Exercices sur les anneaux et corps

Exercices sur les anneaux et corps 1 Inversible dans un anneau 2 Idempotents et produit d’anneaux 3 Endomorphisme du corps R 4 Corps gauche des quaternions 5 El´ement nilpotent´ 6 Anneau ﬁni 7 Anneau ordonn´e 8 Le th´eor`eme chinois dans un anneau commutatif 9 Les entiers de Gauss 10 Un sous-anneau de R 11 Anneau des s´eries

Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1

Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé 1 Groupes, anneaux, corps Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative, non associative, et que est élément neutre 2 On munit de la loi de composition interne définie par : √

Daniel ALIBERT Relations dordre Entiers Anneaux et corps

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 1 Daniel ALIBERT Relations d'ordre Entiers Anneaux et corps Nombres réels Objectifs : -Majorer, minorer, chercher le plus grand élément d'un ensemble ordonné, la borne supérieure, faire une récurrence - Calculer dans un anneau, un corps

Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps

•Les lois ∪, ∩et ∆ sur P(F) sont associatives et commutatives Elles admettent pour neutres respectifs ∅, F, et ∅ •⊕et ⊗sont associatives et commutatives sur R2 •Vue comme LCI sur N∗, + n’admet pas d’´el´ement neutre Exercice 1 Montrer que les lois ⊕et ⊕sur R2 (cf exemples 1) admettent chacune un neutre

Examen partiel - Corrigé

L3MathESR–Algèbre5 2novembre2016 Examen partiel - Corrigé I - Exemples (5 points) 1 Donner un exemple de polynôme P ∈R[X] de degré 2 tel que l’anneau quotient R[X]/(P) nesoitpasisomorpheàC (justiﬁerrapidement,deuxphrasesdevraientsuf-

Anneaux et idéaux - Cours et exercices de mathématiques

Anneaux et idéaux Exercice 1 Donner la déﬁnition d’un corps Les opérations binaires + et , sont-elles équivalentes dans la déﬁnition? Correction H [002249] Exercice 2 Trouver toutes les solutions des équations : 1 ax+b=c (a;b;c2K, K est un corps); 2 2x 3 mod 10 et 2x 6 mod 10 dans l’anneau Z 10 =Z=10Z Correction H [002250

Correction - u-bordeauxfr

outT anneau considéré ci-dessous est commutatif et unitaire Si aet bsont des éléments d'un anneau A, on note ha;bil'idéal engendré par aet b 1 Question de cours : anneaux euclidiens, principaux, factoriels (a) Rappeler les dé nitions d'un anneau euclidien, d'un idéal principal et d'un anneau principal

ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012–2013

EXTENSIONS DE CORPS 1 Anneaux Nous reviendrons au chapitre III plus longuement sur la théorie des anneaux Nous nous contentons ici des quelques préliminaires nécessaires pour aborder la théorie des extensions de corps Tous nos anneaux sont commutatifs unitaires (mais il se peut que 1 = 0; cela arrive si et seulement si l’anneau est nul)

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2006-2007

Exercicessurlesanneaux etcorps

1.Inv ersibledansunanneau2.Idemp otentsetproduitd'anneaux3.Endomorphis meducorpsR4.Corpsgauc hedesquate rnions5.´

El´ementnilpotent6.Anneaufini 7.Anneauordonn ´e8.Leth ´eor` emechinoisdansunanneaucommutatif9.Lesen tiersdeGaus s10.Unsous-anne audeR11.Anneaudes s´e riesform elles12.Unanneau nonfactoriel

Agr´egationInternedeMath´ematiques,Universit ´edeLaRochel le,Exercic essurlesanneauxetcorps13.Application duth´eor` eme chinoisdansZ[X]14.Coe fficientsdeB´ezout15.Pgcd etalgorithmed'Euclide16.Polynˆ omesirr´eductibles`acoe fficientsdansZ/2Z17.Extensionde corps18.Pgcd etextensionde corpsF.Geoffriau

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Exercicessurlesanneaux etcorps

Enonc´es

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1.-Inversibledansun anneau

SoitAunanneaunon n´e cessairem entcommutatifetsoita,b?Atelsque1 -absoit inversible.Montrerqu'alors1-baest´egalement inversible.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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2.-Idempotentsetpr oduitd' anneaux

