Calculs sur les matrices - Exo7
Exo7 Calculs sur les matrices Corrections d’Arnaud Bodin 1 Opérations sur les matrices Exercice 1 Effectuer le produit des matrices : 2 1 3 2 1 1
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7 Matrices Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 **T Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique (i; j;k) de
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f Montrer que f est nilpotent Correction H [005659] Exercice 10 ****
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 4 Soit A la matrice suivante A= 3 0 −1 2 4 2 −1 0 3 1 Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A 2 Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A=PDP−1 3 Donner en le justifiant, mais sans calcul, le polynôme minimal de A 4 Calculer An
Exo7 - Exercices de mathématiques
Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2004-2005 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3×3 suivante : M = 0 2 −1 3 −2 0 −2 2 1 1 Déterminer les valeurs propres de M 2 Montrer que M est diagonalisable 3 Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage 4
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 2 A l’aide de la matrice mise en évidence en déduire u n et v n Faire un calcul direct à l’aide de u n +v n
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Exo7 Préalables, rappels Exercice 1 Exercice 2 Décrire la boule de centre l’origine et de rayon 1 dans les espaces suivants : une matrice de M n;n(R ou C
DIAGONALISATION - physique-mathscom
Exercice 1 1 Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c’est le cas, les diagonaliser puis calculer leur puissance 100-ième (i) M 1 = 4 1 9 2 (ii) M 2 = 6 8 4 6 (iii) M 3 = 2 1 2 0 Corrigé de l’exercice 1 1 (i)Première étape : valeurs propres Le polynôme caractéristique de M 1 est det(M
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Enoncés et corrections : Sandra DelaunayExo7
Sujets de l"année 2004-2005
1 Devoir à la maison
Exercice 1
SoitMla matrice réelle 3×3 suivante :
M=( (0 2-1 3-2 0 -2 2 1)1. Déterminer les valeurs propres deM.
2. Montrer queMest diagonalisable.
3. Déterminer une base de vecteurs propres etPla matrice de passage.
4. On aD=P-1MP, pourk?NexprimerMken fonction deDk, puis calculerMk.
Correction?[002563]
Exercice 2
SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), on appelleprojecteurun endomorphismepdeE vérifiantp◦p=p. Soitpun projecteur.1. Montrer que Id
E-pest un projecteur, calculerp◦(IdE-p)et(IdE-p)◦p.2. Montrer que pour tout?x?Imp, on ap(?x) =?x.
3. En déduire que Impet kerpsont supplémentaires.
4. Montrer que le rang depest égal à la trace dep. (On rappelle que la trace de la matrice d"un endomor-
phisme ne dépend pas de la base dans laquelle on exprime cette matrice.)Correction?[002564]
Exercice 3
SoitA=(aij)1?i,j?nune matrice carréen×n. On veut démontrer le résultat suivant dû à Hadamard : Supposons
que pour touti? {1,···,n}, on ait |aii|>n∑ j=1,j?=i|aij| alorsAest inversible.1. Montrer le résultat pourn=2.
2. SoitB, la matrice obtenue en remplaçant, pourj?2, chaque colonnecjdeApar la colonne
c j-a1j a11c1,Calculer lesbijen fonction desaij. Montrer que si les coefficients deAsatisfont les inégalités ci-dessus,
alors pouri?2, on a |bii|>n∑ j=2,j?=i|bij|. 13. Démontrer le résultat de Hadamard pournquelconque.
Correction?[002565]
2 Partiel
Exercice 4
Soit A=( (1 0 00 1 01-1 2)
Démontrer queAest diagonalisable et trouver une matricePtelle queP-1APsoit diagonale.Correction?[002566]
Exercice 5
Soit A=( (1 1-1 0 1 01 0 1)
Factoriser le polynôme caractéristique deA. La matriceAest-elle diagonalisable dansR? dansC?Correction?[002567]
Exercice 6
SoitA=?a c
c d? ?M2(R)Démontrer queAest diagonalisable dansR.
