Anneaux et idéaux

Exercices sur les anneaux et corps 1 Inversible dans un anneau 2 Idempotents et produit d’anneaux 3 Endomorphisme du corps R 4 Corps gauche des quaternions 5 El´ement nilpotent´ 6 Anneau ﬁni 7 Anneau ordonn´e 8 Le th´eor`eme chinois dans un anneau commutatif 9 Les entiers de Gauss 10 Un sous-anneau de R 11 Anneau des s´eries

Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1

Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé 1 Groupes, anneaux, corps Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative, non associative, et que est élément neutre 2 On munit de la loi de composition interne définie par : √

Daniel ALIBERT Relations dordre Entiers Anneaux et corps

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 1 Daniel ALIBERT Relations d'ordre Entiers Anneaux et corps Nombres réels Objectifs : -Majorer, minorer, chercher le plus grand élément d'un ensemble ordonné, la borne supérieure, faire une récurrence - Calculer dans un anneau, un corps

Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps

•Les lois ∪, ∩et ∆ sur P(F) sont associatives et commutatives Elles admettent pour neutres respectifs ∅, F, et ∅ •⊕et ⊗sont associatives et commutatives sur R2 •Vue comme LCI sur N∗, + n’admet pas d’´el´ement neutre Exercice 1 Montrer que les lois ⊕et ⊕sur R2 (cf exemples 1) admettent chacune un neutre

Examen partiel - Corrigé

L3MathESR–Algèbre5 2novembre2016 Examen partiel - Corrigé I - Exemples (5 points) 1 Donner un exemple de polynôme P ∈R[X] de degré 2 tel que l’anneau quotient R[X]/(P) nesoitpasisomorpheàC (justiﬁerrapidement,deuxphrasesdevraientsuf-

Anneaux et idéaux - Cours et exercices de mathématiques

Anneaux et idéaux Exercice 1 Donner la déﬁnition d’un corps Les opérations binaires + et , sont-elles équivalentes dans la déﬁnition? Correction H [002249] Exercice 2 Trouver toutes les solutions des équations : 1 ax+b=c (a;b;c2K, K est un corps); 2 2x 3 mod 10 et 2x 6 mod 10 dans l’anneau Z 10 =Z=10Z Correction H [002250

Correction - u-bordeauxfr

outT anneau considéré ci-dessous est commutatif et unitaire Si aet bsont des éléments d'un anneau A, on note ha;bil'idéal engendré par aet b 1 Question de cours : anneaux euclidiens, principaux, factoriels (a) Rappeler les dé nitions d'un anneau euclidien, d'un idéal principal et d'un anneau principal

ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012–2013

EXTENSIONS DE CORPS 1 Anneaux Nous reviendrons au chapitre III plus longuement sur la théorie des anneaux Nous nous contentons ici des quelques préliminaires nécessaires pour aborder la théorie des extensions de corps Tous nos anneaux sont commutatifs unitaires (mais il se peut que 1 = 0; cela arrive si et seulement si l’anneau est nul)

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Énoncés : V. Gritsenko

Corrections : J.-F. BarraudExo7

Exercice 1

Donner la définition d"un corps. Les opérations binaires+et, sont-elles équivalentes dans la définition ?

Trouver toutes les solutions des équations :

1.ax+b=c(a;b;c2K,Kest un corps);

2 x3 mod 10 et 2x6 mod 10 dans l"anneauZ10=Z=10Z.

SoitAun anneau. Démontrer que :

1.8a2A0Aa=0A;

2.(1A)a=a;

3.jAj>2()1A6=0AdansA.

1. Si xyest inversible dans un anneauA, alorsxetysont inversibles. 2.

Dans un anneau, un élément in versiblen"est pas di viseurde zéro et un di viseurde zéro n"est pas

inversible. Démontrer que tout anneau intègre fini est un corps. Lesquels de ces sous-ensembles donnés deCsont des anneaux ? Lesquels sont des corps ? 1. S n2N10nZ; 2.fmn jm2Z;n2N;(m;n) =1;p-ng(pest un nombre premier fixé) ;

3.Z[p1] =Z+Zp1,Z[p2] =Z+Zp2;

4.Q[p1] =Q+Qp1,Q[p2] =Q+Qp2.

1 Les éléments inversibles d"un anneauAforment le groupe multiplicatif(A;). 1. T rouverApour les anneaux 1. et 2. de l"exercice6 . 2. T rouverle groupe Z[p1]en utilisant la norme complexe. 3.

Montrer que le groupe Z[p2]est infini.