SoitAunanneaucom mutatif.On appelle´el´ementidempotenttout´el ´ementx?A v´erifiantx 2 =x. a.SiAestleproduitde deuxanneaux BetC,mon trerqu'ilexistedes´el ´emen ts idempotentsdeAdistinctsde0etde 1. b.Supposons qu'ilexisteun´el´ ement b?Aidempotentdistinctde0etde1.Onp ose c=1-b,B=bAetC=cA. b.?.Montrer quecestidempoten tetquebc=0. b.?.Montrer queBetCsontstablespourl'addition etla multiplicationdeA.En d´eduirequeBetCsontdesanneauxnon nuls. b.?.Montrer quel'application

A-→B×C

x?-→(bx,cx) estunisomorphisme d'anneaux (quipermetd'identifierAavecB×C). b.?.Lesanneaux BetCsont-ilsdessous -anneauxdeA?

IndicationSolutionF.Geoffriau

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3.-EndomorphismeducorpsR

Onveut montrerqueleseul endomorphismeducorpsRestl'identit´e. Soitf:R→R unmorphis medecorps(oud'anneaux). a.Montrer quepourtoutx?Q,ona f(x)=x. b.Montrer quepourtoutx?R ,ona f(x)?R c.Montrer quefestcroissante. d.Conclure.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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4.-Corpsgauche desquaternions

Soita,b?C,onp ose

M(a,b)=

a- b b a? ?M 2 (C) et

H={M(a,b);a,b?C}

a.Soita,b,c,d?C.Montre rquelasommeetle produitdes matrices M(a,b)et M(c,d) appartiennent`aH. b.Montrer queHestuncorpsgauc he,il estappel´e lecorpsdequat ernions. c.D´ eterminerunmorphismeinjectifdeCdansH(quiperme td'identifierC`aunsous- corpsdeH). d.Onp oseE=M(1,0),I=M(0,1),J=M(i,0)etK=M(0,i).Montre rqueHest unsous -R-espacevectorielde M 2 (C)et quelafamille( E,I,J,K)est unebasedeH. e.Montrer que I 2 =J 2 =K 2 =-EIJ =-JI=KJK =-KJ=IKI =-IK=J f.Quele stlece ntredeH?

IndicationSolutionF.Geoffriau

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El´ementnilpotent

SoitAunanneau.On ditqu'un ´el ´emen ta?Aestun´el´ementnilpotents'ilexiste k?N telquea k =0et danscecas l'indicedenilpot encedeaestl'entierptelque a p =0et a p-1 ?=0.L' ´el ´ementnulestleseul´el´ementd'indicedenilpote nce´egal` a1. a. Etudierles´el ´ementsnilpoten tsd'unanneauint`egre. b.D´ eterminerles´el´ementsnilp otentsdel'anneauZ/8Z;comparer leurensemble` acelui desdiviseursde 0.

Fairedemˆe mepour l'anneauZ/12Z.

c.Siaetbsontdeux´el ´ementsnilpote ntsdeAquicomm utententreeux,montrerque a+betabsontaussinilpoten ts.Que peut-ondiredesindicescorrespondantssiaetb sontrespectiv ementd'indicespetq? d.Montrer que,six?Aesttelque1-xsoitnilpote nt,alorsxestinvers ibleet1-x -1 estnilpotent.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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6.-Anneaufini

SoitAunanneau int`egre decardinalfini.MontrerqueAestuncorps.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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7.-Anneauordonn´e

Soit(A,+,×?)unanneaucommutat ifordonn´e,i.e.un anneau( A,+,×)muni d'unerelationd'ordre ?v´erifiant ?.?x,y,z?A,x?y=?x+z?y+z; ?.?x,y,z?A,x?yetz?0=?xz?yz. a.Soitx,y?Atelsquex?y.Montre rque-y?-x. b.Soitx,y,z?Atelsquex?yetz?0.Montre rquexz?yz. c.Supposons quel'ordresurAesttotal.Montrerque pourtout a?A,ona a 2 ?0. End´ eduirequeCn'estpasunanneautotaleme ntordonn ´eque lquesoitl'ordre que l'oncons id`ere. d.Montrer quel'anneauAestdecaract ´eristiquen ulle.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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8.-Leth´eor`emechinois dansunannea ucommutatif

SoitIetJdeuxid´ eauxd'unanneaucommutatifAtelsqueI+J=A. a.

