EXAMEN FINAL (2 heures) Exercice 1 - Hypothesesorg
t) est un bruit blanc de variance ˙2 On a simul e trois trajectoires (A, B et C), et trac es trois fonctions d’autocorr elations (D, E et F) En d etaillant un peu, expliquer quel processus se cache derri ere chacune des gures 0 100 200 300 400 500-10-5 0 5 10 Serie A Index 0 100 200 300 400 500-2 0 2 4 Serie B Index 0 100 200 300 400 500
Renforcement S´eries Chronologiques - univ-toulouse
Feuille d’exercices n˚2 : Processus ARMA Exercice 1 Soit ηun bruit blanc et Xle ARMA(1,1) v´erifiant Xt − 2Xt−1 = ηt + 1 2 ηt−1 1 Quelle est la relation ARMA entre Xet son bruit blanc d’innovation ǫ? 2 Exprimez Xt en fonction des valeurs pass´ees de ǫ 3 Exprimez ǫt en fonction des valeurs pass´ees de X Exercice 2
M1 ISMAG MIS243Y - S´eries chronologiques
Feuille d’exercices n˚2 : Processus ARMA Exercice 1 Soit ηun bruit blanc et Xle ARMA(1,1) v´erifiant Xt − 2Xt−1 = ηt + 1 2 ηt−1 1 Quelle est la relation ARMA entre Xet son bruit blanc d’innovation ǫ? 2 Exprimez Xt en fonction des valeurs pass´ees de ǫ 3 Exprimez ǫt en fonction des valeurs pass´ees de X Exercice 2
Corrig´e de l’examen de s´eries chronologiques du 5 juin 2006
n est un bruit blanc On peut donc tester l’ad´equation du mod`ele en calculant les autocorr´elations empiriques ρˆˆ n(j) des r´esidus ˆ k = X k − ˆa nX k−1 Pour qfix´e, ni trop grand ni trop petit, on pose T n = ρˆˆ n(1) + ··· + ρˆˆ n(q) Si le mod`ele est correct, T n suit approximativement la loi
SIGNAUX ALÉATOIRES
de signal aléatoire est appelé bruit blanc (au sens strict) 1En toute rigueur, il faudrait réserver le terme de covariance à la formule précédente appliquée à des signaux centrés, pour lesquels on a alors simplement une extension de la notion de variance d’une variable à deux variables aléatoires Il s’agit ici d’une fonction
Master 1 ESA Econométrie et Statistique Appliquée TD SERIES
tous significatifs avec l’hypothèse de bruit blanc pour les résidus, quel critère utilisez pour choisir le meilleur modèle parmi les trois [ AR(1), MA(1) et MA(2)] 10 Conclusion : Rappeler la méthodologie de Box-Jenkins pour l’identification et l’estimation des processus ARMA B)
Sujets des exercices - Site de Stéphane POUJOULY
Exercices corrigés pour travail personnel Q2 : On suppose que le bruit thermique est un bruit blanc dans une bande équivalente Beq=3GHz Que signifie
Tendance,stationnarité, autocovariance,opérateurretard
2/45 1 Tendance,stationnarité,autocovariance,opérateurretard temps température 1920 1925 1930 1935 1940 30 40 50 60 année passagers 1950 1952 1954 1956 1958 1960
COURS DE SERIES TEMPORELLES THEORIE ET APPLICATIONS
COURS DE SERIES TEMPORELLES THEORIE ET APPLICATIONS VOLUME 1 Introduction à la théorie des processus en temps discret Modèles ARIMA et méthode Box & Jenkins
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Renforcement
S´eries Chronologiques
Exercices et TP
Agn`es Lagnoux
lagnoux@univ-tlse2.fr ISMAGMASTER 1 - MI00141X
M1 ISMAG
MI0B246X - S´eries chronologiques
Feuille d"exercices n°1 : Processus stationnaires, AR et MAExercice 1
Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n"est pas n´ecessairement stationnaire. Soit (ηt)t?Zun bruit blanc; v´erifier que les processus d´efinis par :Xt=ηt,?t?Zet Y t= (-1)tηt,?t?Zsont stationnaires. Montrer que leur sommeZt=Xt+Yt,?t?Z, n"est pas un processus stationnaire.Exercice 2
Parmi les s´eries chronologiques suivantes, d´eterminer celles qui sont centr´ees, stationnaires.
-Xn=1 n?n. -Xn= 0.2?n+ 0.9?n-8. -Xn=?2n+ 0.5?n-1-σ2. -Xn=?n+ 0.2n.Nota: Ici?nest un bb Gaussien de varianceσ2.
On rappelle que siYetZsont des v.a. ind´ependantes, alorsY2est ind´ependant deZ. Certains calculs peuvent ˆetre ´evit´es en reconnaissant des mod`eles connus.Exercice 3
SoitX= (Xt)t?Nun processus stationnaire et pour toutt?Z,X?tla r´egression affine de X tsur (Xs)s≤t-1. Montrer que le processus d´efini par la suite des innovations (Xt-X?t)t?N est un bruit blanc.Exercice 4`A partir des autocorr´elations empiriques (en haut) et des autocorr´elations partielles em-
piriques (en bas), proposer, s"il y a lieu, des mod`eles pourles processus suivants de la figure 1.Exercice 5 : Etude approfondie du processus MA(1)
On consid`ere le processus (Xt)t?Zd´efini par : ?t?Z, Xt=ηt-θηt-1, o`uθest un r´eel tel que|θ|<1 et (ηt)t?Zest un bruit blanc de varianceσ2>0. 1.´Ecrireηten fonction de (Xs, s≤t).
2. En d´eduire la r´egression affine deXtsur (Xs, s≤t).
3. Soit
?XT(1) la pr´evision lin´eaire optimale deXT+1, c"est-`a-dire la r´egression affine de X T+1surXT,XT-1,...Calculer l"erreur de pr´evision : IE XT+1-?XT+1?
2. 20 5 10 15 20 25 30
-0.5 0.0 0.5 1.0 Lag ACFSeries ts(a)
0 5 10 15 20 25 30
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACFSeries ts(m)
0 5 10 15 20 25 30
-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 LagPartial ACF
Series ts(a)
0 5 10 15 20 25 30
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 LagPartial ACF
Series ts(m)
Figure1 - Exemples de l"exercice 4
3Exercice 6 : Etude approfondie du processus AR(1)Soit (Xt)t?Zun processus stochastique centr´e tel que :
X t-?Xt-1=ηt,?t?Z, o`u (ηt)t?Zest un bruit blanc de varianceσ2>0 et??R. I.