ∠ N ≅ ∠S, ∠ P ≅ ∠ T et ≅ .Attention!LetriangleABCn'estpasisométri queautriangleGHJ,carl'anglede40°n'estpascomprise ntrelescôtésde3cmetde3,5cm.Attention!LetriangleDEFn'estpasisométri queautriangleNPR,carlecôtéde3cmn'est pascomprisentrelesanglesde30°etde125°.
Chapitre2LestrianglesisométriquesPage15LARECHERCHEDEMESURESMANQUANTESLesrelationsentrelesanglesL'observationdecertainesrelationsentrelesanglesconstitueuneétapefondamentaledelarecherchedemesuresmanquantesdansdestrianglesisométriques.Ontrouvenotammentplusieurspairesd'anglesisométriqueslorsqu'unesécantecoupedeuxdroitesparallèles.•Lesangles1et3,2et4,5et7,6et8sontopposésparlesommet.•Lesangles1et5,2et6,3et7,4et8sontcorrespondants.•Lesangles3et5,4et6sontalternes-internes.•Lesangles1et7,2et8sontalternes-externes.LeraisonnementdéductifLeprocessus derecherchedemes uresmanq uantess'appuiesurlesre lationsquiexistententrel esélémentshomologuesdetr ianglesisométriques.C'estpourquo iilest essentieldes'assurerque lestrianglesenjeusontisométriquesavantdecalculerlamesureenquestion.Exemple:QuelleestlamesuredusegmentDEetdel'angleDdanslafigureci-contre?AffirmationJustification1. m=mm=m2. Desanglesopposésparlesommetsontisométriques.3. ∆ABC≅∆ADE4. LecôtéDEesthomologueaucôtéBC,quimesure2,1cmet,dansdestrianglesisométriques,lescôtéshomologuessontisométriques.5. m∠D≅125°
Chapitre2LestrianglessemblablesPage16Chapitre 2, section2 : Les triangles semblables Deuxtrianglessontsemblableslorsqueleursangleshomologuessontetlesmesuresdeleurscôtéshomologuessont.Lecoefficie ntdeproportionnalitécorrespondalorsaurapportdesimilitudedesdeuxtriangles.Exemple:Lestriangles ABCetDEFsontsemblable s,carleurs angleshomologuessontisométriquesetlesmesuresdeleurscôtéshomologuessontproportionnelles:∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E et ∠ C ≅ ∠ F ===2=kOnécritalors∆ABC ∼ ∆DEF.Remarque:Onnommedestrianglessemblablesselonleurssommetshomologues.Donc,si∆ABC ∼ ∆DEF,onpeutaffirmerquel'angleAesthomologueàl'angleD,quel'angleBesthomologueàl'angleEetquel'angleCesthomologueàl'angleF.LESTROISCONDITIONSMINIMALESDESIMILITUDEDETRIANGLES.Pourpouvoiraf firmerquedeuxtriangles sontsemblables,ilsuff itdes'assur erquelestrianglesrespectentunedestroisconditionsminimalessuivantes.LaconditionminimaledesimilitudeCCCDeuxtrianglesdo ntlesmesuresdestrois côtéshomol oguessontpropo rtionnellesson tnécessairementsemblables.Exemple:===
Chapitre2LestrianglessemblablesPage17LaconditionminimaledesimilitudeCACDeuxtrianglesayantunangleisométriquecomprisentredeuxcôtéshomologuesdontlesmesuressontproportionnellessontnécessairementsemblables.Exemple:∆GHJ ∼ ∆KLM, car ∠ H ≅ ∠ L et = = 2LaconditionminimaledesimilitudeAADeuxtrianglesayantdeuxangleshomologuesisométriquessontnécessairementsemblables.Exemple:∆NPR ∼ ∆STU, car ∠ N ≅ ∠ S et ∠ P ≅ ∠ T Remarques:- Puisquelasommedesmesuresdesanglesintérieursd'untriangleestde180°,onpeutconclurequeletriangleABCestsemblableautriangleNPR.- Unedroiteparallèleàcelleportéeparuncôtéd'untriangledéterminedestrianglessemblablespuisq uelaconditionminimaledesimilitudeAA estrespectée.PuisqueGH // BC,alors ∆AGH ∼ ∆ABC .Attention ! Le triangle ABC n'est pas semblable au triangle GHJ, ca r l'angle de 40° n'est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm.
Chapitre2LestrianglessemblablesPage18LARECHERCHEDEMESURESMANQUANTESLeraisonnementdéductifLeprocessusderecherchedemesuresmanquantess'appuiesurlesrelationsquiexistententrelesélémentshomologuesdetrianglessemblables.C'estpourquoiilestessentieldes'assurerquelestrianglesenjeusontsemblablesavantdecalculerlamesuremanquante.Exemple:QuelleestlamesuredusegmentBCetdel'angleBCAdanslafigureci-contre?AffirmationJustification1. m∠ABC=m∠ADE 2. ∠CAB≅∠EAD 3. Lacon ditionminimaledesimilitude AAestrespectée. 4. = ==1,5m = = = 3,4 m=3,4cm 5. m∠BCA=48° Remarque:Dessécantescoupéespardesdroitesparallèlessontpartagéesensegmentsdelongueursproportionnelles.PuisqueDR,ESetFTsontparallèles,alors
Chapitre2LesrelationsmétriquesdansletrianglerectanglePage19Chapitre 2, section3 : Les relations métriques dans le triangle rectangle LESTRIANGLES RECTANGLESSEMBLABLESDÉTERMINÉSPARLAHAUTEURRELATIVE ÀL'HYPOTÉNUSEDansuntrianglerectangle,lahauteurrelativeàl'hypoténusedéterminedeuxautrestrian glesrectangles,semblablesaupremier.ParlaconditionminimaledesimilitudeAA:• ∆ABC∼∆CBHpuisquecesdeuxtrianglesontunangledroitetqu'ilsontl'angleBencommun;• ∆ABC∼∆ACHpuisquecesdeuxtrianglesontunangledroitetqu'ilsontl'angleAencommun.Parlatransitivitédelarelationdesimilitude,∆CBH ∼ ∆ACH. LESRELATIONSMÉTRIQUESDANSLETRIANGLERECTANGLEÉtablirdesproportionsàpartirdescôtéshomologuesdestrianglesrectanglessemblablespermetdetrouverpl usieursrelationsmétriquesqui facilitentlarecherchede mesuresmanquantesdansuntrianglerectangle.Cesrelationsfontintervenirleconceptdemoyenneproportionnelle.LamoyenneproportionnelleLorsquelesdeuxextrêmesoulesdeuxmoyensd'uneproportionontlamêmevaleur,cettevaleurestappeléemoyenneproportionnelledesdeuxautresvaleurs.Exemple:Danslaproportion=,onditquebestmoyenneproportionnelledeaetdec. Larelationdesimilitudeesttransitive,c'est-à-direquesi ∆ABC ∼ ∆DEF et ∆DEF ∼ ∆GHJ, alors ∆ABC ∼ ∆GHJ.
Chapitre2LesrelationsmétriquesdansletrianglerectanglePage20Exemple1:Pourdéterminerlahauteurrelativeàl'hypoténusedutrianglerectangleABCci-contre:Étape Raisonnement 1. Dessinerlesdeuxtrianglesrectanglessemblablesdanslesquelssetrouvelamesuremanquanteenlesorientantdelamêmefaçonetenreportantlesmesuresconnuesetlamesuremanquante. 2.Établiruneproportionàpartirdesmesuresdescôtéshomologues. = = 3.Résoudrelaproportionpourtrouverlamesuremanquante.h2 =12 h = = 3,46 m = 3,5 Exemple2:PourdéterminerlamesuredelacathèteBCdansletrianglerectangleABCci-contre,onprocèdedelafaçonsuivante.Remarque:estlaprojectiondelacathèteBCsurl'hypoténuse. Étape Raisonnement 1.Dessinerlesdeuxtrianglesrectanglessemblablesdanslesquelssetrouvelamesuremanquanteenlesorientantdelamêmefaçonetenreportantlesmesuresconnuesetlamesuremanquante. 2.Établiruneproportionàpartirdesmesuresdescôtéshomologues. = = 3.Résoudrelaproportionpourtrouverlamesuremanquante. y2 =16 h = = 4 m = 3,5 Dansuntrianglerectangle,lamesuredelahauteurrelativeàl'hypoténuseestmoyenneproportionnelledesmesuresdesdeuxsegmentsqu'elledéterminesurl'hypoténuse.Dansuntrianglerectangle,lamesuredechaquecathèteestmoyenneproportionnelledelamesuredesaprojectionsurl'hypoténuseetcelledel'hypoténuse.
