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Produit scalaire Géométrie repérée

1 3 COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS Propriété 2 : Bilinéarité La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l’addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels • k(~u+~v)=k~u+k~v • (k+k′)~u =k~u+k′~u 1 3 Colinéarité de deux vecteurs Définition 2 : Onditquedeuxvecteurs~u et~v sontcolinéaires,sietseulement

R epérage et vecteurs - Mathadoc

VI Application de la colinéarité 1- Parallélisme de deux droites Soient ( A , B ) et (C , D ) deux couples de points distincts Pour prouver que les droites (AB ) et (CD ) sont parallèles , il suffit de démontrer que les vecteurs AB→et CD →sont colinéaires, c'est -à-dire qu'il existe un nombre k tel que : → AB = k →

Vecteurs, droites et plans dans l’espace

Définition 3 : Combinaison linéaire de deux vecteurs On appelle combinaison linéaire de deux vecteurs~u et~v, le vecteur ~w tel que : ~w =a~u+b~v avec a,b ∈R Les vecteurs~u,~v et ~w sont alors coplanaires ~u ~v a~u b~v ~w 2 2 Colinéarité Définition 4 : Deux vecteurs~u et~v sont colinéaires si, et seulement si, il existe

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Vecteurs, droites et plans de l’espace Les savoir-faire 40 Représenter et utiliser une décomposition linéaire de vecteurs donnés pour résoudre un problème 41 Étudier les positions relatives de droites et de plans 42 Utiliser les coordonnées pour résoudre des problèmes (alignement, colinéarité, coplanarité, ) I Vecteurs

Cours sur le produit scalaire - Maths Exercices

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux PREUVE Étant donné la colinéarité de tous les vecteurs directeurs d’une même droite, il suffit de démontrer la propriété en choisissant un vecteur directeur par droite Soient (d1)et (d2)deux droites, dirigées respectivements par

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La somme de deux complexes est l’affixe de la somme de deux vecteurs zÐ→u+Ð→u′= zÐ→u +zÐ→u′ → u ′ →u →u + →u ′ O Multiplication d’un vecteur par un réel Colinéarité de deux vecteurs →u λ →u z λz Si λ est un nombre réel, zλÐ→u = λzÐ→u Milieux Barycentres • Soient A et B deux points et I le

Vecteurs, droites et plans de l’espace

GÉOMÉTRIE4 Vecteurs, droites et plans de l’espace Les savoir-faire du chapitre 40 Représenter et utiliser une combinaison linéaire de vecteurs

Vecteurs du plan - Académie de Strasbourg - académie de

Activité : Vecteurs du plan Niveau : Première et terminale bac pro Durée: 2 h Objectifs Objectif général Utiliser les vecteurs en géométrie Connaissances Représentation géométrique et caractéristiques d’un vecteur Egalité de deux vecteurs Somme de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Vecteurs colinéaires

DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE par Benoît Kloeckner

2) deux vec-teurs quelconques de R3 On appelle prduito vectoriel de ~u avec ~v le vecteur ~u^~v:= y 1 y 2 z 1 z 2 ; z 1 z 2 x 1 x 2 ; x 1 x 2 y 1 y 2 Pour calculer le produit vectoriel, le plus pratique est d'écrire ~uet ~v en colonne, et de recopier les deux premières coordonnées de chacun des vecteurs en-dessous Dans la gure 9 on a

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DERNIÈRE IMPRESSION LE11 juillet 2021 à 12:18

Vecteurs, droites et plans dans l"espace

Table des matières

1 Rappels de géométrie euclidienne2

1.1 Perspective cavalière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Parallélisme de deux plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Section d"un cube ou d"un tétraèdre par un plan. . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Section d"un cube par un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2 Section d"un tétraèdre par un plan. . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Géométrie vectorielle5

2.1 Définition d"un vecteur dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Colinéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Coplanarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Relations entre droites et plans7

3.1 Relations entre deux droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Relations entre une droite et un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Relation entre deux plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Parallélisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Repérage dans l"espace8

4.1 Base et repère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Coordonnées d"un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Représentation paramétrique10

5.1 Représentation paramétrique d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3 Représentation paramétrique d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

1 RAPPELS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

1 Rappels de géométrie euclidienne

1.1 Perspective cavalière

Définition 1 :Laperspective cavalièreest une manière de représenter en deux dimensions des objets en volume. Cette représentation ne présente pas de point de fuite : la taille des objetsne diminue pas lorsqu"ils s"éloignent.