Correction?[002568]
Exercice 7
SoitAla matrice suivante
A=( (0 1 11 0 11 1 0)CalculerA2et vérifier queA2=A+2I3. En déduire queAest inversible et donner son inverse en fonction de
A.Correction?[002569]
Exercice 8
SoitAune matrice carrée d"ordren. On suppose queAest inversible et queλ?Rest une valeur propre deA.
1. Démontrer que
λ?=0.
2. Démontrer que si?xest un vecteur propre deApour la valeur propre
λalors il est vecteur propre deA-1
de valeur propreλ-1.
Correction?[002570]
Exercice 9
Soitfun endomorphisme deEvérifiantf2=mathrmIdE.1. Démontrer que les seules valeurs propres possibles defsont 1 et-1.
22. Vérifier que pour tout?x?E, on a
f(?x-f(?x)) =-(?x-f(?x))etf(?x+f(?x)) = (?x+f(?x)) et en déduire quefadmet toujours une valeur propre.3. Démontrer que si 1 et-1 sont valeurs propres, alorsEest somme directe des sous-espaces propres
correspondants.4. Traduire géométriquement sur un dessin dans le casn=2.
Correction?[002571]
3 Examen
Exercice 10
(9 points) SoitAla matrice deM3(R)suivante : A=( (1 0 1 -1 2 11-1 1)
1. Démontrer que les valeurs propres deAsont 1 et 2.
2. Déterminer les sous-espaces propres deA. La matriceAest-elle diagonalisable?
3. Déterminer les sous-espaces caractéristiques deA.
4. Déterminer une base deR3dans laquelle la matrice de l"endomorphisme associé àAest
B=( (2 0 00 1 10 0 1)En déduire la décomposition de Dunford deB.
5. Résoudre le système différentiel
?x ?=x+z y ?=-x+2y+z z ?=x-y+z [002572]Exercice 11
(7 points) On considère la suite(un)n?Ndéfinie paru0=0,u1=1 et par la relation de récurrence
u n+1=12(un+un-1).
1. Déterminer une matriceA?M2(R)telle que pour toutn?1 on ait
?un+1 u n? =An?u1 u 0?Justifier.
2. Déterminer le polynôme caractéristiquePA(X)deAet calculer ses racines
λ1etλ2.
3. SoitRn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X). Calculeranetbn(on pourra
utiliser les racinesλ1etλ2).
34. Montrer queAn=anA+bnI2, en déduire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+∞vers une
limiteA∞que l"on déterminera. Calculer limn→+∞un. [002573]Exercice 12
(5 points) SoitAune matrice carrée,A?Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d"une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB-1) =trA. Démontrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants :1.Adiagonalisable.
2.Atriangulaire supérieure ayant une diagonale de zéros.
3.Atrigonalisable.
4.Aquelconque.
[002574]4 Rattrapage
Exercice 13
(7 points) On considère la suite(un)n?Ndéfinie paru0=0,u1=1 et par la relation de récurrence
u n+1=12(un+un-1).
1. Déterminer une matriceA?M2(R)telle que pour toutn?1 on ait
?un+1 u n? =An?u1 u 0?Justifier.
2. Déterminer le polynôme caractéristiquePA(X)deAet calculer ses racines
λ1etλ2.
3. SoitRn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X). Calculeranetbn(on pourra
utiliser les racinesλ1etλ2).
4. Montrer queAn=anA+bnI2, en déduire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+∞vers une
limiteA∞que l"on déterminera. Calculer limn→+∞un. [002573]Exercice 14
(5 points) SoitAune matrice carrée,A?Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d"une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB-1) =trA. Démontrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants :1.Adiagonalisable.
2.Atriangulaire supérieure ayant une diagonale de zéros.
3.Atrigonalisable.
4.Aquelconque.
[002574]Exercice 15
(4 points) On suppose qu"une populationxde lapins et une populationyde loups sont gouvernées par le système
suivant d"équations différentielles : (S)?x?=4x-2y y ?=x+y 4