[PDF] EXAMEN FINAL (2 heures) Exercice 1 - Hypothesesorg

EXAMEN FINAL (2 heures) Exercice 1 - Hypothesesorg

t) est un bruit blanc de variance ˙2 On a simul e trois trajectoires (A, B et C), et trac es trois fonctions d’autocorr elations (D, E et F) En d etaillant un peu, expliquer quel processus se cache derri ere chacune des gures 0 100 200 300 400 500-10-5 0 5 10 Serie A Index 0 100 200 300 400 500-2 0 2 4 Serie B Index 0 100 200 300 400 500

Renforcement S´eries Chronologiques - univ-toulouse

Feuille d’exercices n˚2 : Processus ARMA Exercice 1 Soit ηun bruit blanc et Xle ARMA(1,1) v´erifiant Xt − 2Xt−1 = ηt + 1 2 ηt−1 1 Quelle est la relation ARMA entre Xet son bruit blanc d’innovation ǫ? 2 Exprimez Xt en fonction des valeurs pass´ees de ǫ 3 Exprimez ǫt en fonction des valeurs pass´ees de X Exercice 2

M1 ISMAG MIS243Y - S´eries chronologiques

Feuille d’exercices n˚2 : Processus ARMA Exercice 1 Soit ηun bruit blanc et Xle ARMA(1,1) v´erifiant Xt − 2Xt−1 = ηt + 1 2 ηt−1 1 Quelle est la relation ARMA entre Xet son bruit blanc d’innovation ǫ? 2 Exprimez Xt en fonction des valeurs pass´ees de ǫ 3 Exprimez ǫt en fonction des valeurs pass´ees de X Exercice 2

Corrig´e de l’examen de s´eries chronologiques du 5 juin 2006

n est un bruit blanc On peut donc tester l’ad´equation du mod`ele en calculant les autocorr´elations empiriques ρˆˆ n(j) des r´esidus ˆ k = X k − ˆa nX k−1 Pour qfix´e, ni trop grand ni trop petit, on pose T n = ρˆˆ n(1) + ··· + ρˆˆ n(q) Si le mod`ele est correct, T n suit approximativement la loi

SIGNAUX ALÉATOIRES

de signal aléatoire est appelé bruit blanc (au sens strict) 1En toute rigueur, il faudrait réserver le terme de covariance à la formule précédente appliquée à des signaux centrés, pour lesquels on a alors simplement une extension de la notion de variance d’une variable à deux variables aléatoires Il s’agit ici d’une fonction

Master 1 ESA Econométrie et Statistique Appliquée TD SERIES

tous significatifs avec l’hypothèse de bruit blanc pour les résidus, quel critère utilisez pour choisir le meilleur modèle parmi les trois [ AR(1), MA(1) et MA(2)] 10 Conclusion : Rappeler la méthodologie de Box-Jenkins pour l’identification et l’estimation des processus ARMA B)

Sujets des exercices - Site de Stéphane POUJOULY

Exercices corrigés pour travail personnel Q2 : On suppose que le bruit thermique est un bruit blanc dans une bande équivalente Beq=3GHz Que signifie

Tendance,stationnarité, autocovariance,opérateurretard

2/45 1 Tendance,stationnarité,autocovariance,opérateurretard temps température 1920 1925 1930 1935 1940 30 40 50 60 année passagers 1950 1952 1954 1956 1958 1960

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COURS DE SERIES TEMPORELLES THEORIE ET APPLICATIONS VOLUME 1 Introduction à la théorie des processus en temps discret Modèles ARIMA et méthode Box & Jenkins

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S

ERIES CHRONOLOGIQUES, HIVER 2014, MAT8181

ARTHUR CHARPENTIER

EXAMEN FINAL (2 heures)

Exercice 1Considerons les trois processus suivants, 8>>< >:X t="t1:6Xt10:8Xt2 Y t="t+ 0:4"t1+ 0:7Yt1 Z t="t+ 0:4"t10:5"t2 ou ("t) est un bruit blanc de variance2. On a simule trois trajectoires (A, B et C), et traces trois fonctions d'autocorrelations (D, E et F). En detaillant un peu, expliquer quel processus se cache derriere chacune des gures.0100200300400500 -10 -5 0 5 10

Serie A

Index

0100200300400500

-2 0 2 4

Serie B

Index

0100200300400500

-4 -2 0 2 4

Serie C

Index

0510152025

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACF

Serie D

0510152025

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACF

Serie E

0510152025

-0.5 0.0 0.5 1.0 Lag ACF

Serie F1

2 ARTHUR CHARPENTIER

Commencons par le plus simple: les autocorrelogrammes. On doit retrouver un AR(2) - serieX- un ARMA(1,1) - serieY- et un MA(2) - serieZ. Le premier autocorrelogramme est celui d'un MA(2), c'est doncZ. Le troisieme presente des autocorrelations qui changent de signe, alors qu'avec le second, on a juste une decroissance exponentielle. Pour rappel, avec un ARMA(1,1), la premiere autocorrelation n'est pas comme pour un AR(1), i.e.(1)6= (il faut tenir compte de), mais ensuite, on retrouve(h) =(h1), avec ici= 0:7. Aussi, la serieYcorrespond a un autocorrelogramme du type E. Pour la serieX, il faut noter qu'on est dans partie inferieure du triangle de stationnarite (pour le couple (1;2).