Dans cette perspective, deux des axes sont or-

thogonaux (vue de face en vraie grandeur) et le troisième axe est incliné d"un angleαcom- pris entre 30° et 60° par rapport à l"horizon- tale, appelé "angle de fuite". Les mesures sur cet axe sont multipliées par un facteur de ré- ductionkcompris entre 0,5 à 0,7. ?Cette perspective ne donne qu"une indica- tion sur la profondeur de l"objet.A BC DE F G H fuyante ←(×k)α représentation du cube ABCDEFGH ?La perspective cavalièrene conserve pas: •la mesure : deux segments de même longueur peuvent être représentés par deux segments de longueurs différentes (AB?=AD); •les angles en particulier deux droites perpendiculaires peuvent être représen- tées par deux droites non perpendiculaires ((AB)??(AD)) •Ainsi un carré peut être représenté par un parallélogramme (AEHD)! ?Deux droites peuvent se couper sur la perspective sans être sécantes!

Les droites (HC) et (AG) ne sont pas sécantes.

?Par contre, cette perspectiveconserve: •le parallélisme : 2 droites parallèles sont représentées par 2droites parallèles; •le milieu ou tout autre division d"un segment.

1.2 Le plan

Définition 2 :Trois points non alignés définissent un plan (P). Si (P) est défini par A, B, C alors (P) est noté (ABC). Deux droites sécantes ou strictement parallèles définissent également un plan (P). Exemple :Dans le cube ABCDEFGH le plan (P) est défini par :

•les points A, E, C : (P) = (AEC)

•les droites (EC) et (AG).

•les droites (AE) et (CG)

A BC DE FG H (P)

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

1.3 PARALLÉLISME DE DEUX PLANS

1.3 Parallélisme de deux plans

Théorème 1 :Un plan (P) coupe deux plans parallèles (P1) et (P2) en deux droite parallèles. (P1)//(P2) (P)∩(P1) =d1 (P)∩(P2) =d2????? ?d1//d2 d2 d 1 (P1) (P2) (P)

1.4 Section d"un cube ou d"un tétraèdre par un plan

Principe pour déterminer la section du cube ou d"un tétraèdre par un plan (P) •L"intersection, lorsqu"elle existe, d"une face par le plan (P) est un segment.

•Deux points M et N du plan (P) peuvent être reliés uniquement si M et Nappartiennentaupland"unemêmeface.Lesegment[MN]donnel"intersection

de (P) avec de cette face. •La section du cube par le plan (P) est un polygone.

1.4.1 Section d"un cube par un plan

Déterminer la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) tel que : -→EI=2

3--→EH ,-→AJ=23-→AB et-→FK=14-→FG

•On trace le cube et on place les point I, J et K. •On trace [IK] qui est l"intersection du plan (IJK)avec la face du haut EFGH. •On ne peut pas relier J à I ou K car ces segmentsne sont pas sur une face du cube.

•On cherche l"intersection de (IJK) avec la faceavantABFE.Pourcela,ondéterminel"intersectionde la droite (IK) avec la droite (EF) qui contientl"arête [EF] appartenant aux faces EFGH et ABFE.

A BC DE FG H ?I J? ?K L M On note L leur point d"intersection. L?(IK) donc L?(IJK). •Comme L?(EF), donc L appartient au plan (EFB) contenant la face ABFE. On trace alors la droite (JL) dans le plan (EFB) qui coupe [FB] en M.

M?(JL) donc M?(IJK).

•Ainsi [JM] et [KM] constituent les intersections du plan (IJK) avec les faces avant ABFE et de droite BCGF. On trace ces segments. On réitère cette opération pour laface gaucheADHE et laface dudessous ABCD :

PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ

1 RAPPELS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

•On détermine l"intersection de la droite (MJ) avec la droite (AE) qui contient l"arête [AE] appartenant aux faces ADHE et ABFE. On note N leur point d"in- tersection. N?(MJ) donc N?(IJK).

•Comme N?(AE), alors N appartient au plan

(EAD) contenant la face ADHE. On trace alors la droite (NI) dans le plan (EAD) qui coupe [AD] en O. Comme O?(NI), O?(IJK). •[OI] et [OJ] constituent les intersections du plan (IJK) avec les faces de gauche ADHE et de dessous ABCD. On trace ces segments en pointillé car ces segments sont sur des faces cachées. •La section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK)est le pentagone IKMJO.