Chapitre2LesrelationsmétriquesdansletrianglerectanglePage21Exemple3:Encalculan tl'aired'untriangler ectanglededeuxfaç onsdifférentes, onpeutdéduireune autrerelationmétriquedansletrianglerectangle. Calcul de l'aire d'un triangle rectangle Première façon Deuxième façon Atriangle = Atriangle = On a donc m • m = m • m Remarque:Ilexisteplusieursdémarchespermettantdedéterminerunemesuremanquantedansuntrianglerectangle.Danstouslescas,onpeutavoirrecoursauxrelationsmétriquesincluantlarelationdePythagore. Dansuntrianglerectangle,leproduitdescathèteségaleleproduitdel'hypoténuseetdelahauteurrelativeàl'hypoténuse.
Chapitre 3 La géométrie analytique Section 1 : La distance et le point de partage Section 2 : La droite et le demi-plan Section 3 : Les positions relatives de deux droites et les propriétés d'objets géométriques
Chapitre3LadistanceetlepointdepartagePage23 Chapitre 3, section 1: La distance et le point de partage LESACCROISSEMENTSL'accroissementdesabscisses(Δx)est.L'accroissementdesordonnées(Δy)est.EXERCICESoitlespointsA(-2,-4)etB(3,5).L'accroissementdesabscissesest:L'accroissementdesordonnéesest: LADISTANCEENTREDEUXPOINTSLadistanceentredeuxpointsfaittoujoursréférencepermettantdeserendred'unpointàl'autreetelleestreprésentéeparlesegmentreliantcesdeuxpoints.Ladistanceentredeuxpointsesttoujoursunnombre.Pourdéterminerladistanceentredeuxpoints,nousutilisonslaformulesuivante:
Chapitre3LadistanceetlepointdepartagePage24 ExempleCalculeladistanceentrelespointsAetB,etcelleentrelespointsCetD.LadistanceentreAetBestde.LadistanceentreCetDestde.EXERCICECalculeladistanceentrelespointssuivants:a) A(-4,-5)etB(8,0)Réponse:b) C(-4,7)etD(12,-20)Réponse:
Chapitre3LadistanceetlepointdepartagePage25 LEPOINTDEPARTAGED'UNSEGMENTOnpeutdéterminerl'emplacementdupointdepartageàl'aideou.Danslesdeuxcaslesegmentestpartagéendeuxparties.ExempleVoicilesegment.OnaplacéunpointPquipartagelesegment.OnpeutdirequelepointPestsituéaudusegmentàpartirdeA.(fraction)OnpeutdirequelepointPpartagelesegmentdansunrapportàpartirdeA.(rapport)EXERCICEDéterminedansquellefractionestquelrapportlepointPpartagelessegmentssuivants.OnpeutdirequelepointPestsituéaudusegmentàpartirdeA.OnpeutdirequelepointPpartagelesegmentdansunrapportàpartirdeA.OnpeutdirequelepointPestsituéaudusegmentàpartirdeB.OnpeutdirequelepointPpartagelesegmentdansunrapportàpartirdeB.
Chapitre3LadistanceetlepointdepartagePage26 TROUVERLESCOORDONNÉESD'UNPOINTDEPARTAGELorsquenousconnaissons lescoordonnée sdespointsformantlesextrémités d'unsegment, noussommescapablesdedéter minerlescoordonnée sd'unp ointquipartagecesegmentàl'aide desformules:Lesvaleursx1ety1représententtoujourslescoordonnéesdupointoùcommencelepartagedusegment.ExempleTrouvelescoordonnéesdupointPquipartagelesegmentauàpartirdeA.LescoordonnéesdupointPsont:.
Chapitre3LadistanceetlepointdepartagePage27 LesegmentestdéfiniparlespointsA(-15,20)etB(50,46).LepointPpartagelesegmentdansunrapport6:7àpartirdeA.QuellessontlescoordonnéesduPointP?LescoordonnéesdupointPsont:.LesegmentestdéfiniparlespointsA(-4,10)etB(12,22).LepointPpartagelesegmentendeuxpartieségales.QuellessontlescoordonnéesduPointP?LescoordonnéesdupointPsont:.Lorsduderniernuméro,tuastrouvélepointquiestaumilieudusegment.Celui-ciestparticulier,onpeutletrouverplusrapidementàl'aided'uneformuletoutesimple.
Chapitre3LadistanceetlepointdepartagePage28 LEPOINTMILIEUPourtrouverrapidementlescoordonnéesdupointmilieud'unsegment,nousutilisonslaformulesuivante:EXEMPLESTrouvelepointmilieudusegmentsiA(3,1)etB(9,7).Lescoordonnéesdupointmilieusont:TrouvelepointmilieudusegmentsiA(-5,-11)etB(12,-7).Lescoordonnéesdupointmilieusont:Trouvelescoordonnéesducentreducerclesiestlediamètreducercle.Lescoordonnéesducentreducerclesont:.
Chapitre3Ladroiteetledemi-planPage29 Chapitre 3, section 2: La droite et le demi-plan LADROITEEngéométrieanalytique,ladroitesedéfinitcommel'ensembledespointsd'unplancartésienquivérifientuneéquationdupremierdegréàdeuxvariables.LAPENTELapentedeladroitequipasseparlespointsA(x1,y1)etB(x2,y2)estlerapportdel'accroissementdesordonnéesàl'accroissementdesabscissesentredeuxpointsdecettedroite.PentedeladroiteExemple:VoicicommentcalculerlapentedeladroitequipasseparlespointsR(-2,5)etS(3,-15).PentedeladroiteRS=L'ÉQUATIOND'UNEDROITESOUSLAFORMEFONCTIONNELLEUneéquationdelaformey=ax+bestl'équationd'unedroitesouslaformefonctionnelle.Dansl'équationd'unedroitesouslaformefonctionnelle:-leparamètreareprésentelapentedeladroite;-leparamètrebreprésentesonordonnéeàl'origine.L'ÉQUATIOND'UNEDROITESOUSLAFORMEGÉNÉRALEUneéquationdelaformeAx+By+C=0estl'équationd'unedroitesouslaformegénérale.Dansl'équationd'unedroitesouslaformegénérale:-l'ordonnéeàl'originecorrespondà--l'abscisseàl'originecorrespondà--lapentecorrespondà-EXERCICELeslettresqu iconstituentlesparamètresdel'équationd'u nedroitesouslaforme généralesontdeslettresmajuscules.
Chapitre3Ladroiteetledemi-planPage30 Pourchacunedesdroitessuivantes:• déterminesielleestsouslaformefonctionnelleougénérale;• trouvelapente,l'ordonnéeàl'origineetl'abscisseàl'origine.Équations4-5+1=0=-5+10FormePenteOrdonnéeàl'origineAbscisseàl'origineTRACERUNEDROITEOnprocèdedifféremmentpourtracerunedroiteselonlaformed'équationprésentée.Exemples:EXERCICE
Chapitre3Ladroiteetledemi-planPage31 Tracelesdroitessuivantesetidentifieclairementtesdémarches:=5-
5-4-Chapitre3Ladroiteetledemi-planPage32 L'équationd'unedroitesouslaformegénéraleestéquivalenteàl'équationdecettedroitesouslaformefonctionnelle .Desmanipulationsalgébriquespermettentdonc depasserd 'uneformed'équationàuneautre.Exemples:1) Ilsuffitd'isolerlavariableyd'uneéquationdeformegénérale pourl'exprimersouslaform efonctionnelle.3x-4y-12=0-4y=-3x+12= 4- 2) Ilsuffitderassemblertouslestermesdumêmecôtédusigned'égalitéd'uneéquationdeformefonctionnellepourl'exprimersouslaform egénérale.=-1
-91++9=0x+2y+18=0EXERCICETransformelesdroitessuivantesenformefonctionnelleougénéraleselonlecas.1. 5-4-
0=02. 4-6+10=01. =5-
2. = -43. =Chapitre3Ladroiteetledemi-planPage33 UneinéquationDansuneéquationonretrouvelesymbole.Ex.Dansuneinéquationonretrouveundessymbolessuivants.Ex.Tracerundemi-plan1- Pourtracerundemi-plan,ontraced'abordladroitequiconstituelafrontièredudemi-plan.Typesdedroitefrontière:Sionretrouveuneégalité(),alorsladroitefrontièreest.Sinon(),ladroitefrontièreest.2- Ensuite,onsebasesurlesigned'inégalitépourdéterminerlarégionàhachurer.(Àl'aided'unpoint-test.)Exemple:Voicilesétapesàsuivrepourtracerledemi-pland'inéquation3x-4y+24>0.Exemples:Représentegraphiquementleséquationsetinéquationssuivantes.Calculs:
Chapitre3Ladroiteetledemi-planPage35 y>2x-6x+3y≥9Chapitre3Ladroiteetledemi-planPage36 DÉTERMINERL'INÉQUATIONQUIDÉCRITUNDEMI-PLANPourdéterminerl'inéquationquidécritundemi-plan,ondétermined'abordl'équationdeladroitequiconstituelafrontièredudemi-plan.Ensuite,ondéterminelesigned'inégalitéquicorrespondàlarégionhachuréedudemi-plan.Exemple:Soitledemi-plantracédansleplancartésienci-contre.Voicilesétapesàsuivrepourdéterminerl'inéquationquidécritcedemi-plan.EXERCICEDéterminel'inéquationquidécritledemi-plansuivant:
Chapitre3Lapositionrelativededeuxdroitesetlespropriétésd'objetsgéométriquesPage37 Chapitre 3, section 3: La position relative de deux droites et les propriétés d'objets géométriques LESDROITESPARALLÈLESDeuxdroitesparallèlesnesecoupentjamais.Cettepropriétégéométriquesemanifestealgébriquementparlefaitquedeuxdroitesparallèlesont.LESDROITESPERPENDICULAIRESDeuxdroitesperpendiculairessecoupentàangledroit.Cettepropriétégéométriquesemanifestealgébriquementparlefaitqueledespentesdedeuxdroitesperpendiculaireségale.