En fait, on a ici

(1 + 1:6L+ 0:8L2)Xt="t dont les racines sont ici complexes (en fait les racines sont (2i)=2), aussi(h) sera une fonction sinusodale, qui va donc changer de signe. C'est donc bien l'autocorrelogramme qui reste, F. La premiere serie, representee en A preseente des alternances, correspondant a l'autocor- relogramme F. C'est donc le processus AR(2),X. La troisieme serie a une variance beaucoup plus grande que la seconde, avec davantage d'autocorrelation. La serie C fait penser a un AR(1), mais comme on n'en a pas, ca sera le processus ARMA(1,1),Y. Et B est une serie plus proche d'un bruit, c'est donc la serie MA(2),Z.

Exercice 2

Soient"tet (t) deux bruits blancs, et2(1;0)[(0;1). Montrer que les series X t="t+"t1etYt=t+1 t1 ont les m^emes fonctions d'autocorrelation. Dans les deux cas, on a MA(1), autrement dit,X(h) =Y(h) = 0 pourjhj>1. Reste a verier queX(1) =Y(1). On se lance, en notant que les processus sont centes, autrement dit

X(1) =cov(Xt;Xt1)var(Xt)=E(XtXt1)E(X2t)

Calculons les deux termes,

E(X2t) =E(["t+"t1]2)

S

ERIES CHRONOLOGIQUES, HIVER 2014, MAT8595 3

soit [1 +2]E("2t) + 2E("t"t1)|{z} =0 alors que pour le numerateur,

E(XtXt1) =E(["t+"t1]["t1+"t2])

soit (un seul terme sera non nul, je passe les details)

E("2t1)

Bref, le ratio est ici

X(1) =E(XtXt1)E(X2t)=1 +2

(en notant que le terme de variance du bruit dispara^t). Pour l'autre serie, le calcul sera identique, avec1au lieu de. Aussi,

Y(1) =E(YtYt1)E(Y2t)=11 +2=X(1)

ce qui donne, en multipliant en haut et en bas par2,

Y(1) ==

2+ 1 Autrement dit, les deux fonctions concident eectivement. Exercice 3Soit ("t) un bruit blanc (faible) et (Xt) un processus stationnaire au second ordre, veriant la relation de recurence X t=0:4Xt1+ 0:12Xt2+"t: (1) de quel modele ARMA s'agit-il ? (2) montrer que ("t) est l'innovation de (Xt), et que la fonction d'autocovariance de (Xt), notee(), verie une relation de recurrence de la forme (h) =a(h1) +b(h2);pourh2; ouaetbsont des constantes a preciser. (3) donnez la variance de ("t) pour que la variance de (Xt) sont unitaire.

4 ARTHUR CHARPENTIER

(4) montrer que (h) =211 [0:2]h+911 [0:6]hpour touth0: (1) C'est un AR(2), ou ARMA(2,0). (2) Dans un processus AR(p), le bruit est le processus d'innovation des lors que la racines du polyn^ome retard sont a l'exterieur du disque unite. Or ici le polyn^ome est (L) = (1 + 0:4L:12L2) = (1 + 0:6L)(10:2L) dont les racines sont1=0:6 et 1=0:2, qui sont plus grandes que 1 (en valeur absolue). Pour les autocorrelations, soith2. Notons que le processus est centre. Aussi, en notant la fonction d'autocovariance, (h) =E(XtXth) (h) = (h) (0) Maintenant, si on multiplie l'equation de recurence parXth, X tXth=0:4Xt1Xth+ 0:12Xt2Xth+"tXth: or comme ("t) est le processus d'innovation,E("tXth) = 0. Et donc, en prenant l'esperance des termes de l'equation precedante, on a (h) =0:4 (h1) + 0:12 (h2);pourh2: soit, en divisant par (0), (h) =0:4(h1) + 0:12(h2);pourh2: (3) On s'etait limite au cash2 dans la question precedante. Regardonsh= 1, en multipliant la relation de recurence parXt1, X tXt1=0:4Xt1Xt1+ 0:12Xt2Xt1+"tXt1: Si on prend l'esperance, le terme de droite va dispara^tre (comme auparavant) et on obtient (1) =0:4 (0) + 0:12 (1) de telle sorte que (1) =0:410:12=511 S

ERIES CHRONOLOGIQUES, HIVER 2014, MAT8595 5

Maintenant, pour calculer la variance deXt, notons que

E(X2t) =E([0:4Xt1+ 0:12Xt2+"t]2)

On va alors developper le terme de droite. On va passer les details, mais on se souvient que ("t) est le processus d'innovation, et donc il est orthogonal au passe deXt. Aussi, E(X2t) = [0:42+ 0:122]E(X2t)0:40:12E(XtXt1) + 0 +E("2t) avecE(XtXt1) = (1) =(1)E(X2t), avec(1) que l'on vient de calculer. Aussi, la variance deXtverie [1[0:42+ 0:122]0:40:12511 ]var(Xt) = var("t): soit (pour utiliser une formule qu'on peut retrouver dans des cours sur les AR(2)) var(Xt) =10:121 + 0:121(10:12)20:42var("t): Peu importe la valeur numerique, je donne les points pour ceux qui ont note qu'on pouvait eectivement extraire la variance du processus dans le cas d'un AR(2). (4) On sait que la solution generale de la suite denie par recurence, (h) =0:4(h1) + 0:12(h2);pourh2 est de la forme (h) =Arh1+Brh2;pourh0 our1etr2sont les racines distinctes du polyn^ome characteristique. Or on a calcule les racines du-dit polyn^ome dans la question (2). Aussi, (h) =A[0:2]h+B[0:6]h;pourh0 On obtient les valeurs deAetBavec les premieres valeurs,(0) = 1 =A+Bet(1) =

5=11 = 0:2A0:6B. On a ainsi un systeme (lineaire) a resoudre.... Je passe ici les details,

mais on peut verier rapidement que la solution proposee est la seule qui marche.

Exercice 4

(1) SoitMla matrice 22quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3