Remarque :Les faces EFGH et ABCD sont paral-

lèles. Le plan (IJK) coupe ces faces en des segments parallèles. De même pour les faces BCGF et ADHE.A BC DE FG H ?I J? ?K L M N O

On a donc : (IK)//(OJ) et (KM)//(IO).

1.4.2 Section d"un tétraèdre par un plan

Déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (EFG) tel que :

E centre de gravité du triangle ABD ,

-→BF=1

2-→BC et--→CG=15--→CA

•On trace un tétraèdre et l"on place le point Ecomme intersection des médianes du triangleABD et les points F et G.

•On trace [GF] qui est l"intersection du plan (EFG)avec la face ABC. •On ne peut pas relier E à F ou G car ces segmentsne sont pas sur une face du tétraèdre.

•On cherche l"intersection de (EFG) avec la faceABD. Pour cela, on détermine l"intersection dela droite (GF) avec la droite (AB) qui contientl"arête [AB] appartenant aux faces ABC et ABD.On note H leur point d"intersection.H?(GF) donc H?(EFG).

A B C DE FG? H IJ •Comme H?(AB), donc H appartient au plan (ABD) contenant la face ABD. On trace alors la droite (HE) qui coupe [BD] en I et [AD] en J. Comme I?(HE) et J?(HE) alors I?(EFG) et J?(EFG). •Ainsi [IJ], [FI] et [JG] constituent les intersections du plan (EFG) avec les faces ABD, BCD et ADC. On trace le segment [IJ] et les segment [FI] et [JG] en poin- tillé car sur des faces cachées. •La section du tétraèdre ABCD par le plan (EFG) est le quadrilatère GFIJ.

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2 Géométrie vectorielle2.1 Définition d"un vecteur dans l"espaceOn étend la notion de vecteur dans le plan à l"espace.Un vecteur?uou son représentant-→AB est défini par :

•une direction : la droite (AB);

•un sens : de A vers B;

•une norme, notée||?u||: distance AB

AB CD u

Théorème 2 :Égalité de deux vecteurs.

-→AB=--→CD?ABDC parallélogramme

On définit les deux opérations suivantes :

•L"additionpar la relation de Chasles :-→AB+-→BC=--→AC La somme de vecteurs de même origine se construit par un parallélogramme. L"addition de deux vecteurs est commutative et associative. Le vecteur nul-→0 est un vecteur de norme nulle.

L"opposé d"un vecteur

?uou-→AB est le vecteur noté-?uou--→AB=-→BA . •Leproduit par un scalaire: soit un réelλet le vecteur?v=λ?u va la même direction que le vecteur?u va le même sens que?usiλ>0 et un sens contraire siλ<0 ?v||=|λ| × ||?u|| •Bilinéarité:a(?u+?v) =a?u+b?vet(a+b)?u=a?u+b?uaveca,b?R. Exemple :Soit un tétraèdre ABCD. On considère les points I, J, K, L définis par : -→AI=2

3-→AB ,-→BJ=13-→BC ,--→CK=23--→CD ,-→DL=13--→DA

Faire une figure puis montrer que IJKL est un parallélogramme

D"après les relations vectorielles :

-→IJ=-→IB+-→BJ=1

3-→AB+13-→BC=13(-→AB+-→BC) =13--→AC

On a de même :

-→LK=-→LD+--→DK=1 1

3--→AC

Donc :

-→IJ=-→LK et donc IJKL est un parallélogramme. A B CDI J KL

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2 GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

Définition 3 :Combinaison linéaire de deux vecteurs. On appelle combinaison linéaire de deux vecteurs ?uet?v, le vecteur ?wtel que : w=a?u+b?vaveca,b?R

Les vecteurs

?u,?vet?wsont alors coplanaires ?u? v a?ub ?v w

2.2 Colinéarité

Définition 4 :Deux vecteurs?uet?vsont colinéaires si, et seulement si, il existe un réelktel que?v=k?uou si l"un d"eux est nul. ?On ne dit pas que des vecteurs sont parallèles mais colinéaires. Remarque :Le vecteur nul-→0 est colinéaire à tout vecteur. Théorème 3 :De la colinéarité, on déduit que : •les points A, B et C sont alignés? ?k?R,--→AC=k-→AB •les droites (AB) et (CD) sont parallèles? ?k?R,--→CD=k-→AB Remarque :La colinéarité est donc l"outil permettant de montrer l"alignement et le parallélisme.