Chapitre3Lapositionrelativededeuxdroitesetlespropriétésd'objetsgéométriquesPage38 EXERCICEAssocielapairededroitesparallèlesetlapairededroitesperpendiculairesetexpliquepourquoitufaiscetteassociation.A) =4-1B) 1
- - =0C) =-15-1D)5-5- =0Lesdroitesparallèlessont:parcequeLesdroitesperpendiculairessont:parcequeLESPROPRIÉTÉSD'OBJETSGÉOMÉTRIQUESLagéom étrieanalytiquepermetdevéri fierlespropriétésdec ertainsobjetsgéomé triques.P arexemple,ilestpossibledemontrerquelesdiagonalesd'uncarrésontisométriquesetperpendiculairesàl'aidedesconceptsdedistanceentredeuxpointsetdeperpendicularitédedroites.
Chapitre 4 Les systèmes d'équations Section 1 : Les modes de représentation d'un système d'équations Section 2 : La résolution algébrique d'un système d'équations
Chapitre4Lesmodesdereprésentationd'unsystèmed'équationsPage39 Chapitre 4, section 1: Les modes de représentation d'un système d'équationsLAMODÉLISATIONALGÉBRIQUED'UNESITUATIONPARUNSYSTÈMED'ÉQUATIONSDUPREMIERDEGRÉÀDEUXVARIABLESDeuxcontraintesd 'égalitéqu'onimposesimultan émentàdeuxvariablesform entunsystèmed'équationsàdeuxvariables.Pourmodéliserunesituationàl'aided'unsystèmed'équations,ondoitd'aborddéfinirlesvariables,puisposerleséquations.Larésolutiond'unsystèmed'équationsàl'aidedesareprésentationgraphiqueRésoudreunsystèmed'équationsconsisteàdéterminerlesvaleursdesdeuxvariablesquivérifientsimultanémentlesdeuxéquations.Silasolutionestunique,cesvaleurssontlescoordonnéesdupointderencontredesdroitesetsontexpriméessouslaformed'uncouple-solution(x,y).Exemple:Unetirelire,rempliedepiècesde1$etde2$,contient90$.Ilyaentout55piècesdemonnaie.Combiendepiècesde1$etdepiècesde2$ya-t-ildanslatirelire? Remarque:Larepr ésentationgraphiqued'unsystèmed'équati onsfournittoujourslasoluti ondusystème,mêmesiellene permetpas toujours dedétermineravecprécis ionses coordonnées.
Chapitre4Lesmodesdereprésentationd'unsystèmed'équationsPage40 Lenombredesolutionsd'unsystèmed'équationsUnsystèmed'équationsdupremierdegréàdeuxvariablespeutavoirunesolutionunique,uneinfinitédesolutio nsouaucunesolution.Larep résentationgraphique d'unsystèmed'équationsou lacomparaisondespentesetdesord onnéesàl'or iginedesdroites associé esauxéquatio nsquilecomposentpermettentdedéterminerlenombredesolutions.
Chapitre4Larésolutionalgébriqued'unsystèmed'équationsPage41Chapitre 4, section 2: La résolution algébrique d'un système d'équationsLESMÉTHODESALGÉBRIQUESDERÉSOLUTIOND'UNSYSTÈMED'ÉQUATIONSDUPREMIERDEGRÉÀDEUXVARIABLESPourrésoudrealgébriquementunsystèmed'équationsdupremierdegréàdeuxvariables,ilfautletransformerpourobteniruneéquationàunevariable.Pourcefaire,onpeutemployerlesméthodesdecomparaison,desubstitutionetderéduction.LaméthodedecomparaisonExemple:Lebilletpourunevoitureetunadulteàbordd'untraversiercoûte28,25$.Lebilletpourdeuxvoituresetquatreadultescoûte68$.Combiencoûtelebilletpourunevoitureàborddecetraversier?
Chapitre4Larésolutionalgébriqued'unsystèmed'équationsPage43LesavantagesdechacunedesméthodesalgébriquesderésolutionBienquech acunedesméthodesalgé briquesder ésolutionpermettederéso udren'importequelsystèmed'équations,ilyadesavantagesàrecouriràuneméthodeplutôtqu'àuneautre,selonlaformesouslaquelleseprésentelesystème.Lenombredesolutionsd'unsystèmed'équationsdupremierdegréàdeuxvariablesLorsdelarésolutionalgébrique,l'observationdel'équationdupremierdegréàunevariableobtenuepartransformationpermetdedéterminerlenombredesolutionsdusystèmed'équations.DroitesDroites
Chapitre4Larésolutionalgébriqued'unsystèmed'équationsPage44EXERCICESRésousalgébriquementlessystèmesd'équationssuivantsàl'aidedelaméthodedecomparaison.= +1=6+10Résousalgébriquementlessystèmesd'équationssuivantsàl'aidedelaméthodedesubstitution.= +14+
-1 =04+ -1 =0Chapitre 5 L'étude des fonctions Section 1 : La modélisation de situations à l'aide de fonctions Section 2 : La fonction exponentielle et la fonction quadratique
Chapitre5L'étudedesfonctionsPage45 Chapitre 5, section 1: La modélisation de situations à l'aide de fonctions LAREPRÉSENTATIOND'UNESITUATIONÀL'AIDED'UNETABLEDEVALEURSOUD'UNGRAPHIQUELesfonctionsquadratique,exponentielleetpériodiquepermettentdemodéliserunegrandevariétédesituations.Letableausuivantmontrelamodélisationdetroissituationsàl'aidedestroistypesdefonctions.Situation1Situation2Situation3SituationàmodéliserL'aired'unrectangledontlahauteurmesureledoubledelabaseLenombredebactériessurunesurfacesicenombredoublechaqueheureLapartiedécimaled'unnombreréelModèleretenuFonctionquadratiqueFonctionexponentielleFonctionpériodiqueReprésentationàl'aided'unetabledevaleursBaseAire001228318432550672Temps(h)Nombredebactéries01122438416532664NombrePartiedécimale0,560,560,780,781,070,071,140,141,560,561,780,782,070,072,560,56Représentationàl'aided'ungraphiqueRemarque:Latabledevaleursestmoinsutilepourreprésenterunmodèlepériodique,àmoinsqu'ellenecontienneuntrèsgrandnombredevaleurs.
