Calcul du rayon du cercle inscrit à un triangle rectangle
Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle 1 Calculer l’aire du triangle rectangle ABC 2 Calculer les aires des triangles CIB , AIC et BIA 3 En déduire que ar + br + cr = ab , puis que a b c ab r 4 Applications numériques : ( unité : le cm ) a)Calculer le rayon du cercle inscrit du triangle
Quadrilatères possédant un cercle inscrit : Calcul du rayon
Quadrilatères possédant un cercle inscrit : Calcul du rayon de ce cercle Dans ce devoir, on utilisera sans démonstration le théorème suivant : Un quadrilatère convexe possède un cercle inscrit si et seulement si la somme des longueurs de ses côtés opposés est la même pour les deux couples de côtés opposés
Polygones r guliers - Archim de simplifi et tableur
méthode ( dite d’Archimède ) consiste à calculer le périmètre de polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle en augmentant le nombre de côtés Circonférence d’un cercle de rayon 0,5 : 2×π ×0,5 = π A partir de ce cercle, Archimède l’a encadré entre un
Triangle rectangle et cercle circonscrit Théorème de
Réciproque du théorème 2 (Théorème du cercle de Thalès) Si le triangle ABC est inscrit dans un cercle et si le côté [BC] est un diamètre de cecercle alors le triangle ABC est rectangle en A Démonstration Soit O BC mil[ ], par hypothèse O est aussi le centre du cercle circonscrit du triangle ABC On note B ˆ et C ˆ
Exercice 2 - abdoucmcffileswordpresscom
le cercle inscrit dans le triangle On rappelle que le centre du cercle inscrit d’un triangle est le point d’intersection des bissectrices On appelle r le rayon de ce cercle 1 Démontrer que : r b c a 1 2 2 PQR est un triangle rectangle en P Soit H le pied de la hauteur de issue de P On appelle C 1 C, PQH 2 et C 3
Le produit scalaire
Triangle et cercle inscrit Comme l’indique la figure ci-contre, ABC est un triangle, le cercle C de centre O et de rayon 4 est le cercle inscrit tangent en I à (AB) On a IA = 8 et IB = 6 1) a) Calculer : sin bA 2 et cos bA 2 b) Déduire que : sinbA = 4 5 et cosbA = 3 5 2) De même, calculer sinbB et cos bB 8 6 4 A I B O C J K
Exercices de géométrie - Angles et cercles (AC)
utilise la relation qu’il y a entre l’angle au centre et l’angle inscrit dans un cercle Tu as ainsi besoin du compas et de la règle uniquement b) Dans chaque figure ci-dessous, dessine un angle β qui est la moitié de l’angle α Pour faire cela, utilise la relation qu’il y a entre l’angle au centre et l’angle inscrit dans un
NOM : DROITES REMARQUABLES 4ème
2) Construire le cercle inscrit dans le triangle ABC Nommer U le centre de ce cercle 3) Calculer la mesure de l’angle \BAU et celle de l’angle \ABU Justifier chaque étape du calcul A B C U D LE FUR 13/ 50
[PDF] reduction volume pyramide
[PDF] coefficient d'agrandissement volume
[PDF] calcul du périmètre de la terre par eratosthène
[PDF] calculer le perimetre de la terre
[PDF] schéma fonctionnement d'un agrosystème
[PDF] comparaison du fonctionnement d'un écosystème et d'un agrosystème
[PDF] revenu primaire calcul
[PDF] exemples de revenus salariaux
[PDF] etude de cas les revenus primaires du ménage martin
[PDF] taux de variation maths es
[PDF] exercices taux d'accroissement premiere es
[PDF] taux d'évolution global 1ere es
[PDF] montrer que vn est une suite géométrique
[PDF] travail d'une force exercices corrigés pdf
Exercice 1 :
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.1. Calculer l·MLUH GX PULMQJOH UHŃPMQJOH $%FB
2. Calculer les aires des triangles CIB , AIC et
BIA .
3. En déduire que ar + br + cr = ab , puis que
c b a ab r4. Applications numériques : ( unité : le cm )
a)Calculer le rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5. b)Calculer le rayon du cercle inscrit au triangleEFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13.
Exercice 2:
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT.