2.3 Droite

Définition 5 :Une droite est définie par un point et un vecteur directeur.

La droite passant par A et de vecteur directeur

?uest l"ensemble des points M tels que--→AM et?usoient colinéaires. La droite (AB) est l"ensemble des points M tels que :--→AM=k-→AB ,k?R

2.4 Coplanarité

Définition 6 :Trois vecteurs?u,?vet?wsont coplanaires si et seulement si, on peut exprimer le vecteur ?wcomme combinaison linéaires de?uet?v u,?v,?wcoplanaires? ?(a,b)?R2?w=a?u+b?v Remarque :Ainsi les points A, B, C et D sont coplanaires si, et seulement si:

PAUL MILAN6TERMINALE MATHS SPÉ

2.5 PLAN

2.5 Plan

Théorème 4 :Plan et base

Un plan est défini par un point et un couple de vecteurs non colinéaires. Le plan (P) passant par A et de vecteurs directeurs(?u,?v)est l"ensemble des points M tels que--→AM soit une combinaison linéaire de?uet?v. On dit que le couple(?u,?v)forme une base du plan (P). Le plan (ABC) est l"ensemble des points M tels que : (x;y)sont les coordonnées du point M dans le re- père(A,-→AB ,--→AC)du plan (ABC) A BC M x y

3 Relations entre droites et plans

3.1 Relations entre deux droites

Propriété 1 :Deux droites, dans l"espace, peuvent être : •sécantes, si ces deux droites se coupent en un point, par exemple (AF) et (BE); •parallèles, si ces deux droites sontcoplanaireset n"ont aucun point commun ou si ces deux droites sont confondues, par exemple (AB) et (HG);

•non coplanairespar exemple (AB) et (DG).A BC

DE F G H

3.2 Relations entre une droite et un plan

Propriété 2 :Une droite et un plan peuvent être : •parallèles: si la droite et le plan n"ont aucun point commun ou si la droite est contenue dans le plan, par exemple (EF) et (P); mun, par exemple (HI) et (P). A BC DE F G H I (P)

PAUL MILAN7TERMINALE MATHS SPÉ

4 REPÉRAGE DANS L"ESPACE

3.3 Relation entre deux plans

Propriété 3 :Deux plans peuvent être :

•parallèles: si les deux plans n"ont aucun point commun ou si les deux plans sont confondus, par exemple (P

1) et (P2)

par exemple (P

1) et (P3) d"intersection (BC).

A BC DE F G H (P1) (P2) (P3)

3.4 Parallélisme

Théorème 5 :Parallélisme de droites et de plans •Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. •Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l"un sont parallèles à deux droites sécantes de l"autre.

4 Repérage dans l"espace

4.1 Base et repère

Définition 7 :Trois vecteurs?u,?vet?wnon coplanairesforment une base de l"espace. On note alors cette base(?u,?v,?w). Un point A et une base(?u,?v,?w)forme un repère de l"espace, noté(A,?u,?v,?w) Remarque :Un repère dans l"espace est parfois appelé trièdre car formé par trois faces d"un cube ou d"un tétraèdre. A B CDE F GH

Repère(A,-→AB ,--→AD ,-→AE)A

BCD

Repère(A,-→AB ,--→AC ,--→AD)

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4.2 COORDONNÉES D"UN POINT

4.2 Coordonnées d"un point

Théorème 6 :Soit la base(?ı,??,?k)et un repère(O,?ı,??,?k)de l"espace.

•Tout point M de l"espace est alors défini, de façon unique, par :--→OM=x?ı+y??+z?k(x;y;z)?R3

•Les trois réels (x;y;z) sont appelés coordonnées du point M dans(O,?ı,??,?k). Ces coordonnées sont appelés abscisse, ordonnée et cote. •La base(?ı,??,?k)et le repère(O,?ı,??,?k)sont orthonormés si, et seulement si, ?ı||=||??||=||?k||=1 et?ı,??,?kmutuellement orthogonaux

En généralisant les relations du plan :

•-→AB= (xB-xA;yB-yA;zB-zA)

•Si I est le milieu de [AB] :I=?xB+xA

2;yB+yA2;zB+zA2?