Chapitre5L'étudedesfonctionsPage46 LESPROPRIÉTÉSDESFONCTIONSLafonctionquadratiqueLarepr ésentationgraphiqued'unefonctionquad ratiques'appelleune"parabole».Laparabolepossèdeun somme tsituésursonaxede symétrie.L'orientationetl'ouverturedelaparabolevarientselonlasituationmodéliséeparlafonctionquadratique.Letableausuivantdécritlespropriétésd'unefonctionquadratiquereprésentéeparuneparaboleouverteverslehautetdontlesommetest(0,0).Domaine Image Abscisse à l'origine (ou zéro) Ordonnée à l'origine (ou valeur initiale) Signe Extremums Variation Axe de symétrie IR [0, +∞[ L'abscisse à l'origine de la fonction est 0. L'ordonnée à l'origine de la fonction est 0. La fonction est positive sur tout son domaine. La fonction n'a pas de maximum. Le minimum de la fonction est 0. La fonction est croissante pour x ∈ [0, +∞[. La fonction est décroissante pour x ∈ ]-∞, 0]. L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées. Remarque: Lorsqu elecontexteexigequel 'onrestr eigneledomaineàdes valeurspositives, lareprésentationgraphiqueestunedemi-parabole.LafonctionexponentielleLarepr ésentationgraphiqued'unefonctionexponentielleestunecourbequipossèdeuneasymptote,c'e st-à-direunedroiteverslaquelle lespointsd'u necourbeserapprochents anslatouc her.L'alluredelacourbevari eselonl asituationmodéliséeparlafonction.Letableausuivantdéc ritlespropriétésd 'unefonctionexpo nentielledontl'asymptoteestl'axedesabscisses.DomaineImageAbscisseàl'origine(ouzéro)Ordonnéeàl'origine(ouvaleurinitiale)SigneExtremumsVariationIR ]0, +∞[ La fonction n'a pas d'abscisse à l'origine. L'ordonnée à l'origine de la fonction est 2. La fonction est strictement positive sur tout son domaine. La fonction n'a pas de maximum ni de minimum. La fonction est strictement croissante sur tout son domaine.
Chapitre5L'étudedesfonctionsPage47 Remarque:Lorsquel'asymptoted'unefonctionexponentielleestl'axedesabscisses,lafonctionnepossèdepasdezéros.Par conséque nt,lafonc tionestsoitstrictem entpositiv e,soitstrictementnégative.LafonctionpériodiqueLafon ctionpériodiqueestutili séepourmodéliserdesphénomènescycliquescommelesmarées,lemouvementd'unpenduleoulesbattementscardiaques.Lapériodeestdéfiniecommel'étendued'uncycledelafonction.Exemple:Lapériodedelafonctionreprésentéedansleplancartésienci-contreest4.Letableausuivantmontrelareprésentationgraphiqueetdécritlespropriétésd'unefonctionpériodique.ReprésentationgraphiqueDomaine[-3,5]Image[-3,3]Abscisseàl'origine(ouzéro)Lesabscissesàl'originedelafonctionsont{-2,0,2,4}.Ordonnéeàl'origine(ouvaleurinitiale)L'ordonnéeàl'originedelafonctionest0.SigneLafonctionestpositivepourx∈[-3,-2]∪[0,2]∪[4,5].Lafonctionestnégativepourx∈[-2,0]∪[2,4].ExtremumsLeminimumdelafonctionest-3.Lemaximumdelafonctionest3.
Chapitre5L'étudedesfonctionsPage48 VariationLafonctioneststrictementcroissantepourx∈[-1,1]∪[3,5].Lafonctioneststrictementdécroissantepourx∈[-3,-1]∪[1,3].Remarque:Larelationréciproqued'unefonctionpériodiquen'estpasunefonction.Exemples1. Voicitroissituationspouvantêtremodéliséesparunefonctionexponentielle,quadratiqueoupériodique.a)Complètelestablesdevaleurssuivantesavecaumoinscinqcouplespourchaquesituation.LaventedebilletspourunfestivalNombredejoursécoulésNombredebilletsvendusLavoituredeformule1suruncircuitdeformetriangulaireTemps(minutes)Vitesse(km/h)Lecoûtd'uneaffichepublicitairecarrée1 Lapremièrejournéedelaventedebilletspourunfestival,300billetssontvendus. Lesventesdiminuentensuitede20%parjour.Ons'intéresseaunombredebilletsvendusselonlenombredejoursécoulés. 2 Ons'intéresseàlavitessed'unevoituredeformule1enfonctiondutempssuruncircuitenformedetriangleéquilatéral.Cettevoiturerouleenmoyenneà275km/hdansleslignesdroitesetralentità150km/hdanslesvirages.Ilprend30secondes pourparcourirunsegmentduparcoursetrouleàvitesseconstante15secondes.3 Lecoûtdeproductiond'uneaffichepublicitaire carréeestde20$parmètrecarré. On s'intéresse à la relation entre la mesure du côté de l'affiche et son coût. 1 2 3
Chapitre5L'étudedesfonctionsPage49 Mesureducôtédel'affiche(m)Coût($)b)Représentegraphiquementchaquesituation.c)Queltypedefonctionpermetdemodéliserchacunedessituations?2. Pourchacunedestablesdevaleurssuivantes,indiquesiellecorrespondàunefonctionaffine,quadratiqueouexponentielle.a)x0123f(x)515451351 2 3 1 2 3
Chapitre5L'étudedesfonctionsPage50 b)x0123g(x)041636c)x0123h(x)3579Chapitre 5, section 2: La fonction exponentielle et la fonction quadratique Lafonctionexponentielle:règledelaformef(x)=a(b)x• Lafonctionexponentielleestunefonctiondontlavariableindépendantesetrouveenexposantdanslarèglequiladécrit.• Lareprésentationgraphiqued'unefonctionexponentielledontlarègleestdelaformef(x)=abxestunecourbedontl'asymptoteestl'axedesabscisses.• Leparamètre ade larègle estl' ordonnéeàl'origin e(oula valeurinitiale )del afonction exponentielle.Lavaleurdeanedoitpasêtreégaleà0.• Leparamètrebdelarègleestlabasedelafonctionexponentielle.Lavaleurdebdoitêtreplusgrandeque0,sansêtreégaleà1.Exemples:• f(x)=2xestlarègled'unefonctionexponentielledontlavaleurinitialeest1etdontlabaseest2.• g(x)=-2(1,3)xestlarègled'unefonctionexponentielledontlavaleurinitialeest-2etdontlabaseest1,3.LaréciproquedelafonctionexponentielleLaréciproqued'unefonctionexponentielleestunefonction.Onpeutlevérifieràl'aided'unereprésentationgraphique.
Chapitre5LafonctionexponentielleetlafonctionquadratiquePage51 LarecherchedelarègleIlestpossiblededéterminerlarègled'unefonctionexponentielleàpartird'unetabledevaleurs.+1+1+1+1+1x-101234f(x)2,5510204080x2x2x2x2x2Voicilesétapesàsuivrepourdéterminerlarègledecettefonction.ÉtapeExemple1.Vérifiersilerapportestconstantdanslatabledevaleurs.Silerapportestconstant,ilcorrespondàlabasebdelafonctionexponentielle.b=22.Remplacerlabasebparlavaleurdéterminéeàl'étape1danslarèglef(x)=abx.f(x)=a(2)x3.Substituerlescoordonnéesd'uncoupledelatabledevaleursàxetàf(x)danslarègle.Point(3,40)40=a(2)34.Résoudrel'équationafindedéterminerlavaleurdea.5.Écrirelarèglesouslaformef(x)=abxaveclesvaleursdeaetdebdéterminéesprécédemment.f(x)=5(2)x
Chapitre5LafonctionexponentielleetlafonctionquadratiquePage52 Remarque:Cetteprocédureestégalementutilelorsqu'ondisposedelareprésentationgraphiqued'unefonctionexponentielledontonconnaîtlespointsdecoordonnées(x,f(x))et(x+1,f(x+1)).ExemplesTrouvelarègledesfonctionsexponentiellessuivantes.x-101234f(x)0,7531248192768Larègleest:x-101234f(x)
261854162Larègleest:
Chapitre5LafonctionexponentielleetlafonctionquadratiquePage53 Larègleest:Lafonctionquadratique:règledelaformef(x)=ax2• Lafonctionquadratique,appeléeaussi"fonctionpolynomialededegré2»,estunefonctiondontlarègleestunpolynômededegré2àunevariable.• Larep résentationgraphiqued'unefonctionquad ratiquedontlarègleestdela formef(x)=ax2estuneparaboledontlesommetestàl'origineduplancartésien.• Lavaleurduparamètreanedoitpasêtreégaleà0.Exemples:• f(x)=3x2estlarègled'unefonctionquadratiquedontlavaleurdeaest3.• g(x)=estlarègled'unefonctionquadratiquedontlavaleurdeaestLarelationréciproquedelafonctionquadratiqueLarelationréciproqued'unefonctionquadratiquen'estpasunefonction.Onpeutlevérifieràl'aided'unereprésentationgraphique.(3, 40) (4, 80) (5, 160)
Chapitre5LafonctionexponentielleetlafonctionquadratiquePage54 LarecherchedelarègleIlestpossiblededéterminerlarègled'unefonctionquadratiqueàpartird'unetabledevaleurs.Voicilesétapesàsuivrepourdéterminerlarègledecettefonction.x-50510f(x)12,5012,550
Chapitre5LafonctionexponentielleetlafonctionquadratiquePage55 Remarque:Cetteprocédureestégalementutilelorsqu'ondisposedelareprésentationgraphiqued'unefonctionquadr atiquedontlarègleestde laformef(x)=a x2et donton connaîtles coordonnéesd'unpointautrequelesommet.ExemplesTrouvelarègledesfonctionsquadratiquessuivantes.x-101234f(x)404163664Larègleest:x-10-5051015f(x)70017501757001575ÉtapeExemple1.Substituerlescoordonnéesd'unpointdelatabledevaleursàxetàf(x)danslarèglef(x)=ax2.Point(5,12,5)12,5=a(5)22.Résoudrel'équationobtenueàl'étape1afindedéterminerlavaleurdea.3.Écrirelarèglesouslaformef(x)=ax2aveclavaleurdeadéterminéeprécédemment.f(x)=
Chapitre5LafonctionexponentielleetlafonctionquadratiquePage56 Larègleest:Larègleest:EXERCICELegraphiquesuivantmontrel'évolutiond'unplacementàlabanque.Lavaleurduplacementestcalculéeàchaquemoisselonuntauxd'intérêtfixe.
