[PDF] Exercices Corrig es Analyse num erique et optimisation Une

S´eance no3 Formulations variationnelles Corrig´e

Corrig´e 29 Novembre 2005 Exercice 1 Formulation variationnelle 1 1 - Soit v ∈ H1(Ω), on pose v i = vΩ i et l’on multiplie la premi`ere ´equation par vi ce qui donne apr`es int´egration sur Ωi, − Z Ωi (divki∇ui) vi + Z Ωi ui vi = Z Ωi fi vi avec fi = fΩ i Nous obtenons par application de la formule de Green dans Ωi (ni d

Corrig e de la S eance 2 : Formulations variationnelles

Question 1 Construire la formulation variationnelle (FV1) associ ee a (1) Corrig e de la question 1 : En multipliant la 1 ere equation de (1) par v2H1() et en integrant sur on obtient facilement Z uvd Z uvd = Z fvd; 8v2H1() Comme uest dans H1() et u= u f 2L2(), on a u2H1(;4) On suppose pour simpli er que u2H2() On peut donc appliquer la

Methodes variationnelles´ - Accueil

D´efinition 3 5 (Formulation variationnelle) Soitf ∈ L2(Ω);onditqueu est solution variationnelle de(3 1)si u est solution du probl`eme de minimisation suivant : u ∈ H 1

Exercices Corrig es Analyse num erique et optimisation Une

Ce recueil rassemble tous les exercices propos es dans le cours de deuxi eme ann ee d’introduction a l’analyse num erique et l’optimisation de Gr egoire Allaire [1] Toute r ef erence a ce dernier se distinguera des r ef erences internes au recueil par ses ca-ract eres gras Par exemple, (1 1) fait r ef erence a la premi ere formule du cours

EXERCICES CORRIGÉS

5) Montrer que la formulation variationnelle associée au problème (P) admet une unique solution u 2V 6) Si f vérifie la condition de compatibilité, montrer que le problème (P) admet une unique solution u 2V Arij BOUZELMATE EXERCICES CORRIGÉS

Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram

Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax–Milgram Exercice 1 : condition limite de type Robin Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de classe C1, f ∈ C0(Ω) et g ∈ C0(∂Ω) deux fonctions donn´ees, et β un r´eel positif On consid`ere le probl`eme Trouver u ∈ C2(Ω) tel que −∆u = f dans Ω, βu+ ∂u ∂n

Corrig e de la S eance 3 : Theor eme de Lax-Milgram

Corrig e de la question 4 : On montre facilement que ce probl eme est equivalent a la formulation variationnelle suivante : Trouver u2H1 0 telle que Z rurvd = Z fvd 1; 8v2H 0 (): (6) Pour l’ equivalence entre les 2 probl emes, voir le TD2 On munit l’espace H 1 0 de la semi-norme H En tant qu’espace ferm e de H1() et

S eance no4 El ements nis en dimension 1 et 2 Corrig e

Corrig e 6 D ecem bre 2005 Exercice 1 Interpolation dans les espaces de Sobolev et estimations d’erreur en dimension 1 Dans ce qui suit, p(x) et q(x) d esignent deux fonctions continues par morceaux d e nies sur I = ]a;b[ et v eri ant : 0 < p p(x) p < +1 p p x 2 I; 0 < q q(x) q < +1 p p x 2 I;

Mecanique quantique Cours et exercices corriges

10 3 Formulation générale – Équation de Lippmann-Schwinger 189 10 4 Diffusion dans la situation bidimensionnelle 191 10 5 Diffusion dans la situation tridimensionnelle 198 Annexe 10 A : Fonctions de Green 201 Exercices 204 Problèmes 10 1 Résistance électrique d’un fil quantique unidimensionnel 206 10 2 Temps de Wigner et capacité

Équations aux Dérivées Partielles

Équations aux Dérivées Partielles M1 I Transformée de Fourier dans Rd I-1 Transformée de Fourier d’une fonction L1 I-1- 1 Définitions Dans tout le chapitre, on prend d 1, et on travaille avec (Rd;B(Rd); d)

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Exercices Corrig

es

Analyse num

erique et optimisation

Une introduction a la modelisation mathematique

et a la simulation numerique

G. Allaire, S. Gaubert, O. Pantz

Ecole Polytechnique

MAP 431

29 ao^ut 2012

Introductioni

Introduction

Ce recueil rassemble tous les exercices proposes dans le cours de deuxieme annee d'introduction a l'analyse numerique et l'optimisation de Gregoire Allaire [1]. Toute reference a ce dernier se distinguera des references internes au recueil par ses ca- racteres gras. Par exemple, (1.1) fait reference a la premiere formule du cours. Malgre notre vigilance, ce manuscrit comporte sans aucun doute (encore) de multiples er- reurs de tout ordre. De nombreux exercices meriteraient un traitement plus elegant autant d'un point de vue mathematique que stylistique. Nous invitons d'ailleurs tout lecteur a participer a son amelioration. Vous pouvez nous signaler toute erreur ou approximation en envoyant un mail a l'adresse olivier.pantz@polytechnique.org Nous serons egalement heureux de recevoir de nouvelles solutions aux exercices pro- poses ou toutes autres suggestions. Bon courage.