Un élémentad"un anneauAs"appelle nilpotent, s"il existen2Ntel quean=0. Trouver tous les éléments

inversibles, les diviseurs de zéro, les nilpotents des anneaux suivants :

1.Z=360Z;

2.Z=nZ;

3. Démontrer que, pour tout nilpotent xdeA, l"élément 1+xest inversible.

SoitIun idéal d"un anneauA. On note par(a) =aAl"idéal principal engendré para. Montrer que :

1.I=Asi et seulement siIcontient une unité;

2.(a) =Assiaest inversible;

3. Un anneau Aest un corps ssi(0)est le seul idéal propre deA.

I\J;I+J=fx+yjx2I;y2Jg

sont des idéaux deA. 2. Montrer que I+Jest le plus petit idéal deAcontenantIetJ. 3. Soit n;m2Z,I= (n) =nZ,J= (m) =mZ. TrouverI\JetI+J. 4.

Montrer que

IJ=fx1y1+x2y2+:::xnynjn2N;xk2I;yk2Jpour 16k6ng

est un idéal. Il s"appelleproduit des idéaux IetJ. 5. On considère les idéaux I= (x1;:::xn) =Ax1++AxnetJ= (y1;:::ym) =Ay1++Aym. Décrire les idéauxI+J,IJ,I2en fonction dexk,yl. 2 Exercice 12Idéaux étrangers1.Montrer que IJI\Jet(I+J)(I\J)IJ 2. On dit que deux idéaux IetJdeAsontétrangerssiI+J=A. Montrer queI\J=IJsiI,Jsont étrangers. Indication pourl"exer cice5 NVoir la solution de l"exercice??, deuxième question.4

Correction del"exer cice1 NCours... Non, les rôles des deux opérations ne sont pas interchangeables, puisque l"une est distributive sur

l"autre.Correction del"exer cice2 N1.une seule solution x=a1(cb) 2.

pas de solution, et deux solutions. Attention, dans Z=10Z, on ne peut pas inverser 2. Ecrire 2x=3+10k

pour obtenir que 2j3, et 2x=6+10kpour simplifier par 2... dansR.Correction del"exer cice3 N1.Ecrire (0+a)a=a:ad"une part (0 est neutre pour+) et(0+a):a=0:a+a:a(distributivité).

2.(1):a+a= (1+1):a=0:a=0 (distributivité, puis question précédente)

Si jAj=1, 1=0. Si 1=0,8a2A;a=1:a=0:a=0, doncA=f0g.Correction del"exer cice4 N1.Si xy2A, soitz2A;(xy)z=1. Alorsx(yz) =1 et(zx)y=1 doncxetysont inversibles.

Soit x2A, ety2A;xy=0. Alorsx1xy=y=0. Doncxn"est pas diviseur de 0.Correction del"exer cice5 NSoita2Anf0g. Soitfa:A!A;x7!ax. Sifa(x) =fa(y), alorsax=ay. Maisax=ayssia(xy) =0, or

a6=0 etAest intègre, doncx=y. Ainsifaest injective deAdansA. CommeAest fini, elle est donc aussi

surjective :9x2A;fa(x) =1.Correction del"exer cice6 NCe sont tous des anneaux. Montrer queAest stable par addition, par passage à l"opposé, contient 0, est stable

par multiplication et contient 1. Le reste (associativité et distributivité) est automatique puisqu"il s"agit des

restrictions des opérations usuelles surC)

1.Aest l"ensemble des nombres dont le développement décimal s"arrête ("nombre fini de chiffres après la

virgule"). Stabilité par addition : Soitx=10naety=10mb. Supposons par exemple quen>m. Alorsx+y= 10 n(a+10nmb)eta+10nmb2Zdoncx+y2A. Les autres vérifications sont analogues. Ce n"est pas un corps : 3 n"est pas inversible, puisque si 310na=1, alors 3a=10ndonc 3j10nce qui est impossible. Un élément est inversible ssi il est de la forme 10 n2a5b,a;b2N. 2.

Stabilité par addition : Soit x=ab

2Aety=cd

2A, avec pgcd(a;b) =pgcd(c;d) =pgcd(p;b) =

pgcd(p;d) =1. Alorsx+y=ad+bcbd

Ce n"est pas un corps :pn"est pas inversible. Un élément est inversible ssi ce n"est pas un multiple dep.

N"est pas un corps : 2 n"est pas in versible.Les seuls éléments in versiblessont 1 ;1;i;i. En effet, si

z2A, alorsjzj>1 etjz1j>1. Doncjzj=1 etz2 f1;ig. Réciproquement, ces éléments sont bien tous inversibles.5quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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Exercices sur les anneaux et corps - My Ismail