EtablirqueI∩J=IJ.

b.Onconsid `erel'applic ation?:A-→A/I×A/Jqui`a x?Aassocielecoupledeses classesmoduloIetJ.Montrer que?estunmorphismed'anneauxe td´ eterminerson noyau. c.Montrer quelesanneauxA/IJetA/I×A/Jsontisomorphes.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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9.-Lesentiers deGauss

Onpose

Z[i]={a+ib;a,b?Z}

a.Prouve rqueZ[i]est unsous-anneaudeC. b.Onnote Ul'ensembledes´el ´ementsin versiblesdeZ[i]etp ourtoutξ?C,onp ose

N(ξ)=ξ

ξ=|ξ|2

Soitx?Z[i].Montre rquex?Usiets eulemen tsiN(x)=1. End´ eduireque

U={1,-1,i,-i}.

c.Soita,b?Z[i],b?=0.Prouv erqu'il existeq,r?Z[i]tels quea=bq+ret

N(r) d.SoitIunid´ ealdeZ[i].Montrer qu'ilexistex?Z[i]telque I=xZ[i].
IndicationSolutionF.Geoffriau
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10.-Unsous-a nneaudeR

Soitm?N
etα= m2 +1.On pose
Z[α]={x+αy?R;x,y?Z}
etω=m+α.Pour a=x+αy?Z[α]av ecx,y?Z,onp oseN(a)=x 2 2 y 2 a.Montre rqueZ[α]est unsous-anneaudeRetquep ourtousa,b?Z[α],ona
N(ab)=N(a)N(b)
b.Soita?Z[α].Montrer queaestinversibledans Z[α]si etseulement siN(a)?{-1,1}. c.Soita=x+αy?Z[α](av ecx,y?Z)un´ el´ ementinversiblestrictementsup´erieur`a 1. c.?.Montrer queyestnonnulet que|x|?m. c.?.Prouver quex,y?N etquea?ω. d.Montrer quel'ensemble des´ el´ementsinversiblesdeZ[α]est n ;ε?{-1,1}etn?Z
IndicationSolutionF.Geoffriau
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11.-Anneaudess´eriesfor melles
Soitkuncorps etk[[X]]l'anneau dess´eries formelles`aco efficientsdansk; k[[X]]= n?N a n X n ;?n?Na n ?k a.Montre rquek[[X]]est unanneauint `egre. Caract´eriserles inversiblesdek[[X]]. b.Montrer quetoutid´ealnon nulde k[[X]]est delaformeX p k[[X]]av ecp?N. c.End ´eduireque k[[X]]est principaletd´ eterminerses´ el´emen tsirr´eductibles. d.Montrer quek[[X]]est euclidien.
IndicationSolutionF.Geoffriau
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12.-Unannea unonfactoriel

SoitZ[

13]leplus petitsous- anneaudeRcontenantZet⎷
13. a.Montrer quetout´el´ ement decet anneaupeuts'´ecriredemani`ereuniquesousla forme a+b
13av eca,b?Z.
b.
Aun´ el´eme ntα=a+b

13(a,b?Z),onass ocie l'´el´ementconjugu´ eα=a-b⎷
13.
Montrerquepourα,β?Z[

13],ona α+β=α+βetαβ=αβ
c.Enconsid ´eran tl'applicationN:Z[
13]→Z;α?→αα,caract´ eriserlegroupeUdes
inversibles.V´erifierque1,-1,18+ 5
13,18-5⎷

13,-18+5 ⎷

13et-18-5⎷

13sont
inversibles. d.Montrer queles´el ´emen ts2,3 +
13et-3+⎷

13sont irr´eductiblesdansZ[⎷

13].On
seraammen´e `adiscuterl'´equationa 2 -13b 2 =±2pour a,b?Zet`a montrerqu'ellen'a pasdesolution enconsid´ erant lesdi ff
´erentscaspossiblessuivantla parit´edeaetb.
e.Montrer quel'anneauZ[
13]n'est pasfactoriel.IndicationSolutionF.Geoffriau
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13.-Applicationduth´eor`emechinois dansZ[X]

P≡X
2 mod3X 3 +1e tP≡2X+1mo dX 2
IndicationSolutionF.Geoffriau
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14.-CoefficientsdeB ´ezout

SoitP=X
5 +3X 4 +X 3 +X 2 +3X+1e tQ=X 4 +2X 3 +X+2.T rouver deux polynˆomesUetVtelsqueUP+VQsoitunpgc ddePetdeQ.
IndicationSolutionF.Geoffriau
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15.-Pgcdetalg orithmed 'Euclide
Soitpetqdeuxentiers telsque1?q
IndicationSolutionF.Geoffriau

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16.-Polynˆomesirr´eductibles`acoefficients dansZ/2Z

