S´eance no3 Formulations variationnelles Corrig´e
Corrig´e 29 Novembre 2005 Exercice 1 Formulation variationnelle 1 1 - Soit v ∈ H1(Ω), on pose v i = vΩ i et l’on multiplie la premi`ere ´equation par vi ce qui donne apr`es int´egration sur Ωi, − Z Ωi (divki∇ui) vi + Z Ωi ui vi = Z Ωi fi vi avec fi = fΩ i Nous obtenons par application de la formule de Green dans Ωi (ni d
Corrig e de la S eance 2 : Formulations variationnelles
Question 1 Construire la formulation variationnelle (FV1) associ ee a (1) Corrig e de la question 1 : En multipliant la 1 ere equation de (1) par v2H1() et en integrant sur on obtient facilement Z uvd Z uvd = Z fvd; 8v2H1() Comme uest dans H1() et u= u f 2L2(), on a u2H1(;4) On suppose pour simpli er que u2H2() On peut donc appliquer la
Methodes variationnelles´ - Accueil
D´efinition 3 5 (Formulation variationnelle) Soitf ∈ L2(Ω);onditqueu est solution variationnelle de(3 1)si u est solution du probl`eme de minimisation suivant : u ∈ H 1
Exercices Corrig es Analyse num erique et optimisation Une
Ce recueil rassemble tous les exercices propos es dans le cours de deuxi eme ann ee d’introduction a l’analyse num erique et l’optimisation de Gr egoire Allaire [1] Toute r ef erence a ce dernier se distinguera des r ef erences internes au recueil par ses ca-ract eres gras Par exemple, (1 1) fait r ef erence a la premi ere formule du cours
EXERCICES CORRIGÉS
5) Montrer que la formulation variationnelle associée au problème (P) admet une unique solution u 2V 6) Si f vérifie la condition de compatibilité, montrer que le problème (P) admet une unique solution u 2V Arij BOUZELMATE EXERCICES CORRIGÉS
Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram
Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram Exercice 1 : condition limite de type Robin Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de classe C1, f ∈ C0(Ω) et g ∈ C0(∂Ω) deux fonctions donn´ees, et β un r´eel positif On consid`ere le probl`eme Trouver u ∈ C2(Ω) tel que −∆u = f dans Ω, βu+ ∂u ∂n
Corrig e de la S eance 3 : Theor eme de Lax-Milgram
Corrig e de la question 4 : On montre facilement que ce probl eme est equivalent a la formulation variationnelle suivante : Trouver u2H1 0 telle que Z rurvd = Z fvd 1; 8v2H 0 (): (6) Pour l’ equivalence entre les 2 probl emes, voir le TD2 On munit l’espace H 1 0 de la semi-norme H En tant qu’espace ferm e de H1() et
S eance no4 El ements nis en dimension 1 et 2 Corrig e
Corrig e 6 D ecem bre 2005 Exercice 1 Interpolation dans les espaces de Sobolev et estimations d’erreur en dimension 1 Dans ce qui suit, p(x) et q(x) d esignent deux fonctions continues par morceaux d e nies sur I = ]a;b[ et v eri ant : 0 < p p(x) p < +1 p p x 2 I; 0 < q q(x) q < +1 p p x 2 I;
Mecanique quantique Cours et exercices corriges
10 3 Formulation générale – Équation de Lippmann-Schwinger 189 10 4 Diffusion dans la situation bidimensionnelle 191 10 5 Diffusion dans la situation tridimensionnelle 198 Annexe 10 A : Fonctions de Green 201 Exercices 204 Problèmes 10 1 Résistance électrique d’un fil quantique unidimensionnel 206 10 2 Temps de Wigner et capacité
Équations aux Dérivées Partielles
Équations aux Dérivées Partielles M1 I Transformée de Fourier dans Rd I-1 Transformée de Fourier d’une fonction L1 I-1- 1 Définitions Dans tout le chapitre, on prend d 1, et on travaille avec (Rd;B(Rd); d)
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Analyse num´erique et optimisationTD4 - 18/02/2014A. Ern - Groupes 5 & 12 Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax-Milgram
Exercice 1 : condition limite de type Robin
Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de classeC1,f?C0( Ω) etg?C0(∂Ω) deux fonctions donn´ees, etβun r´eel positif. On consid`ere le probl`eme ?Trouveru?C2(Ω) tel que
-Δu=fdans Ω,βu+∂u
∂n=gsur∂Ω.(1) Lorsqueβ >0, on dit que la condition limiteβu+∂u ∂n=gest de type Robin (ou Fourier).1. Montrer que toute solution de (1) est solution d"un probl`eme de la forme
?Trouveru?Vtel que a(u,v) =L(v)?v?V,(2) o`uV=C1( Ω) et o`uaetLsont des formes bilin´eaires et lin´eaires que l"on pr´ecisera. (In- dication : effectuer une int´egration par parties et utiliser la condition limite deRobin dans l"int´egrale de bord.) Remarque : l"espaceVn"a pas une structure d"espace de Hilbert; le probl`eme(2)ne rentre donc pas dans le cadre d"application du th´eor`eme de Lax-Milgram. Nous construirons pro- chainement un cadre fonctionnel mieux adapt´e `a l"´etude de ce probl`eme.2. Montrer que siβ >0, le probl`eme (2) poss`ede au plus une solution, et qu"il en est de mˆeme
pour le probl`eme (1). Exercice 2 : approximation interne (Galerkin) et lemme de C´ea SoitVun espace de Hilbert,aune forme bilin´eaire surV×V, continue et coercive (param`etres Metν) etLune forme lin´eaire continue surV. On consid`ere le probl`eme ?Trouveru?Vtel que a(u,v) =L(v)?v?V,(3) qui, de par le th´eor`eme de Lax-Milgram, admet une et une seule solution.1. SoitVN?Vun sous-espace deVde dimension finieN. Montrer que le probl`eme
?TrouveruN?VNtel que a(uN,vN) =L(vN)?vN?VN,(4) admet une et une seule solution. On dit que le probl`eme (4) constitue une approximation interne (ou de Galerkin) du probl`eme de d´epart (3). Montrer que si (par miracle)u?VN, alorsuN=u. 12. Soit (φ1,...,φN) une base deVNet (U1,...,UN) les composantes de l"unique solutionuN
de (4) dans la base (φ1,...,φN). Montrer que le vecteur colonneU= (U1,...,UN)test solution d"un syst`eme lin´eaire du type AU=B. On exprimera les coefficients de la matriceA?RN,Net du vecteurB?RNen fonction des formesaetLet de la base (φ1,...,φN).3. Montrer que la matriceAest d´efinie positive (et donc inversible!).
