S´eance no3 Formulations variationnelles Corrig´e
Corrig´e 29 Novembre 2005 Exercice 1 Formulation variationnelle 1 1 - Soit v ∈ H1(Ω), on pose v i = vΩ i et l’on multiplie la premi`ere ´equation par vi ce qui donne apr`es int´egration sur Ωi, − Z Ωi (divki∇ui) vi + Z Ωi ui vi = Z Ωi fi vi avec fi = fΩ i Nous obtenons par application de la formule de Green dans Ωi (ni d
Corrig e de la S eance 2 : Formulations variationnelles
Question 1 Construire la formulation variationnelle (FV1) associ ee a (1) Corrig e de la question 1 : En multipliant la 1 ere equation de (1) par v2H1() et en integrant sur on obtient facilement Z uvd Z uvd = Z fvd; 8v2H1() Comme uest dans H1() et u= u f 2L2(), on a u2H1(;4) On suppose pour simpli er que u2H2() On peut donc appliquer la
Methodes variationnelles´ - Accueil
D´efinition 3 5 (Formulation variationnelle) Soitf ∈ L2(Ω);onditqueu est solution variationnelle de(3 1)si u est solution du probl`eme de minimisation suivant : u ∈ H 1
Exercices Corrig es Analyse num erique et optimisation Une
Ce recueil rassemble tous les exercices propos es dans le cours de deuxi eme ann ee d’introduction a l’analyse num erique et l’optimisation de Gr egoire Allaire [1] Toute r ef erence a ce dernier se distinguera des r ef erences internes au recueil par ses ca-ract eres gras Par exemple, (1 1) fait r ef erence a la premi ere formule du cours
EXERCICES CORRIGÉS
5) Montrer que la formulation variationnelle associée au problème (P) admet une unique solution u 2V 6) Si f vérifie la condition de compatibilité, montrer que le problème (P) admet une unique solution u 2V Arij BOUZELMATE EXERCICES CORRIGÉS
Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram
Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram Exercice 1 : condition limite de type Robin Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de classe C1, f ∈ C0(Ω) et g ∈ C0(∂Ω) deux fonctions donn´ees, et β un r´eel positif On consid`ere le probl`eme Trouver u ∈ C2(Ω) tel que −∆u = f dans Ω, βu+ ∂u ∂n
Corrig e de la S eance 3 : Theor eme de Lax-Milgram
Corrig e de la question 4 : On montre facilement que ce probl eme est equivalent a la formulation variationnelle suivante : Trouver u2H1 0 telle que Z rurvd = Z fvd 1; 8v2H 0 (): (6) Pour l’ equivalence entre les 2 probl emes, voir le TD2 On munit l’espace H 1 0 de la semi-norme H En tant qu’espace ferm e de H1() et
S eance no4 El ements nis en dimension 1 et 2 Corrig e
Corrig e 6 D ecem bre 2005 Exercice 1 Interpolation dans les espaces de Sobolev et estimations d’erreur en dimension 1 Dans ce qui suit, p(x) et q(x) d esignent deux fonctions continues par morceaux d e nies sur I = ]a;b[ et v eri ant : 0 < p p(x) p < +1 p p x 2 I; 0 < q q(x) q < +1 p p x 2 I;
Mecanique quantique Cours et exercices corriges
10 3 Formulation générale – Équation de Lippmann-Schwinger 189 10 4 Diffusion dans la situation bidimensionnelle 191 10 5 Diffusion dans la situation tridimensionnelle 198 Annexe 10 A : Fonctions de Green 201 Exercices 204 Problèmes 10 1 Résistance électrique d’un fil quantique unidimensionnel 206 10 2 Temps de Wigner et capacité
Équations aux Dérivées Partielles
Équations aux Dérivées Partielles M1 I Transformée de Fourier dans Rd I-1 Transformée de Fourier d’une fonction L1 I-1- 1 Définitions Dans tout le chapitre, on prend d 1, et on travaille avec (Rd;B(Rd); d)
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Chapitre3
M´ethodesvariation nelles
3.1Exempl esdeprobl`emesvaria tionnels
3.1.1Leprobl `emedeDi richlet
SoitΩunouve rtborn´edeIR
d -Δu=f,dansΩ, u=0sur∂Ω, (3.1) o`uf?C( )etΔu=∂ 2 1 u+∂ 2 2 u,o`ul'ond´esignepar∂ 2 i ulad ´eriv´eepartielled'ordre2parrap ort`alai-`eme variable. D´efinition3.1Onap pellesolutionclassiq uede(3.1)unefonc tionu?C 2 )quiv´erifie(3.1).Soitu?C
2 )unesol utionclassiquede(3.1), etsoit??C c ),o`uC c )d´esignel'ensembledesfonctions dec lasseC `as upp ort com pac tda nsΩ.Onmultiplie(3.1)par?eto nint`eg resurΩ(onappe lleraparlasuite? "fonctiontest"):onadonc: -Δu(x)?(x)dx= f(x)?(x)dx. deGr een),ona: -Δu(x)?(x)dx=- d i=1 2 i u(x)?(x)dx d i=1 i u(x)?(x)dx+ d i=1 i u·n i (s)?(s)dγ(s) o`un id´esignelai-`emecomposa nteduvecteurunitairenormal`al afront i`ere∂ΩdeΩ,etext´erieur`aΩ,etdγ
d´esignelesymboled'int´egrationsur∂Ω.Comme?estnull esur∂Ω,onobtient: d i=1 i u(x)∂ i ?(x)dx= f(x)?(x)dx. cequ is'´ecritenco re: ?u(x)·??(x)dx= f(x)?(x)dx.(3.2)