[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

Calculs sur les matrices - Exo7

Exo7 Calculs sur les matrices Corrections d’Arnaud Bodin 1 Opérations sur les matrices Exercice 1 Effectuer le produit des matrices : 2 1 3 2 1 1

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exo7 Matrices Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 **T Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique (i; j;k) de

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f Montrer que f est nilpotent Correction H [005659] Exercice 10 ****

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 4 Soit A la matrice suivante A= 3 0 −1 2 4 2 −1 0 3 1 Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A 2 Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A=PDP−1 3 Donner en le justifiant, mais sans calcul, le polynôme minimal de A 4 Calculer An

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exo7 - Exercices de mathématiques

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2004-2005 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3×3 suivante : M = 0 2 −1 3 −2 0 −2 2 1 1 Déterminer les valeurs propres de M 2 Montrer que M est diagonalisable 3 Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage 4

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 2 A l’aide de la matrice mise en évidence en déduire u n et v n Faire un calcul direct à l’aide de u n +v n

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exo7 Préalables, rappels Exercice 1 Exercice 2 Décrire la boule de centre l’origine et de rayon 1 dans les espaces suivants : une matrice de M n;n(R ou C

DIAGONALISATION - physique-mathscom

Exercice 1 1 Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c’est le cas, les diagonaliser puis calculer leur puissance 100-ième (i) M 1 = 4 1 9 2 (ii) M 2 = 6 8 4 6 (iii) M 3 = 2 1 2 0 Corrigé de l’exercice 1 1 (i)Première étape : valeurs propres Le polynôme caractéristique de M 1 est det(M

[PDF] calcul matriciel multiplication

[PDF] habitude alimentaire definition

[PDF] guide de bonnes pratiques d'hygiène en pâtisserie

[PDF] propriété d archimède exercices

[PDF] partie entière inégalité

[PDF] espace numérique éducation

[PDF] portail numérique éducation

[PDF] partie entière d'un nombre négatif

[PDF] manuel numérique nathan

[PDF] partie entière d'un nombre décimal

[PDF] pne

[PDF] hachette enseignant

[PDF] fonction partie entière cours pdf

[PDF] correction livre passerelle philosophie

[PDF] passerelle philosophie terminale pdf

Exo7

Matrices

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur???? * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1**TSoitul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique(i;j;k)deR3est : M=0 @2 1 0 31 1
1 011 A 1.

Déterminer u(2i3j+5k).

2.

Déterminer K eruet Imu.

3.

Calculer M2etM3.

4.

Déterminer K eru2et Imu2.

5. Calculer (IM)(I+M+M2)et en déduire queIMest inversible. Préciser(IM)1. H???Exercice 2**Pourxréel, on pose :

A(x) =chxshx

shxchx Déterminer(A(x))npourxréel etnentier relatif.

H???Exercice 3***TSoitul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique(i;j;k)deR3est :

M=0 @0 1 0 0 0 1 13 31 A 1. Montrer que uest un automorphisme deR3et détermineru1. 2. Déterminer une base (e1;e2;e3)deR3telle queu(e1) =e1,u(e2) =e1+e2etu(e3) =e2+e3. 3. Déterminer Pla matrice de passage de(i;j;k)à(e1;e2;e3)ainsi queP1. 4. En déduire un(i),un(j)etun(k)pournentier relatif. 1 H???Exercice 4**Soitf:Rn[X]!Rn+1[X]

P7!Q=eX2(PeX2)0.

1.

Vérifier que f2(L(Rn[X];Rn+1[X]).

2. Déterminer la matrice de frelativement aux bases canoniques deRn[X]etRn+1[X]. 3.

Déterminer K erfet rgf.

H???Exercice 5***ISoitfun endomorphisme deR3, nilpotent d"indice 2. Montrer qu"il existe une base deR3dans laquelle la

matrice defs"écrit0 @0 0 0 1 0 0

0 0 01

A H???Exercice 6**SoitA=0 B

BBBB@0 0:::0 1

0 1 0

0 1 0 0

1 0::: :::01

C

CCCCA2Mp(R). CalculerAnpournentier relatif.

H???Exercice 7**Montrer quef1p1x21x x1 ;x2]1;1[gest un groupe pour la multiplication des matrices.

H???Exercice 8***1.Montrer qu"une matrice triangulaire supérieure est in versiblesi et seulement si ses coef ficientsdiagonaux

sont tous non nuls. 2.

Montrer que toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matirce triangulaire inférieure.

H???Exercice 9***SoientI=1 0 0 1 etJ=1 1 0 1 puisE=fM(x;y) =xI+yJ;(x;y)2R2g. 1. Montrer que (E;+;:)est un sous-espace vectoriel deM2(R). Déterminer une base deEet sa dimension. 2.

Montrer que (E;+;)est un anneau commutatif.

3.

Quels sont les in versiblesde E?

2

4.Résoudre dans Eles équations suivantes :

a)X2=I b)X2=0c)X2=X: 5.

Calculer (M(x;y))npournentier naturel non nul.

H???Exercice 10****SoitA2M3;2(R)etB2M2;3(R)telles que : AB=0 @011 1 01

1 1 21

A

Montrerl"existenced"aumoinsuncouple(A;B)vérifiantlesconditionsdel"énoncépuiscalculerBA. (Indication.

Calculer(AB)2et utiliser le rang.)

H???Exercice 11***SoitA= (ai;j)16i;j6n(n>2)définie par

8i2 f1;:::;ng;ai;j=8

:isii=j

1 sii>j

0 sii Montrer queAest inversible et calculer son inverse.

H???Exercice 12***IDéterminer le centre deMn(K), c"est à dire l"ensemble des éléments deMn(K)qui commutent avec tous les

éléments deMn(K)(utiliser les matrices élémentaires). H???Exercice 13***TDéterminer le rang des matrices suivantes : 1)0 @1 1=2 1=3

1=2 1=3 1=4

1=3 1=4m1

A 2)0 @1 1 1 b+c c+a a+b bc ca ab1 A 3)0 B

B@1a1b

a1b1 1b1a b1a11 C

CA4) (i+j+ij)16i;j6n

5) (sin(i+j))16i;j6n6)0

B

BBBBBB@a b0:::0

0a.........

............0 0 ......b b0:::0a1 C

CCCCCCA:

H???Exercice 14****Montrer que tout hyperplan deMn(K) (n>2)contient au moins une matrice inversible.

H??? 3

Exercice 15***Soitfqui, àP2R2n[X]associef(P) =X(X+1)P02kXP. Trouverktel quef2L(R2n[X])puis, pour cette

valeur dek, trouver tous les polynômesPnon nuls tels que la famille(P;f(P))soit liée.???Exercice 16***I Théorème de HADAMARDSoitA2Mn(C)telle que :8i2 f1;:::;ng;jai;ij>åj6=ijai;jj. Montrer queAest inversible.

H???Exercice 17***ICalculs par blocs. 1.

Soit M=A B

C D etN=A0B0 C 0D0 (Mq;r(K))2et(D;D0)2(Mq;s(K))2. CalculerM+Nen fonction deA,B,C,D,A0,B0,C0etD0. 2. Question analogue pour MNen analysant précisément les formats de chaque matrice.

H???Exercice 18***I Matrice de VANDERMONDEdes racinesn-ièmes de l"unitéSoitw=e2ip=n,(n>2). SoitA= (w(j1)(k1))16j;k6n. Montrer queAest inversible et calculerA1(calculer

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3