Chapitre5LafonctionexponentielleetlafonctionquadratiquePage57 a) Déterminel'équationtraduisantl'évolutiondeceplacement.b) Quevaudraceplacementdans5ans?c) Quelestletauxd'intérêtmensueldeceplacement?
Chapitre 6 La statistique Section 1 : Les mesures de dispersions et de position Section 2 : L'appréciation qualitative d'une corrélation Section 3 : Le coefficient de corrélation linéaire Section 4 : La droite de régression
Chapitre6LesmesuresdedispersionetdepositionPage57Chapitre 6, section 1: Les mesures de dispersion et de position LEDIAGRAMMEÀTIGEETÀFEUILLESLediagrammeàtigeetàfeuillesestunmodedereprésentationquipermetuneorganisationrapideetefficacedesdonnéesd'unedistribution.Lesfeuillesreprésententleschiffresquioccupentlapositiondesunités.Latigecomprendleschiffresquioccupentuneautrepositionquecelledesunités.Lenombredefeuillescorrespondaunombrededonnées.Exemple:Voicilesscoresde12joueursàuntournoidegolfamateur.Cesscoressontreprésentésdanslediagrammeàtigeetàfeuillesci-dessous.Commel'histogramme,lediagrammeàtigeetàfeuillespermetd'apprécierladispersiondesdonnées.Silesdonnéessontrelativementprocheslesunesdesautres,ladistributionestdite"homogène».Silesdonnéessontrelativementéloignéeslesunesdesautres,ladistributionestdite"hétérogène».Parrapportàl'histogramme,lediagrammeàtigeetàfeuillesacommeavantagedeprésenterlavaleurdesdonnéestoutenlesregroupantenclasses.
Chapitre6LesmesuresdedispersionetdepositionPage58EXERCICEQuelleestladistributiondedonnéesdudiagrammeàtigeetenfeuillessuivant?3135405245561236878982999Faitlediagrammedequartilesdecettedistribution.Pourcettedistribution,détermine:- Q1:- Q2:- Q3:- L'écartinterquartile:- Lamédiane:- Lamoyenne:- Lemode:LESMESURESDEDISPERSIONLesmesuresdedispersionserventàdécrirel'étalementdesdonnéesd'unedistribution.Lesmesuresdetendancecentraleetlesmesuresdedispersionsontcomplémentaires.Utiliséesensemble,ellespermettentdedécrireavecprécisionunedistributiondedonnées.Onpeutchoisird'utiliserlamédianeetl'écartinterquartileoulamoyenneetl'écartmoyen,selonqueladistributionprésenteounondesdonnéesaberrantes.
Chapitre6LesmesuresdedispersionetdepositionPage59L'écartmoyenL'écartmoyen,noté"ÉM»,estunemesurededispersionégaleàlamoyennedesvaleursabsoluesdesécartsàlamoyennedesdonnéesd'unedistribution.Plusl'écartmoyenestpetit,pluslesdonnéessontconcentréesautourdelamoyenneetplusladistributionesthomogène.Àl'inverse,plusl'écartmoyenestgrand,pluslesdonnéessontdisperséesparrapportàlamoyenneetplusladistributionesthétérogène.Letableausuivantprésentelesétapesducalculdel'écartmoyendesscoresobtenusparles12joueursdegolf.Remarque:Àluiseul,l'écartmoyennefournitpasbeaucoupd'information.Avantdeseprononcersurl'homogénéitéoul'hétérogénéitédesdonnées,ilimportedoncdeconsidérerlecaractèreétudiéetlamoyennedesdonnées.Ainsi,unécartmoyende12coupsn'estpastrèsélevépourdesscores degolf,s il'onconsidèreque lescore moyenestde109 coups.Cependant,sil'onconsidère,parexemple,quelamoyennedestempératuresextérieuresmaximalespourunepérioded'unmoisestde20°C,alorsunécartmoyende12°Cseraittrèsélevé.
Chapitre6LesmesuresdedispersionetdepositionPage60LESMESURESDEPOSITIONLesmesuresdepositionpermettentdecaractériserunedonnéeenlasituantparrapportàl'ensembledesdonnées ordonnéesd'unedistribu tion.Cesmesuressontutileslo rsqu'ons'intéress enonseulementàladonnéeelle-même,maiségalement àsonclassem entparrapportauxautres.Le squartilesQ1,Q2etQ3,ainsiquelesrangscentiles,sontdesmesuresdeposition.LerangcentileLerangcentiled'unedonnéecorrespondaupourcentage(arrondiàl'unitésupérieure)desdonnéesquiontunevaleurinférieureouégaleàcettedonnée.Lerangcentiled'unedonnéeXsenoteR100(X).Exemple:Siunedonnéeoccupele80erangcentile,celasignifiequ'environ80%desdonnéessontinférieuresouégalesàcelle-ci.Laproportionsuivantepermetdedéterminerlerangcentiled'unedonnéeouladonnéequioccupeunrangcentileparticulierdansunedistributionordonnéeenordrecroissant.Exemple:Ladistributionsuivantecompte271données,dont170sontinférieuresà84et8sontégalesà84.Larecherchedurangcentiled'unedonnéeLerangcentiledeladonnée84secalculecommesuit:Lerangcentilede84est66.Celasignifiequ'environ66%desdonnéessontinférieuresouégalesà84.
Chapitre6L'appréciationqualitatived'unecorrélationPage62 Chapitre 6, section 2: L'appréciation qualitative d'une corrélation LadistributionàdeuxcaractèresLorsqu'onétudiesimultanémentde uxcaractères,onobti entdeuxvaleurspourchaqueunité statistiqued'unepopulationoud'unéchantillon.Cesvaleurspeuvents'exprimersouslaformed'uncouple(X,Y).L'e nsembledescouples(X,Y)cons titueunedistributionàdeu xcaractères,o udistributionàdeuxvariables.Exemple:Onconsidèrelamesuredupieddroitetlatailledechacundesjoueursd'uneéquipedebasket-ball.Cesdeuxmesuressontinscritesdansletableausuivant.Chacundesjoueurs del'équipe debasket-ballestuneu nitéstatisti que.L'ensem bledescouple s(mesuredupieddroit,taille)formeunedistributionàdeuxcaractères.LenuagedepointsLenuagedepointspermetd'observerlarelationentrelesdeuxcaractèresd' unedistribution.Pourfac iliterl'analysed'unedistributionàdeuxcaractères,ilimportedegraduerlesaxesdefaçonàcequel'étenduedesvaleursdechacundescaractèressoitreprésentéelepluspossibleparunemêmelongueurhorizontaleetvertical edansleplancartésien,commel'indiquentlespointillésdanslediagrammeci-contre.
