I Eléments de cours à connaître
Exercice 1 : Projections et produit scalaire On considère une base orthonormée du plan (ux,uy) Soient un vecteur u de norme u faisant un angle avec le vecteur u x et un vecteur v de norme v et faisant un angle avec le vecteur u y Donner les projections des deux vecteurs précédents dans la base ( ) Déterminer le produit scalaire u v
Projection de vecteurs sur un système daxes
Projection de vecteurs sur un système d'axes 4 Exercice résolu : Schuss 4 1 Énoncé Un skieur, dont la valeur du poids est P=600N , descend une piste enneigée rectiligne faisant un angle =20,0° avec l'horizontale Le skieur, assimilable à un solide, descend la piste à vitesse constante On néglige les frottements de la
Projections vectorielles 2D, exercices avec réponses au moyen
c) En déduire l'expression de ⃗v dans la base (⃗a,⃗b) Calculateur pour l'exercice 5 Réponse de l'exercice 5 Exercice 6 D'un triangle ABC, on donne les coordonnées des trois sommets: A(-5, -3), B(7, 1), C(3, 4) a) Calculer les trois angles du triangle b) Calculer le vecteur AH⃗ qui est la projection orthogonale du vecteur AC⃗ sur la
9 Projections et moindres carr es - GERAD
Projection sur une droite (1/2) Soit L le sous-espace vectoriel de Rm correspondant a la droite engendr ee par le vecteur non nul a 2Rm I La projection orthogonale du vecteur b 2Rm sur L est le vecteur p 2L le plus proche de b I La projection de b sur L est p = ^xa = ax^ ou ^x = a>b a>a I On peut le voir aussi comme p = (u>b)u avec I u = a kak
Exercices sur les vecteurs - Serveur de mathématiques - LMRL
Soit G et G' les centres de gravité de deux triangles ABC et DEF respectivement (1) Montrer que : AD ++BE CF =3'GG JJJGJJJGJJJGJJJG (2) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles aient le même centre de gravité Exercice 26 Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC
Exercices corrigés - AlloSchool
Exercice 7 : produit scalaire de vecteurs colinéaires Exercices 8 et 9 : produit scalaire de vecteurs quelconques à l’aide d’une projection orthogonale Exercices 10, 11, 12 et 14 : produit scalaire en fonction des normes de vecteurs et d’un angle orienté
FORCES ET VECTEURS - Cégep de Chicoutimi
vecteur de la figure 2 2 serait définit par: AB = 30 N à 30,4° On utilise généralement une seule lettre ou une lettre avec indice afin de représenter un vecteur, par exemple on écrirait Lorsque l'on veut donner seulement la grandeur du vecteur on écrit seulement la lettre sans flèche, cette grandeur
Feuille d’exercices n 3 - Département de Mathématiques d
4) Soit f la rotation de R3 d’axe dirig´e par le vecteur (1,1,1) et d’angle π 4 D´eterminer la matrice M de f dans la base canonique Notons u = √1 3 (1,1,1) Compl´etons u pour obtenir une base orthonormale directe (u,u0,u00)
Projectionorthogonale
2 Projection orthogonale sur un sous-espace Exercice SoitF= on écrit la quantité à minimiser sous la forme kx−uk2 en identifiant xun vecteur de E
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Exercices sur les vecteurs
Exercice 1
ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O. (1) Compléter par un vecteur égal : a) ...AB= b) ...BC= c) ...DO= d) ...OA= e) ...CD= (2) Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier : a) OB OC= b) [][]ABDC= c) OA OC= d) OAOC= e) AB DC= f) milOA= C g) milmilBDAC= h) AA BB=Exercice 2
En utilisant le quadrillage, dire pour
chaque égalité si elle est vraie ou fausse : (1) ABEF= (2) CDAB= (3) DADB= (4) EDBD (5) AEBF= (6) EFDC=Exercice 3
Soit ABC un triangle quelconque.
(1) Construire : le pointN tel que ; ANBC=
le point P tel que PA ; BC= le point M tel que . BMAC= (2) Montrer que []milANP=[]milBPM=N=, et CM. []mil (3) Quel est le rapport des aires des triangles ABC et MNP ? Justifier !Exercice 4
Sur la figure ci-contre, formée de
parallélogrammes juxtaposés, déterminer : (1) un représentant de DB (2) trois représentants de AE (3) un représentant de FG d'origine B (4) un représentant de CF d'extrémité E (5) un représentant de 0 (6) un représentant de AFExercice 5
(1) Reproduire le parallélogramme ABCD ci-dessus dans votre cahier puis construire les points E, F, G, H et I définis par : CEAC= ; BF ; DG ; AC= AC= AHBC= ; IA. AC= (2) Quelle est la nature des quadrilatères BCEF et DGEC. (3) Que représente le point A pour le segment [] ? ICExercice 6
Calculer les sommes vectorielles indiquées en
utilisant la figure ci-contre : (1) AEAO+ (2) AEDF+ (3) BDBAAO (4) OCFC (5) DOBCAE++ (6) ABAD+Exercice résolu 7
Déterminer la somme des vecteurs sur chacune des figures suivantes et expliquer votre démarche. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)Exercice 8
(1) Sur les figures (1) à (8) de l'exercice 7, construire uv (2) Sur les figures (9) et (10) de l'exercice 7, construire uvw (3) Sur les figures (11) et (12) de l'exercice 7, construire ua, et wa. Quelle est la relation entre v et w ? b= vbc= c= ,uExercice résolu 9
Sur la figure ci-dessus, formée de parallélogrammes juxtaposés, déterminer un représentant de (1) ADCF+ (2) GCAC+ (3) HEBC+ (4) DEDH (5) GJBF+ (6) DIJI+ (7) FGAI (8) IFFJ (9) AIAEFJ++ (10) AFHDBD++ (11) JEFGID+ (12) GJDABI+ (13) FDIACGFH++ (14) EDAHCFFH++Déterminer le point O sur la figure tel que :
1 2AOCFFGIA=+
Déterminer le point P sur la figure tel que :
1 2EPADGCAB=++
Exercice 10
Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à l'aide d'une figure. (1) ()aa= (2) ()vuuv= (3) ()uvwuv+=w (4) ()aeraer=+ (5) 2()22abab= (6) 2uvuuv++=+ (7) ()326uu= (8) () 5133
2zz= 0
Exercice résolu 11
Sur la figure ci-dessus, construire le point
(1) I tel que 2EIAB= (2) J tel que GJ AB= (3) K tel que 5 2 CKAB= (4) L tel que 1 2 LCCD= (5) M tel que 3 2 MAEF= (6) N tel que 2 3 NHDC= (7) P tel que EP 2EFCD=+ (8) Q tel que2ABCD=
HQExercice 12
Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points M, N, P, Q définis par : 12 23AMABAD=+
3123
BNBDAC=
3142