I Eléments de cours à connaître
Exercice 1 : Projections et produit scalaire On considère une base orthonormée du plan (ux,uy) Soient un vecteur u de norme u faisant un angle avec le vecteur u x et un vecteur v de norme v et faisant un angle avec le vecteur u y Donner les projections des deux vecteurs précédents dans la base ( ) Déterminer le produit scalaire u v
Projection de vecteurs sur un système daxes
Projection de vecteurs sur un système d'axes 4 Exercice résolu : Schuss 4 1 Énoncé Un skieur, dont la valeur du poids est P=600N , descend une piste enneigée rectiligne faisant un angle =20,0° avec l'horizontale Le skieur, assimilable à un solide, descend la piste à vitesse constante On néglige les frottements de la
Projections vectorielles 2D, exercices avec réponses au moyen
c) En déduire l'expression de ⃗v dans la base (⃗a,⃗b) Calculateur pour l'exercice 5 Réponse de l'exercice 5 Exercice 6 D'un triangle ABC, on donne les coordonnées des trois sommets: A(-5, -3), B(7, 1), C(3, 4) a) Calculer les trois angles du triangle b) Calculer le vecteur AH⃗ qui est la projection orthogonale du vecteur AC⃗ sur la
9 Projections et moindres carr es - GERAD
Projection sur une droite (1/2) Soit L le sous-espace vectoriel de Rm correspondant a la droite engendr ee par le vecteur non nul a 2Rm I La projection orthogonale du vecteur b 2Rm sur L est le vecteur p 2L le plus proche de b I La projection de b sur L est p = ^xa = ax^ ou ^x = a>b a>a I On peut le voir aussi comme p = (u>b)u avec I u = a kak
Exercices sur les vecteurs - Serveur de mathématiques - LMRL
Soit G et G' les centres de gravité de deux triangles ABC et DEF respectivement (1) Montrer que : AD ++BE CF =3'GG JJJGJJJGJJJGJJJG (2) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles aient le même centre de gravité Exercice 26 Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC
Exercices corrigés - AlloSchool
Exercice 7 : produit scalaire de vecteurs colinéaires Exercices 8 et 9 : produit scalaire de vecteurs quelconques à l’aide d’une projection orthogonale Exercices 10, 11, 12 et 14 : produit scalaire en fonction des normes de vecteurs et d’un angle orienté
FORCES ET VECTEURS - Cégep de Chicoutimi
vecteur de la figure 2 2 serait définit par: AB = 30 N à 30,4° On utilise généralement une seule lettre ou une lettre avec indice afin de représenter un vecteur, par exemple on écrirait Lorsque l'on veut donner seulement la grandeur du vecteur on écrit seulement la lettre sans flèche, cette grandeur
Feuille d’exercices n 3 - Département de Mathématiques d
4) Soit f la rotation de R3 d’axe dirig´e par le vecteur (1,1,1) et d’angle π 4 D´eterminer la matrice M de f dans la base canonique Notons u = √1 3 (1,1,1) Compl´etons u pour obtenir une base orthonormale directe (u,u0,u00)
Projectionorthogonale
2 Projection orthogonale sur un sous-espace Exercice SoitF= on écrit la quantité à minimiser sous la forme kx−uk2 en identifiant xun vecteur de E
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Fiche méthodeProjection de vecteurs sur un système d'axes 1S 1 Choisir les axes
1.1 Les axes sont déjà définis
Dans le cas, vous n'avez rien à faire... Il est temps de projeter les vecteurs (voir partie 2).1.2 Vous devez définir les axes
Choisir les axes est un moment délicat car un mauvais choix complique inutilement (et dangereusement) les calculs. Si
vous avez deux forces dont les directions sont perpendiculaires, le mieux est de choisir les axes suivants ces directions.
2 Projection des vecteurs
2.1 Un peu de mathématiques (Rappels)
Projeter les vecteurs sur les axes revient à trouver les coordonnées des vecteurs. Vous savez (normalement) déjà le
faire.2.2 Exemple
On voit en évidence deux triangles rectangles dont les trois cotés sont Vx, Vy et la norme du vecteur. On peut donc
appliquer les relations de trigonométrie : sin , cos et tan.Pour l'exemple de gauche :
cos=VxV⇒Vx=Vcos;
sin=Vy V⇒Vy=VsinPour l'exemple de droite : cos=-Vx V⇒Vx=-Vcos; sin=VyV⇒Vy=Vsin.
le signe négatif dans l'expression de Vx est là pour indiquer le sens de la projection (+ dans le sens de l'axe, - dans
le sens contraire de l'axe).3 Utilisation On traduit ensuite la loi vectorielle par son équivalent en coordonnées.
✔Exemple sur le principe d'inertie : Si les forces se compensent, alors Fext=0. Pour trois forces nommées F1,F2 et F3 que l'on projette sur deux axes x et y : F1F2F3=0=F1x
F1yF2x
F2yF3x
F3y=0
0Donc sur x :
F1xF2xF3x=0 et sur y : F1yF2yF3y=0✔Exemple sur la somme des forces : par définition
f=Fext. Pour trois forces nommées F1, F2 et F3 que l'on projette sur deux axes x et y :F1yF2x
F2yF3x
F3y=fx
fyDonc sur x : fx=F1xF2xF3x et sur y : fy=F1yF2yF3yAnnée 2008/2009 - 1/2MauvaisBonForces Axes xy Vx Vy xy Vx VyProjection de vecteurs sur un système d'axes
4 Exercice résolu : Schuss !
4.1 Énoncé
Un skieur, dont la valeur du poids est P=600N, descend une piste enneigée rectiligne faisant un angle =20,0°
avec l'horizontale. Le skieur, assimilable à un solide, descend la piste à vitesse constante. On néglige les frottements de la
neige sur les skis et la poussée d'Archimède exercée par l'air devant les autres forces. Les frottements de l'air peuvent être
modélisés par une force parallèle à la pente, opposée au mouvement et dont la valeur augmente avec la vitesse.
1.Dresser l'inventaire des forces qui s'exercent sur le skieur.
2.En appliquant le principe d'inertie dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer les valeurs de
toutes les forces qui s'exercent sur le skieur.4.2 Corrigé
1.Le skieur est soumis à trois forces:
✔son poids P, vertical dirigé vers le bas et de valeur P=600N; ✔la réactionR de la piste : les frottements sur la neige étant négligeables devant les autres forces,
RT=0 et R est perpendiculaire à la piste dirigée vers le haut (R=RN);
✔la force de frottements de l'air f, parallèle à la piste et opposée au mouvement.2.Le centre d'inertie du skieur décrit un mouvement rectiligne uniforme. D'après le principe d'inertie, dans le
référentiel terrestre supposé galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées est nulle :