D´eterminerlespolynˆomesirr´eductiblesde (Z/2Z)[X]dedegr ´eau plus3.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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17.-Extensiondecorps

Onconsid` erelepolynˆomeP=X

4 -10X 2 +1?Q[X]. a.D´ eterminersesracinesdansR,etmon trerqu'il estirr´eductibledansQ. b.Soitαuneracine deP.Onnote Q[α]laQ-alg`ebreengendr´e parα.Montrer queQ[α] estl'ensembledes´ el´ementsde Rdelaforme aα 3 +bα 2 +cα+daveca,b,c,d?Q. c.Onc onsid` erel'application?deQ[X]dansQ[α]qui` aQ?Q[X]asso cieQ(α).Montre r que?estunmorphisme surjectifde Q-alg`ebres. d.D´ eterminerlenoyaude?.End ´eduireque Q[α]est isomorpheauquotient deQ[X] parl'id´ ealengendr´eparP,etque Q[α]est uncorps.Ondit quePestlepolynˆome minimaldeα.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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18.-Pgcdetextension decorps

Soitkunsous- corpsd'uncorpscommutatifK.SoitP,Q?k[X],Pirr´eductible. Onsupp osequePetQ,consid´ er´escomme´el´ementsdeK[X],ont uneracinecommune.

MontrerquePdiviseQ.

IndicationSolutionF.Geoffriau

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Exercicessurlesanneaux etcorps

Indications

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1.-Inversibledansun anneau

Indication

Faireducalculform elinspir ´edud´ev eloppementen s´erieenti`ere de(1-x) -1

Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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2.-Idempotentsetpr oduitd' anneaux

Indication

a.Pe nser`aZ/2Z×Z/2Z. b.b.?.

Ecrire.

b.?.Nepas oublierl'unit ´e et´eviterdemon trerlesassociativit´e,comm utativit´eet distributivit´e. b.?.Onp ourraconsid´ ererl'application

B×C-→A

(x,y)?-→x+y b.?.L'unit´ e!

Enonc´e

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3.-EndomorphismeducorpsR

Indication

a.Montrer pourx?N,puisp ourx?Zetenfin pourx?Q.Pour lederniercas,en ´ecrivantx=p/qavecp,q?Z,onp ourra´e crireqx=p. b.Utiliser laracinecarr´ee. c.Pour x,y?R,ona x?y??y-x?R d.Utiliser desencadremen tsd'unr´eel pardesrationnels.

Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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4.-Corpsgauche desquaternions

Indication

a.Faire lescalculs. b.Montrer queHestunsous-anneaude M 2 (C).Pour lesinvers es,utiliserled´ eterminant. c.

Auncomplexe a?Cluiasso cierM(a,0).

d. Ecrireun´ el´ ementdeHcommecombinaisonlin ´eairedeE,I,JetK. e.Calculer f.Un´ el´ ementducentrecommuteavecI,JetK.

Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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El´ementnilpotent

Indication

a.Iln'y ena pasbe aucoup. b.DansZ/8Z,les´ el´ ementsnilpotentssont0,2,4et6,cesontles diviseursdez´ero`a part0qui estnilp otent sansˆetrediviseur dez´ero.Celaseg ´en´eralise` aZ/nZpournde laforme p k avecppremier. DansZ/12Z,les´ el´ ementsnilpotentssont0et6etlesdiviseursdez´ero sont2,3,4,6,

8et 10.Un´el´eme ntnilp otent nonnulestdiviseurdez´ero,lar´ecipro queestg´en´eralement

fausse. c.Utiliser laformuledubinˆ omedeNew tonpoura+b. d.Montrer quesiaetbsontdeux´el´ emen tspermutables(i.e.telsqueab=ba),alors, pourn?N a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b+···+b n-1

Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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6.-Anneaufini

Indication

Poura?Anonnul, l'applicationx?→axestinjective, doncbijective.

Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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7.-Anneauordonn´e

Indication

a.Utiliser lacomptabilit´ea vec l'addition. b.Consid ´erer-z. c.Faire deuxcas.PourC,consid ´erer1et-1. d.Montrer parr´ecurrenceque 0Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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8.-Leth´eor`emechinois dansunannea ucommutatif

Indication

a.Pour l'inclusionnontriviale, ´ecrirel'unit´e deAenfonction d'´el´em entsdeIetdeJ. b.Consid ´ererl'applicationA→A×A;x?→(x,x)et lessurjectionscanoniques deA surA/IetA/J. c.Pour montrerque l'applicationd´eduitede?parpassage auquotiente stsurje ctive, consid´ererl'applicationqui`a(y,z)?A×Aassocievy+uzo`uuetvsontdes´el ´ements

Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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9.-Lesentiers deGauss

Indication

Ecrire.

b.Calculer N(xy)pour x,y?Z[i]. c.Diviser dansCetapproc herlespartiesr´eellee timaginairepardesentiers. d.Consid ´ererun´el´ementx 0 ?ItelqueN(x 0 )?N(x)pour toutx?I\{0}.

Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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10.-Unsous-a nneaudeR

Indication

Ecrire.

b.Les´ el´em entsinversiblesdeZsont1et-1. c.c.?.Siyestnonnulet si |x|Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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11.-Anneaudess´eriesfor melles

Indication

a.Onp ourraconsid´ ererlav aluationνd´efiniepar,poura= n?N a n X n nonnul,

ν(a)=min {n?N;a

n ?=0}aveclaconventionν(0)=+ ∞.

Lesinv ersiblessontles´el´ements

n?N a n X n telsquea 0 ?=0. b.SiIestunid´eal nonn uldek[[X]],onp osep=min{ν(x);x?I}. c.L'anneau k[[X]]n'aqu'un ´el´ emen tirr´eductible(`ainversiblepr`es)quiestX. d.Les tathmedek[[X]]est ν.

Enonc´e

SolutionF.Geoffriau

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[PDF] Exercices sur les anneaux et corps - My Ismail

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Exercicessurlesanneaux etcorps

1.Inv ersibledansunanneau2.Idemp otentsetproduitd'anneaux3.Endomorphis meducorpsR4.Corpsgauc hedesquate rnions5.´

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Exercicessurlesanneaux etcorps

Enonc´es

1.-Inversibledansun anneau

IndicationSolutionF.Geoffriau

2.-Idempotentsetpr oduitd' anneaux

A-→B×C

IndicationSolutionF.Geoffriau

3.-EndomorphismeducorpsR

IndicationSolutionF.Geoffriau

4.-Corpsgauche desquaternions

Soita,b?C,onp ose

M(a,b)=

H={M(a,b);a,b?C}

IndicationSolutionF.Geoffriau

El´ementnilpotent

Fairedemˆe mepour l'anneauZ/12Z.

IndicationSolutionF.Geoffriau

6.-Anneaufini

IndicationSolutionF.Geoffriau

7.-Anneauordonn´e

IndicationSolutionF.Geoffriau

8.-Leth´eor`emechinois dansunannea ucommutatif

EtablirqueI∩J=IJ.

IndicationSolutionF.Geoffriau

9.-Lesentiers deGauss

Onpose

Z[i]={a+ib;a,b?Z}

N(ξ)=ξ

ξ=|ξ|2

U={1,-1,i,-i}.

IndicationSolutionF.Geoffriau

10.-Unsous-a nneaudeR

Soitm?N

Z[α]={x+αy?R;x,y?Z}

N(ab)=N(a)N(b)

IndicationSolutionF.Geoffriau

11.-Anneaudess´eriesfor melles

IndicationSolutionF.Geoffriau

12.-Unannea unonfactoriel

SoitZ[

13]leplus petitsous- anneaudeRcontenantZet⎷

13av eca,b?Z.

Aun´ el´eme ntα=a+b

13(a,b?Z),onass ocie l'´el´ementconjugu´ eα=a-b⎷

Montrerquepourα,β?Z[

13],ona α+β=α+βetαβ=αβ

13]→Z;α?→αα,caract´ eriserlegroupeUdes

13,18-5⎷

13,-18+5 ⎷

13et-18-5⎷

13sont

13et-3+⎷

13sont irr´eductiblesdansZ[⎷

13].On

´erentscaspossiblessuivantla parit´edeaetb.

13]n'est pasfactoriel.IndicationSolutionF.Geoffriau

13.-Applicationduth´eor`emechinois dansZ[X]

P≡X

IndicationSolutionF.Geoffriau

14.-CoefficientsdeB ´ezout

SoitP=X

IndicationSolutionF.Geoffriau

15.-Pgcdetalg orithmed 'Euclide

16.-Polynˆomesirr´eductibles`acoefficients dansZ/2Z

IndicationSolutionF.Geoffriau

17.-Extensiondecorps

Onconsid` erelepolynˆomeP=X

IndicationSolutionF.Geoffriau

18.-Pgcdetextension decorps