G. Allaire, S. Gaubert, O. Pantz

Paris, Juillet 2006

iiIntroduction

Chapitre 1

INTRODUCTION A LA

MODELISATION

MATHEMATIQUE ET A LA

SIMULATION NUMERIQUE

Exercice 1.2.1On suppose que la donnee initiale0est continue et uniformement bornee surR. Verier que (t;x) =1p4tZ +1 1

0(y)exp

(xV ty)24t dy(1.1) est bien une solution de @@t +V@@x @2@x

2= 0pour(x;t)2RR+(t= 0;x) =0(x)pourx2R(1.2)

Correction.Dans un premier temps, nous allons verier formellement que l'ex- pression de(t;x) (1.1) proposee est solution de l'equation de convection diusion (1.2). Dans un deuxieme temps, nous justierons les calculs eectues.

On poseG(x;t;y) = exp

(xV ty)24t . On a @G@x =xV ty2tG(x;t;y) 2G@x 2=

12t+(xV ty)242t2

G(x;t;y)

@G@t =(x+V ty)(xV ty)4t2G(x;t;y): Quitte a permuter les operateurs de derivation et d'integration, on en deduit que @@x Z 1 1

0(y)G(x;t;y)dy=Z

1 1

0(y)@G@x

dy(1.3) =Z 1 1

0(y)xV ty2tG(x;t;y)dy:

1

2CHAPITRE 1. MODELISATION ET SIMULATION

De maniere similaire,

2@x 2Z 1 1

0(y)G(x;t;y)dy=Z

1 1

0(y)12t(xV ty)242t2

G(x;t;y)dy

et @@t Z 1 1

0(y)G(x;t;y)dy=Z

1 1

0(y)(x+V ty)(xV ty)4t2G(x;t;y):

On obtient ainsi l'expression des derivees partielles de(t;x) pour toutt >0, a savoir @@x =1p4tZ 1 1

0(y)xV ty2tG(x;t;y)dy

2@x

2=1p4tZ

1 1

0(y)12t(xV ty)242t2

G(x;t;y)dy

@@t =1p4tZ 1 1

0(y)(x+V ty)(xV ty)4t212t

G(x;t;y)dy:

On verie alors aisement que

@@t +V@@x @2@x 2= 0: Il reste a prouver que(t;x) est prolongeable ent= 0 et verie bien la condition initiale, c'est-a-dire que lim t!01p4tZ 1 1

0(y)exp

(xV ty)24t dy=0(x):(1.4)

Rappelons que,

Z1 1 exp(x2)dx=p:(1.5)

Pour etablir cette relation, il sut de calculer

R1

1ex2dx

2=R R

2ejxj2dxen

coordonnees polaires. On pose (x;t;y) =1p4texp (xV ty)24t

D'apres (1.5),

R(x;t;y)dy= 1 pour toutxett. Enn, pour toutx2R, on constate que pour toutydierent dex, limt!0(x;t;y) = 0. Ainsi,xetant xe,(x;t;y) est une fonction deyse concentrant enxlorsquettend vers zero. Pour ^etre plus precis, on montre que pour toutet"reels strictement positifs, il existet(;") tel que pour toutt < t(;"),Z x+ x(x;t;y)dy1": 3 et Z x 1 (x;t;y)dy+Z 1 x+(x;t;y)dy": L'equation (1.4) decoule alors du fait que0est continue, uniformement bornee. Reste a prouver que les commutations des operateurs d'integration et de derivation eectuees lors du calcul des derivees partielles de(t;x) sont licites. Pour toutxde Ret toutt >0, il existe des constantesC1(x;t) etC2(x;t) telles que sizest su- samment proche dex,zV ty2t

C1(x;t)(1 +jyj)

et (zV ty)2jyj22 +C2(x;t): En postantC(x;t) =C1(x;t)exp(C2(x;t)=4t), il vient@G@x (z;t;y)C(x;t)(1 +jyj)exp jyj28t Comme0(y) est uniformement bornee, on en deduit que0(y)@G@x (z;t;y)C(x;t)(1 +jyj)exp jyj28t sup sj0(s)j pour toutzappartenant a un voisinage dex. Le terme de droite est integrable par rapport ay. Ainsi, d'apres le theoreme de derivation sous le signe somme, on en deduit que l'echange des operateurs d'integration et de derivation dans (1.3) est licite. On peut proceder de maniere similaire pour justier les deux autres commu- tations eectuees. Exercice 1.2.2On suppose que la donnee initiale0est derivable et uniformement bornee surR. Verier que (t;x) =0(xV t) (1.6) est bien une solution de@@t +V@@x = 0pour(x;t)2RR+(t= 0;x) =0(x)pourx2R:(1.7) Montrer que (1.6) est la limite de (1.1) lorsque le parametretend vers zero.

Correction.@@t

(x;t) =V@0@xquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3