Chapitre6L'appréciationqualitatived'unecorrélationPage63 LacorrélationlinéaireLorsquelenuagedepointsreprésentantunedistributionàdeuxcaractèresserapproched'unedroiteobliqueimaginaire,onditqu'ilexisteunecorrélationlinéaireentrelescaractèresdeladistribution.L'appréciationqualitatived'unecorrélationlinéaireL'observationd'unnuagedepointspermetdeconnaîtrelesensetl'intensitédelacorrélationlinéaireentredeuxvariables.Remarque:Onditquelacorrélationestnullelorsquelenuagedepointsnerévèleaucunlienévidententrelesdeuxvariables.
Chapitre6L'appréciationqualitatived'unecorrélationPage64 LacorrélationnonlinéaireToutcommeil existeplusieurs modèlesm athématiques,ilexis teplusieurstypesdecorrélation.Parexemple,lenuagedepointsci-contrerévèleunecorrélationquin'estpaslinéaire,maisplutôtquadratique.LanaturedulienentredeuxvariablesLenu agedepointset letableauà doubleentréepeuv entrév élerun lienentredeux vari ables.Cependant,ilsnefournissentaucuneexplicationquantàlanaturedecelien.Pourbieninterpréterunecorrélation,ilfaututilisersonjugementcritique.Lestroistypesdelienspossiblesentredeuxvariablessontprésentésdansletableausuivant.Remarque:Mêmesiunecorrélationestforte,celanesignifiepaspourautantqu'ilexisteunliendecausalitéentrelesvariables.
Chapitre6LecoefficientdecorrélationlinéairePage65 Chapitre 6, section 3 : Le coefficient de corrélation linéaire LecoefficientdecorrélationlinéaireLecoefficientdecorrélationlinéaire,notér,permetdequantifierlacorrélationlinéaireentredeuxcaractères.Lavaleurdersesituedansl'intervalle[-1,1].L'interprétationducoefficientdecorrélationlinéaireOnpeutconnaîtrel'intensitéetlesensdelacorrélationlinéaireenconsidérantlavaleurder.Complèteletableausuivantquitepermettradequalifierlecoefficientdecorrélationlinéaire.CorrélationlinéairepositiveCorrélationlinéairenégativeNulleNulleFaibleFaibleMoyenneMoyenneForteForteParfaiteParfaite
Chapitre6LecoefficientdecorrélationlinéairePage66 L'approximationducoefficientdecorrélationlinéaireLecalculducoefficientdecorrélationlinéaireestfastidieux.Cependant,ilestpossibled'estimerlavaleurderàl'aidedelaméthodedurectangle,présentéeci-dessous.ExerciceDéterminelavaleurducoeffi cientd ecorrélationlinéai redesnuagesdepointssu ivants.Qual ifieensuitecettecorrélation.
Chapitre6LecoefficientdecorrélationlinéairePage67 Leslimitesdel'interprétationducoefficientdecorrélationlinéaireLecoefficientdecorrélationlinéaire,àluiseul,n'estpassuffisantpourconclurequ'ilexisteounonunecorrélationlinéaireentredeux variables.Afindeporteru nbonjugement, ondoitrespec terlesconditionssuivantes.1. Observerlaformedunuagedepointsets'assurerquelemodèlelinéaireestleplusapproprié.2. Repérerlespointsaberrants,s'ilyalieu,c'est-à-direlespointsquisonttrèséloignésdesautresdanslenuage.Vérifiercequecespointsreprésententdanslecontexte.S'ils'agitd'anomalies,lesexcluredel'analysedesdonnées.Exemple:Lenuage depointsci-contrereprésentela relationentrel'âged'enfantsdu primaireetletempsqu'ilsmettentàlacerleurschaussures.Lavaleurderindiqueunecorrélationlinéairemoyenneetnégative.Cependant,laform edunuagedepoints (enento nnoir)montrequ elelien entrelesvariablesestfortchezlesplusjeunesetpresquenulchezlesplusvieux.Deplus, onconstatelaprésen ced'unp ointaberrantdansle nuage. Aprèsvérification,onsaitquecepointrepr ésenteun enfantdon tleslacetsso ntbrisés.Donc,ilvautmieuxl'excluredel'analysedesdonnées.
Chapitre6LadroitederégressionPage67 Chapitre 6, section 4 : La droite de régression LadroitederégressionLorsquelenuagedepointsd'unedistributionàdeuxcaractèresprésenteunecorrélationlinéaire,larelationentrecescaractèrespeutêtremodéliséeparunedroiteLadroitequis'ajustelemieuxàl'ensembledespointsestappelée "droiteder égression».Il existepl usieu rsméthodespourdéterminerl'équationd'unetelledroite.LaméthodedeladroitedeMayerLadroitedeMayerestladroitepassantpardeuxpointsmoyens(P1etP2)quisontreprésentatifsdel'ensembledespointsdeladistribution.Voicilesétapesàsuivrepourdéterminersonéquation.
Chapitre6LadroitederégressionPage68 ExerciceNousavonsinter rogécertainsél èvesafindeconnaîtrelenom bremoyend'heuresd' étudeparsemaine,demêmequelenombred'heuresmoyendesportsqu'ilsfontparsemaine.Voicilesrésultatsobtenus.NomdesélèvesNombred'heuresd'étudeparsemaineNombred'heuresdesportparsemaineÉricAnnieAlexandreJoséeMarcPierreStéphanieJulie2514236513452532Représentecettesituationparun nuagedepoi nts.Ensuite,détermine l'équation deladroi tederégressionàl'aidedelaméthodedeMayerettrace-ladansleplancartésien.
Chapitre6LadroitederégressionPage69 Laméthodedeladroitemédiane-médianeLadro itemédiane-médianeestladroited éfinieàp artir detr oispointsmédians, M1,M2etM3,représentatifsdeladistribution.Voicilesétapesàsuivrepourdéterminersonéquation.Lorsqu'onn'apasaccèsauxtechnologiespourdéterminerl'équationdeladroitederégression,ilestplussimplededéterminercelledeladroitedeMayer.Cependant,ilestpréférabled'avoirrecoursàl'équationdeladroitemédiane-médianesiladistributionprésentedespointsaberrants,puisqueladroitedeMayeresttrèssensibleauxdonnéesextrêmes.D'autrepart,siladistributioncompteuntrèsgrandnombredecouples,onpeuttracerunedroitequisembles'ajusterlemieuxaunuagedepointsetdéterminerl'équationdecettedroiteàpartirdedeuxpointsappartenantàcelle-ci.
Chapitre6LadroitederégressionPage70 ExerciceNousavonsinter rogécertainsél èvesafindeconnaîtrelenom bremoyend'heuresd' étudeparsemaine,demêmequelenombred'heuresmoyendesportsqu'ilsfontparsemaine.Voicilesrésultatsobtenus.NomdesélèvesNombred'heuresd'étudeparsemaineNombred'heuresdesportparsemaineÉricAnnieAlexandreJoséeMarcPierreStéphanieJulie2514236513452532Déterminel'équationdeladroitederégressionàl'aidedelaméthodemédiane-médianeettrace-ladansleplancartésien.
Chapitre6LadroitederégressionPage71 Laprédictionàl'aidedeladroitederégressionLorsqu'onarecoursàunedroitederégressionpourestimerlavaleurd'unevariableàpartird'uneautre,ilfauttoujourss'interrogerquantàlafiabilitédelavaleurcalculée.Généralement,pluslacorrélationlinéaireestforte,plusilyadechancesquelaprédictionsoitfiable.InterpolationetextrapolationUneprédictionparinterpolationestgénéralementplusfiablequ'uneprédictionparextrapolation,puisqueriennegarantitqu elemodèlelin éairepui sseêtreétendu àl'extérieur deslimite sdel'intervalledesdonnéespourlesquellesilaétéétabli.Plusons'éloignedecetintervalle,pluslerisqued'obteniruneprédictionaber ranteestgrand .Ilestdoncrecommandé,lorsqu 'onprésenteuneestimationbaséesuruneextrapolation,detoujoursfairelaprécision"silatendancesemaintient».Exemple:Danslediagrammeci-contre,unmodèlelinéaireaétéétabliàpartirdesdonnéesdel'intervallecomprisentre1moiset6mois.Onpeutvoirquecemodèlepermetdeprédirelamassed'unenfantde5mois,maisqu'iln'estpasappropriépourprédirelamassed'unenfantde18mois.Eneffet,lemodèlenes'appliquepasau-delàdeslimitesdel'intervallepourlequelilaétéétabli,soit[1,6].
