Calculs sur les matrices - Exo7
Exo7 Calculs sur les matrices Corrections d’Arnaud Bodin 1 Opérations sur les matrices Exercice 1 Effectuer le produit des matrices : 2 1 3 2 1 1
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7 Matrices Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 **T Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique (i; j;k) de
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Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f Montrer que f est nilpotent Correction H [005659] Exercice 10 ****
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Exercice 4 Soit A la matrice suivante A= 3 0 −1 2 4 2 −1 0 3 1 Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A 2 Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A=PDP−1 3 Donner en le justifiant, mais sans calcul, le polynôme minimal de A 4 Calculer An
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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2004-2005 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3×3 suivante : M = 0 2 −1 3 −2 0 −2 2 1 1 Déterminer les valeurs propres de M 2 Montrer que M est diagonalisable 3 Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage 4
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Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 2 A l’aide de la matrice mise en évidence en déduire u n et v n Faire un calcul direct à l’aide de u n +v n
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7 Préalables, rappels Exercice 1 Exercice 2 Décrire la boule de centre l’origine et de rayon 1 dans les espaces suivants : une matrice de M n;n(R ou C
DIAGONALISATION - physique-mathscom
Exercice 1 1 Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c’est le cas, les diagonaliser puis calculer leur puissance 100-ième (i) M 1 = 4 1 9 2 (ii) M 2 = 6 8 4 6 (iii) M 3 = 2 1 2 0 Corrigé de l’exercice 1 1 (i)Première étape : valeurs propres Le polynôme caractéristique de M 1 est det(M
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Exo7 Réduction
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur???? * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**SoitA=0
@1 2 2 2 1 22 2 11
A . Pournentier relatif donné, calculerAnpar trois méthodes différentes. H???Exercice 2**Résoudre dansM3(R)l"équationX2=AoùA=0 @3 0 0 8 4 05 0 11
A H???Exercice 3**SoitA=0 @3 1 0 41 04 821 A 1.
Vérifier que An"est pas diagonalisable.
2.Déterminer K er(AI)2.
3. Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme0 @a0 0 0b c 0 0b1 A 4.Calculer Anpournentier naturel donné.
H???Exercice 4***Soitfqui àPélément deR2n[X]associef(P) = (X21)P02nXP.Vérifier quefest un endomorphisme deR2n[X]puis déterminer les valeurs et vecteurs propres def.fest-il
diagonalisable ?H???Exercice 5***SoitE=R3[X]. PourPélément deE, soitf(P)le reste de la division euclidienne deAPparBoùA=X41
etB=X4X.Vérifier quefest un endomorphisme deEpuis déterminer Kerf, Imfet les valeurs et vecteurs propres def.
H???1Exercice 6***SoitAune matrice rectangulaire de format(p;q)etBune matrice de format(q;p). Comparer les polynômes
caractéristiques deABetBA.H???Exercice 7*** ISoientuetvdeux endomorphismes d"un espace vectoriel de dimension finie. On suppose queuetvcommutent
et quevest nilpotent. Montrer que det(u+v) =detu. H???Exercice 8****SoitAune matrice carrée de formatn. Montrer queAest nilpotente si et seulement si8k2[[1;n]], Tr(Ak) =0.H???Exercice 9*** ISoientfetgdeux endomorphismes d"un espace vectoriel de dimension finie vérifiantfggf=f. Montrer
quefest nilpotent. H???Exercice 10****SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soientuetvdeux endomorphismes deEtels que9(a;b)2C2=uvvu=au+bv. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun.H???Exercice 11***SoitE=SL2(Z) =fmatrices carrées de format 2 à coefficients dansZet de déterminant 1g.
1.Montrer que (E;)est un groupe
2. Soit Aun élément deEtel que9p2N=Ap=I2. Montrer queA12=I2.H???Exercice 12****Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
H???Exercice 13****SoientAun élément deMn(C) etMl"élément deM2n(C)défini par blocs parM=A4A
A ACalculer detM. Déterminer les éléments propres deMpuis montrer queMest diagonalisable si et seulement si
Aest diagonalisable.
H???Exercice 14***Soientaetbdeux réels tels quejaj 6=jbj. SoitA=0 BBBB@0b:::b
a .........b a:::a01 C CCCA. 2Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres deAsont cocycliques. (Indication : pour
calculercA, considérerf(x) =X+x b+x:::b+x
a+x......... .........b+x a+x:::a+xX+xH???Exercice 15***I Matrices stochastiquesSoitA= (ai;j)16i;j6n2Mn(R)telle que8(i;j)2[[1;n]]2;ai;j2[0;1]et8i2[[1;n]],ånj=1ai;j=1.
1.Montrer que 1 est v aleurpropre de A.
2.Soit lune valeur propre deA.
(a)Montrer que jlj61.
(b) Montrer qu"il e xisteun réel wde[0;1]tel quejlwj61w. Conséquence géométrique ?H???Exercice 16**SoitAune matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme caractéristique.
H???Exercice 17**SoitA=0 B