4. ´Etablir l"estimation d"erreura priorisuivante (lemme de C´ea) : il existe une constanteC, que l"on pr´ecisera, telle queN?VN?u-yN?V.
(Indication : montrer que le r´eela(u-uN,u-yN) est ind´ependant du choix deyN?VN.) On dit que l"estimation d"erreur ci-dessus est optimale; pourquoi? Exercice 3 : une m´ethode de r´esolution it´erative SoitVun espace de Hilbert,aune forme bilin´eaire surV×V, continue et coercive (param`etres Metν) etLune forme lin´eaire continue surV. Soitul"unique solution du probl`eme ?Trouveru?Vtel que a(u,v) =L(v)?v?V.(5)On se propose d"approcher la solutionu?Vpar une m´ethode it´erative en g´en´erant une suite
(uk)k≥0d"´el´ements deV. On initialise la m´ethode avec unu0arbitraire dansV.1. Soituk?V. Montrer qu"il existe un uniqued(uk)?Vtel que
?d(uk),v?=a(uk,v)-L(v)?v?V.2. Soitλun param`etre r´eel strictement positif. On g´en`ere la suite (uk)k≥0en posant pour tout
k≥0, u k+1=uk-λd(uk). Montrer que siuk→ydansV, alorsy=u, l"unique solution de (5).3. V´erifier que sid(uk0) = 0 pour un certain indicek0, alors pour toutk≥k0,ukest constante
et ´egale `au.4. Montrer que l"applicationFλ:V?y?→y-λd(y)?Vest strictement contractante sous
l"hypoth`ese0< λ <2ν
M2. (Indication : d´evelopper la norme?Fλ(y)-Fλ(z)?2Vet observer que?d(y)-d(z),v?= a(y-z,v) pour toutv?V.) En d´eduire la convergence de la m´ethode it´erative propos´ee. Remarque : ce r´esultat constitue une preuve alternative `a celle du th´eor`eme de Lax-Milgram concernant l"existence de la solution de (5).5. On suppose de plus que la forme bilin´eaireaest sym´etrique. Rappeler la fonctionnelle
d"´energie minimis´ee par la solutionu?Vet montrer que cette fonctionnelle est d´ecroissante
pour la suite (uk)k≥0. 2Corrig´e
Exercice 1 : condition limite de type Robin
1. Soitusolution de (1) et montrons queuest solution d"un probl`eme de la forme (2). Tout
d"abord,u?C2( Ω)?C1(Ω) =V. On multiplie ensuite l"´equation-Δu=fpar une fonctionv?V, on int`egre sur Ω, et on utilise la formule de Green (Corollaire 3.2.4). Il vient f(x)v(x)dx=-?Δu(x)v(x)dx=?
?u(x)·?v(x)-? ∂Ω∂u ∂n(x)v(x)ds. On utilise la condition limite de Robin dans l"int´egrale de bord; d"o`u f(x)v(x)dx=? ?u(x)·?v(x) +β? ∂Ωu(x)v(x)ds-? ∂Ωg(x)v(x)ds.On obtient un probl`eme de la forme (2) avec
a(u,v) =? ?u(x)·?v(x)dx+β? ∂Ωu(x)v(x)ds,L(v) =?
f(x)v(x)dx+? ∂Ωg(x)v(x)ds.2. Supposons que le probl`eme (2) admette deux solutionsu1etu2. Posonsw=u1-u2. La
fonctionwest dansVet v´erifie a(w,v) = 0?v?V.En prenantv=w, il vienta(w,w) = 0, c"est-`a-dire
|?w(x)|2+β? ∂Ω|w(x)|2ds= 0. Donc, d"une part?w= 0, ce qui prouve quewest constante sur chacune des composantes connexes de Ω, et d"autre partw= 0 sur le bord de Ω (carβ >0); d"o`uw= 0 et doncl"unicit´e de la solution de (2). Comme toute solution de (1) est solutionde (2), on en d´eduit
l"unicit´e de la solution de (1). Exercice 2 : approximation interne (Galerkin) et lemme de C´ea