Chapitre6LadroitederégressionPage72 ExercicesOnconsidèrelamesuredupieddroitetlatailledechacundesjoueursd'uneéquipedebasket-ball.Cesdeuxmesuressontinscritesdansletableausuivant.a) Détermineàl'aidedetacalculatricelecoefficientdecorrélationlinéaire.b) Qualifiecettecorrélation.c) Àl'aidedunuagedepointssuivantetdelaméthodedurectangle,déterminelavaleurducoefficientdecorrélation.Lecoefficientdecorrélationlinéaireest:
Chapitre6LadroitederégressionPage73 d) Trouvel'équationdeladroitederégressionàl'aidedesdeuxméthodessuivantes:LadroitedeMayer:Ladroitemédiane-médiane:
Chapitre6LadroitederégressionPage74 e) Utilisel'équationdeladroitedeMayerpourprédirequelleseraitlatailled'unjoueurdontlespiedsmesurent25,5cm. f) Utilisel'équationdeladroitemédiane-médianepourprédirequelleseraitlagrandeurdespiedsd'unjoueurmesurant184cm. g) Cesprédictionssont-ellesfiables?Expliquepourquoi.
Chapitre 7 La trigonométrie Section 1 : Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Section 2 : La recherche de mesures dans un triangle quelconque Section 3 : L'aire de triangles
Chapitre7LesrapportstrigonométriquesdansletrianglerectanglePage75 Chapitre 7, section 1 : Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Puisquetouslestrianglesrectanglesayantunangleaiguisométriquesontsemblablesetquelesmesuresdeleurscôtéshomologuessontproportionnelles,lesrapportsentrelesmesuresdescôtésd'untrianglerectangle,pourunangledonné,sontuniques. Dans un triangle ABC rectangle en C : sinus A = ou sin A = cosinus A = ou cos A = tangente A= ou tan A = ou tan A = Lesinusetlecosinusd'unangleaigusontcomprisentre0et1.Latangented'unangleaiguestpositive.LarecherchedemesuresdansuntrianglerectanglePourtrouverunemesuremanquantedansuntrianglerectangle,ilfautconnaître,enplusdel'angledroit,aumoinsdeuxautresmesures,dontunemesuredecôté.Pournommerlescôtésd'untriangle,onutilisenormalementlamêmelettrequecelledusommetopposé,maisenminuscule.Côté opposé à B Côté adjacent à A Côté opposé à A Côté adjacent à B Hypothénuse
Chapitre7LesrapportstrigonométriquesdansletrianglerectanglePage76 Trouverunemesuremanquantedansuntrianglerectangledontonconnaîtunemesuredecôtéetunemesured'angleaiguDéterminelamesuredessegmentsACetBC.TrouverunemesuremanquantedansuntrianglerectangledontonconnaîtdeuxmesuresdecôtésDéterminelamesuredesanglesAetC.ExercicesDéterminetouteslesmesuresmanquantesdutrianglesuivant.(Ceciestrésoudreuntriangle.)
Chapitre7LarecherchedemesuresdansuntrianglequelconquePage77Chapitre 7, section 2 : La recherche de mesures dans un triangle quelconqueDanstouttriangle,lerapportentrelamesureducôtéetlesinusdel'anglequiluiestopposéesttoujoursconstant.LarecherchedemesuresmanquantesLaloidessinuspermetderésoudreuntriangle,etce,dèsqu'onconnaîtlamesured'unangleetcelledesoncôtéopposéainsiqu'uneautremesured'angleoudecôté.Larecherched'unemesuredecôtéExemple:RésousletriangleABCci-dessous.Inverserlesrapportsdelaloidessinuspermetparfoisd'isolerplusfacilementunevariable.Onpeutdoncaussiutiliser==.==
Chapitre 7 L'aire de triangles Page 78 Chapitre 7, section 3 : L'aire de triangles Selonlesmesuresd'anglesetdecôtésconnues,ilestpossibledecalculerl'airedestrianglesdedifférentesfaçons.Ledemi-produitd'unebaseetdesahauteurrelativeLorsquelesmesuresconnuesdansuntrianglepermettentdedéterminerunehauteurrelativeàuncôtédontonconnaîtlamesure,oncalculel'airedutriangleàl'aidedelaformule:A∆=Exemple:Calculel'airedutriangleABC.
Chapitre 8 La probabilité subjective et l'espérance mathématique Section 1 : La probabilité subjective Section 2 : L'espérance mathématique
Chapitre8LaprobabilitésubjectivePage81Chapitre 8, section 1 : La probabilité subjective LADISTINCTIONENTREDIFFÉRENTSTYPESDEPROBABILITÉSUneprobabilitépeutêtrethéorique,fréquentielleousubjectiveselonqu'onlacalculeàl'aided'unmodèle,qu'onl'estimeàl'aided'uneexpérienceouqu'onl'évalueenfaisantappelàsonjugement.LaprobabilitéthéoriqueIlestpossibledecalculerlaprobabilitéthéoriqued'unévénementlorsqu'onpeutmodéliserunesituationsansnécessairementrecouriràl'expérimentation.Lorsquelesrésultatsd'uneexpériencealéatoiresontéquiprobables,laprobabilitéd'unévénementsecalculedelafaçonsuivante.Exemples:Soitl'expériencealéatoire"Sansregarder,tirerunebilledubocalci-contreetnotersacouleur».Laprobabilitédetirer:-unebillerayéeestde;-unebillenoireestde;-unebilleblancheestde.Soitl'expériencealéatoire"Pigerunecarted'unjeude52cartesetnoterlacartepigée.»Laprobabilitédepiger:- unecarterougeestde;- unecartedetrèfleestde;- unecarteétantunefigureestde;- undixestde;- unasdecoeurestde.La valeur d'une probabilité est toujours comprise dans l'intervalle [0, 1]. = Probabilité théorique d'un événement
Chapitre8LaprobabilitésubjectivePage82LaprobabilitéfréquentielleLaprobabilitéfréquentielleestuneestimationfaiteàpartirderésultatsobservéssuiteàplusieursréalisationsd'uneexpériencealéatoire.Ondoitavoirrecoursàuneexpériencealéatoirelorsqu'onnedisposepasd'unmodèlepermettantdecalculeruneprobabilitéthéorique.Lorsquel'expériencealéatoireesteffectuéeungrandnombredefois,laprobabilitéfréquentielleconstitueunebonneestimationdelaprobabilitéthéoriqued'unévénement.Exemple:Soitl'expériencealéatoire"Lancerunepiècede1centdutoitd'unimmeubleetnoterl'endroitoùelles'immobilise.»NEPASTENTERL'EXPÉRIENCES.V.P.Voicilacompilationdesrésultatsde300lancers.Résultat(endroitoùelletouchelesol)DanslarueSurletrottoirSurlegazonSuruneautoNombrederéalisations22539360Probabilitéfréquentielle0%Remarque:Mêmesionn'apasobservéundesrésultatseneffectuantl'expériencealéatoire,onnepeutpasconclurequecerésultatestimpossible. LaprobabilitésubjectiveUneprobabil itésubjectivereflètel'avisd'u nepersonnesurlaprobabilitéq u'unévénementseréalise.Laprob abilitéestsubjectivepuisqu'ell efaitappel aujugementetcorrespondàune évaluationpersonnellebasée àlafoissurdesconnaissancesetdes opinions.Oné val ueune probabilitésubjectivedanslecas oùilestimpossibledecalcul eruneprob abilitéthéoriqu eoud'estimeruneprobabilitéfréquentielle.Lesprévisionsderésultatssportifsetcertainesprévisionsmétéorologiquesfontappelàlaprobabilitésubjective.Remarque:Laprobabilitésubjectivequ'unévénementseréalisepeutêtreévaluéedifféremmentd'unepersonneàuneautre. = Probabilité fréquentielle d'un événement
Chapitre8LaprobabilitésubjectivePage83 LES"CHANCESPOUR»ETLES"CHANCESCONTRE»Danscertainessituations,lesprobabilitésthéorique,fréquentielleousubjectivesontexpriméesen"chancespour»eten" chancescontre» .Les "chan cespour »etle s"chancesc ontre »laréalisationd'unévénementsontexpriméesparlesrapportssuivants. Exemple:Pourunesaisondonnée,troisanalystessportifscroientquel'équipedesCanadiensdeMontréalremporteralacoupeStanleyalorsquehuitautrescroientqu'uneautreéquipedelaLiguenationaledehockeylaremportera.Les"chancespour»sontde.Les"chancescontre»sontde.Remarque:Onexprimegénéralementles"chancespour»etles"chancescontre»àl'aided'undeux-points.Ainsi,siles"chancespour»laréalisationd'unévénementsontévaluéesà,onécrit3:8etondit:les"chancespour»quel'événementseréalisesontde3contre8.DelaprobabilitéauxchancesetdeschancesàlaprobabilitéLarelationentrelenombredecaspossiblesetlenombredecasfavorablesetdéfavorablesàlaréalisationd'unévénementpermetd'exprimeruneprobabilitéen"chancespour»ouen"chancescontre»oul'inverse.Nombredecaspossibles=Nombredecasfavorables+NombredecasdéfavorablesExemples:1) Pourexprimerlaprobabilitéen"chancespour»,ondéterminelenombredecasdéfavorablesàpartirdudénominateurquireprésentelenombredecaspossibles." Chances pour » = = " Chances contre »
Chapitre8LaprobabilitésubjectivePage842)Pourexprimerlerapport"chancescontre»9:2enprobabilité,ondéterminelenombredecaspossiblesàpartirdunombredecasdéfavorablesetdunombredecasfavorables.Remarque:Lerapport"chancespour»estl'inversemultiplicatifdurapport"chancescontre».EXERCICES1- Laprobabilitéqu'unévénementseréaliseestde712.Laquelledesaffirmationssuivantesestvraies?A) Leschancespourquecetévénementseréalisesontde5contre7.B) Leschancespourquecetévénementseréalisesontde5contre12.C) Leschancespourquecetévénementseréalisesontde7contre5.D) Leschancespourquecetévénementseréalisesontde7contre12.2- Unconcessionnairea90voituresenstock.Parmicesvoitures,17sontrouges.Onchoisitauhasardunedeces90voitures.Quellessontleschancespourquelavoiturechoisiesoitrouge?Réponse:3- Legouvernementétudiantdel'écoleadistribué100billetsdetirageauxélèvesde5esecondaire.Undecesbilletsesttiréauhasard.L'élèvedontlebilletesttirégagneunalbumdefinissant.Guillaumeareçu7billetstandisqueMathieuenareçu13.Lequeldesénoncéssuivantestvrai?A) LaprobabilitéqueGuillaumegagneacetirageestde793.B) LaprobabilitéqueGuillaumegagneacetirageestde1320.C) LeschancespourqueGuillaumegagneàcetiragesontde7contre100.D) LeschancespourqueMathieugagneàcetiragesontde13contre87.