•-→u= (a;b;c)

alors dans un repèreorthonormé: ||-→u||=⎷ a2+b2+c2 xyz M O Exemple :Soit les points A(2 ; 0 ; 1), B(1 ;-2 ; 1), C(5 ; 5 ; 0), D(-3 ;-5 ; 6). Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que A, B, C et D sont coplanaires

•A, B, C non alignés, si, et seulement si-→AB et--→AC non colinéaires.-→AB= (-1 ;-2 ; 0)et--→AC= (3 ; 5 ;-1)

Les coordonnées de

-→AB et--→AC ne sont pas proportionnelles, par exemple en observant la 3

ecoordonnée des deux vecteurs :-1 n"est pas un multiple de 0.-→AB et--→AC ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

•A, B, C, D coplanaires si, et seulement si,--→AD combinaison linéaire de-→AB et--→AC . Il faut donc détermineraetbtelles que :--→AD=a-→AB+b--→AC . On a--→AD= (-5 ;-5 ; 5). En identifiant, on obtient le système suivant : a (-1 -2 0)) +b(( 3 5 -1)) =((-5 -55)) ??????-a+3b=-5 -2a+5b=-5 -b=5??????b=-5 -a-15=-5 -2a-25=-5 D"oùa=-10 etb=-5. Les points A, B, C et D sont coplanaires. Remarque :Pour détermineraetb, il faut résoudre un système à trois équa- tions à deux inconnues. Une équation peut alors être incompatible avec les deux autres. Dans ce cas les coefficientsaetbn"existent pas.

PAUL MILAN9TERMINALE MATHS SPÉ

5 REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE

Exemple :Soit les points A(6; 8; 2); B(4; 9; 1); C(5; 7; 3) dans un repère ortho- normé. Montrer que le triangle ABC est rectangle. Par la réciproque du théorème de Pythagore. On calcule les longueurs suivantes -→AB= (-2 ; 1 ;-1)?AB2=4+1+1=6 --→AC= (-1 ;-1 ; 1)?AC2=1+1+1=3 -→BC= (1 ;-2 ; 2)?BC2=1+4+4=9

Donc AB

2+AC2=6+3=9=BC2, d"après la réciproque du théorème de

Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

5 Représentation paramétrique

5.1 Représentation paramétrique d"une droite

Théorème 7 :Soit une droiteddéfinie par un point A(xA;yA;zA)et un vecteur directeur ?u(a;b;c). La droitedadmet alors un système d"équations paramétriques, appeléreprésen- tation paramétrique, de la forme : d:?????x=xA+at y=yA+bt z=zA+ct,t?R Démonstration :SoitunpointM(x;y;z)ded,alors--→AM et?usontcolinéaires: --→AM=t?uavect?R

On obtient le système suivant :?????x-xA=at

y-yA=bt z-zA=ct??????x=xA+at y=yA+bt z=zA+ct

Remarque :

•Pour une demi-droite,t?]-∞;α]out?[α;+∞[et un segmentt?[α;β]. un autre point sur la droite et un autre vecteur directeur colinéaire au premier.

5.2 Applications

Donner une représentation paramétrique de la droiteddéfinie par :

A(2 ; 1 ;-1)et?u(0 ; 1 ;-1)

La droiteda pour représentation paramétrique :?????x=2 y=1+t z=-1-t,t?R

PAUL MILAN10TERMINALE MATHS SPÉ

5.2 APPLICATIONS

A et B ont pour coordonnées respectives : A(-2 ; 1 ; 0)et B(2 ; 3 ;1) Donner une représentation paramétrique de chacun des ensembles suivants : •La droite(AB)•Le segment[AB]•La demi-droite[BA) Un vecteur directeur de la droite(AB)est :-→AB= (4 ; 2 ; 1). •La droite (AB) a pour représentation paramétrique : (AB)?????x=-2+4t y=1+2t z=t,t?R •Pour déterminer l"intervalle du paramètretpour le segment [AB], le point A est défini avect=0 et le point B avect=1. On a donc : [AB]?????x=-2+4t y=1+2t z=t,t?[0 ; 1] •Pour la demi droite [BA). Le paramètretdoit être inférieur à 1 pour contenir

A. On a donc :

[BA)?????x=-2+4t y=1+2t z=t,t?]-∞; 1] Les systèmes suivants sont-ils associés à une même droite??????x=2t-1 y=t z=1-3t,t?R?????x=3-6s y=-3s+2 z=9s-5,s?R Soitd1etd2les droites associées à ces systèmes. On ad1=d2si leurs vecteurs directeurs ?u1et?u2sont colinéaires et sid1etd2ont un point commun.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9