2. Déterminer BR et AS.
THEME :
Calcul du rayon du cercle
inscrit dSun triangle rectangle3. En constatant que BA = BT + TA, en déduire que :
) c - b a ( 21 r ou 2
c - b a rFRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 1 :
1. Aire du triangle ABC :
IH PULMQJOH $%F pPMQP UHŃPMQJOH HQ F O·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j : 2 ab 2 b a 2AC BCu u
2. Calcul des aires des triangles CIB , AIC et
BIA :Aire du triangle CIB :
2 r a 2IR BCu
Aire du triangle AIC :
2 r b 2IS ACu
Aire du triangle BIA :
2 r c 2IT ABu
3. Calcul de r en fonction de a , b et c :
I·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j OM VRPPH GHs aires des trois triangles CIB , AIC et BIA .BIAAICCIBABC AAAA
donc : 2 r c 2 r b 2 r a 2 ab 2 r c r b r a 2 abPuis en simplifiant par 2,
ab = a r + b r + cr ab = r ( a + b + c ) c b a ab = r r = c b a ab4. Applications numériques :
Cas 1 : Rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5.I·O\SRPpQXVH GH ŃH PULMQJOH UHŃPMQJOH HVP D GRQŃ Ń 13B 0MLQPHQMQP OH ŃORL[ GH M HP N HVP V\PpPULTXHB
Nous pouvons poser a = 3 et b = 4 ou a = 4 et b = 3. Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 11212
5 4 3
4 3 u Cas 2 : Rayon du cercle inscrit du triangle EFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13. FMOŃXORQV PRXP G·MNRUG OM ORQJXHXU GX PURLVLqPH Ń{Pp BDans le triangle EFG rectangle en E
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :
FG² = EF² + EG²
13² = 5² + EG²
169 = 25 + EG²
169 ² 25 = EG²
EG² = 144
EG = 144= 12 Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 2 6
2 6 6 5
12 5 30
12 513 12 5
12 5u u
u u uRemarque :
GMQV GH QRPNUHXVHV IRUPXOHV PMPOpPMPLTXHV ŃRQŃHUQMQP OH PULMQJOH RQ XPLOLVH XQH GRQQpH V·MSSHOMQP OH
demi-périmètre. IH SpULPqPUH G·XQ PULMQJOH TXHOŃRQTXH GRQP OHV Ń{PpV PHVXUHQP M N HP Ń HVP pJMO j : a + b + c Le demi-périmètre p est alors égal à p = 2 c b aGMQV OH ŃMV G·XQ PULMQJOH UHŃPMQJOH QRXV YHQRQV GH GpPRQPUHU TXH OH UM\RQ GX ŃHUŃOH LQVŃULP HVP j JMO j :
c b a ab r Nous avons également MYHŃ 6 O·MLUH GX PULMQJOH HP S le demi périmètre ) r = p S 2 c b a 2 b a r = p SFRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 2 :
1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT :
Soit C un cercle et soit M un point extérieur à ce cercle. Si (MA) et (MB) sont les tangentes issues de M à ce cercle enA et B, alors MA = MB
( Cf. Thème : Tangente à un cercle ) Sans utiliser ce résultat, nous pouvons faire une démonstration rapide en utilisant le théorème dePythagore.
Dans le triangle BRI rectangle en R ,
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJore, nous avons :
BI² = BR² + RI²
BI² - RI² = BR²
BR² = BI² - r² (1)
Dans le triangle BTI rectangle en R ,
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :
BI² = BT² + TI²
BI² - TI² = BT²
BT² = BI² - r² (2)
Des deux égalités (1) et (2), nous en déduisons :BR² = BT²
Et comme BR et BT sont des nombres positifs ( longueurs de cotés de triangle ), nous avons :BR = BT
Une démonstration identique permet de démontrer que AS = AT et même que CR = CS ( égalité déjà
connue car CR = CS = r ).2. Calcul de BR et AS :
Le quadrilatère CSIR est un carré ( 3 angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur )
Donc RC = r.
R est un point du segment [BC], donc BC = BR + RC
Donc a = BR + r
Et par suite BR = a - r
S est un point du segment [AC], donc AC = AS + SC
Donc b = AS + r
Et par suite AS = b - r
3. Calcul du rayon du cercle inscrit au triangle :
Nous avons :
BA = BT + TA
Or BR = BT et AS = AT
Donc BA = BT + TA
Donc : c = ( a ² r ) + ( b ² r )
c = a ² r + b - r c = a + b ² 2r2r = a + b ² c
Et par suite
) c - b a ( 21 r ou 2
c - b a r9pULILŃMPLRQ SRXU OHV GHX[ ŃMV QXPpULTXHV pPXGLpV GMQV O·H[HUŃLŃH 1
Cas 1 :
r = 1 2 2 25 - 4 3
Cas 2 :
r = 2 2 4 213 - 12 5
Remarque :
Le rayon du cercle circonscrit à un triangle rectanglH HVP pJMO j OM PRLPLp GH OM ORQJXHXU GH O·O\SRPpQXVHB
quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16