Chapitre8L'espérancemathématiquePage85 Chapitre 8, section 2 : L'espérance mathématique L'ESPÉRANCEMATHÉMATIQUEL'espérancemathématiqueestlamoyennepondéréedesrésultatsd'uneexpériencealéatoiredanslaquellelesfacteursdepondérationsontlesprobabilitésd'obtenirchacundesrésultats.Ils'agitdoncdelasommedesproduitsdesrésultatsetdesprobabilitéscorrespondantes.Defaçonpratique,l'espérancemathématiqued'unevariablealéatoiresecalculeainsi;1. Onmultipliechacunedesvaleurspossiblesdelavariableparlaprobabilitéd'obtenircettevaleur.2. Onfaitlasommedetouslesproduitsobtenus.L'espérancemathématiqued'unevariablealéatoiren'estpasnécessairementunrésultatpossibledel'expériencealéatoire.Exemple:Onfaittournerlaflèchedelarouletteci-dessousetonremportelelotinscritdanslesecteuroùlaflèches'immobilise.L'espérancemathématiquedecetterouletteestde.Celasignifiequ'enfaisanttournerlaflèchedelarouletteuntrèsgrandnombredefois,onpeuts'attendreàgagnerenmoyennechaquefoisqu'onlafaittourner.RésultatsProbabilité
Chapitre8L'espérancemathématiquePage86 Remarques:-Lavaleurmoyennedesrésultatsobtenusenrépétantuneexpériencealéatoireuntrèsgrandnombredefoistendversl'espérancemathématique.-Onnotepar foisl'espé rancemathématiqueavecla lettreE.Par exemple, l'espérancemathématiqued'uneroulettepeutsenoterE(Roulette).L'INTERPRÉTATIONDEL'ESPÉRANCEMATHÉMATIQUEETL'ÉQUITÉDansunjeuquiconsisteàeffectueruneexpériencealéatoireetoùilestpossibledegagneroudeperdredespoints,desobjetsoudel'argent,ilyatroispossibilités.Lejeuest:-favorableàlajoueuseouaujoueursil'espérancemathématiqueestpositive;-défavorableàlajoueuseouaujoueursil'espérancemathématiqueestnégative;-équitablesil'espérancemathématiqueestnulle.L'espérancemathématiqued'unjeudehasarddépendduprixàpayerpouryparticiper.Exemples:Voicideuxfaçonséquivalentesdecalculerl'espérancemathématiquedelarouletteci-contresiondoitpayer5$pourenfairetournerlaflèche.Calculerensuitel'espérancemathématiquedujeu.E(Jeu)=L'espérancemathématiquedecejeuestde-1$.Résultats0$2$5$12$ProbabilitéRésultats-5$-3$0$7$ProbabilitéToutes les loteries sont des jeux défavorables à la joueuse ou au joueur. 1) Soustraireleprixàpayerdechacundesrésultatspossibles.
Chapitre8L'espérancemathématiquePage87 2)Soustraireleprixàpayerdel'espérancemathématiquedelaroulettepourobtenirl'espérancemathématiquedujeu.4$-5$=-1$L'espérancemathématiquedecejeuestde-1$.Celasignifiequ'enjouantuntrèsgrandnombredefois,onpeuts'attendreàperdreenmoyenne1$parparticipation.Pourquecejeusoitunjeuéquitable,leprixàpayerpouryparticiperdoitêtrede4$.Sileprixàpayerpouryparticiperestinférieurà4$,lejeuestalorsfavorableàlajoueuseouaujoueur;s'ilestsupérieurà4$,lejeuleurestalorsdéfavorable.EXERCICESPourparticiperàunjeuderouletteilencoûte5$.Ilya50casesentoutdont1casepourgagner100$,5pourgagner50$et10casespourgagner5$.Situgagnesonteremettamise.a) Calculel'espérancedecejeu.Choisirais-tudejoueràcejeu?b) Sicettero uletteservaitdemoyen definancement,que lmontantde vrait-oncharger afind'espérerfaireunprofitmoyende1$parparticipant? Espérance mathématique de la roulette Prix à payer pour jouer à la roulette Espérance mathématique du jeu - =
Chapitre8L'espérancemathématiquePage88 Unbilletdeloteriecoûte2$.Laprobabilitédegagnerlegroslotde1000000$estde1sur13000000,celledegagner100000$estde1sur800000,celledegagner1000$estde1sur55000etcelledegagnerunbilletgratuit(valeurde2$)estde1sur1000.Calculel'espérancemathématiquedecetteloterie. L'espérancedecejeuestdeàchaquefoisquetuachètesunbillet.Unepersonnequiparticipeàunjeudoitchoisirunsacduquelelletireraunebille.Sielletireunebillemarquéed'unX,ellen'accumuleaucunpoint.Sielletireunebillemarquéed'unR,ellegagne100pointsetsielleentireunemarquéed'unN,ellegagne250points.Quelsaclapersonnedevrait-ellechoisir?Expliquetaréponse.
Chapitre8L'espérancemathématiquePage89 Voiciunjeu.Tulancesunepiècedemonnaieetobservelecôtésurledessus.Dépendammentdurésultat,tuemprunteslelabyrintheci-dessous.Queldoitêtrelemontantd'argentminimaldanslacasegrisepourquel'espérancemathématiquedujeusoitd'aumoins1000$? Uncadenasdelasortecompte9880combinaisonsdifférentes.Quelleestlaprobabilitéquetudécouvreslacombinaisonenunseulessai?a) Enfraction:b) Ennombredécimal:c) Enpourcentage:Sijedonne50000$àceluioucellequitrouvecettecombinaison,quelmontantminimaldevrais-jedemanderpourpouvoirparticipersijeneveuxpasperdred'argent?
Chapitre8L'espérancemathématiquePage90 Uncadenasdelasortecompte34220combinaisonsdifférentes.Quelleestlaprobabilitéquetudécouvreslacombinaisonenunseulessai?a) Enfraction:b) Ennombredécimal:c) Enpourcentage:Sijedonne50000$àceluioucellequitrouvecettecombinaison,quelmontantminimaldevrais-jedemanderpourpouvoirparticipersijeneveuxpasperdred'argent?
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