EXAMEN FINAL (2 heures) Exercice 1 - Hypothesesorg
t) est un bruit blanc de variance ˙2 On a simul e trois trajectoires (A, B et C), et trac es trois fonctions d’autocorr elations (D, E et F) En d etaillant un peu, expliquer quel processus se cache derri ere chacune des gures 0 100 200 300 400 500-10-5 0 5 10 Serie A Index 0 100 200 300 400 500-2 0 2 4 Serie B Index 0 100 200 300 400 500
Renforcement S´eries Chronologiques - univ-toulouse
Feuille d’exercices n˚2 : Processus ARMA Exercice 1 Soit ηun bruit blanc et Xle ARMA(1,1) v´erifiant Xt − 2Xt−1 = ηt + 1 2 ηt−1 1 Quelle est la relation ARMA entre Xet son bruit blanc d’innovation ǫ? 2 Exprimez Xt en fonction des valeurs pass´ees de ǫ 3 Exprimez ǫt en fonction des valeurs pass´ees de X Exercice 2
M1 ISMAG MIS243Y - S´eries chronologiques
Feuille d’exercices n˚2 : Processus ARMA Exercice 1 Soit ηun bruit blanc et Xle ARMA(1,1) v´erifiant Xt − 2Xt−1 = ηt + 1 2 ηt−1 1 Quelle est la relation ARMA entre Xet son bruit blanc d’innovation ǫ? 2 Exprimez Xt en fonction des valeurs pass´ees de ǫ 3 Exprimez ǫt en fonction des valeurs pass´ees de X Exercice 2
Corrig´e de l’examen de s´eries chronologiques du 5 juin 2006
n est un bruit blanc On peut donc tester l’ad´equation du mod`ele en calculant les autocorr´elations empiriques ρˆˆ n(j) des r´esidus ˆ k = X k − ˆa nX k−1 Pour qfix´e, ni trop grand ni trop petit, on pose T n = ρˆˆ n(1) + ··· + ρˆˆ n(q) Si le mod`ele est correct, T n suit approximativement la loi
SIGNAUX ALÉATOIRES
de signal aléatoire est appelé bruit blanc (au sens strict) 1En toute rigueur, il faudrait réserver le terme de covariance à la formule précédente appliquée à des signaux centrés, pour lesquels on a alors simplement une extension de la notion de variance d’une variable à deux variables aléatoires Il s’agit ici d’une fonction
Master 1 ESA Econométrie et Statistique Appliquée TD SERIES
tous significatifs avec l’hypothèse de bruit blanc pour les résidus, quel critère utilisez pour choisir le meilleur modèle parmi les trois [ AR(1), MA(1) et MA(2)] 10 Conclusion : Rappeler la méthodologie de Box-Jenkins pour l’identification et l’estimation des processus ARMA B)
Sujets des exercices - Site de Stéphane POUJOULY
Exercices corrigés pour travail personnel Q2 : On suppose que le bruit thermique est un bruit blanc dans une bande équivalente Beq=3GHz Que signifie
Tendance,stationnarité, autocovariance,opérateurretard
2/45 1 Tendance,stationnarité,autocovariance,opérateurretard temps température 1920 1925 1930 1935 1940 30 40 50 60 année passagers 1950 1952 1954 1956 1958 1960
COURS DE SERIES TEMPORELLES THEORIE ET APPLICATIONS
COURS DE SERIES TEMPORELLES THEORIE ET APPLICATIONS VOLUME 1 Introduction à la théorie des processus en temps discret Modèles ARIMA et méthode Box & Jenkins
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SIGNAUX ALÉATOIRES
J.-F. BERCHER
École Supérieure d"Ingénieurs en Électrotechnique et ÉlectroniqueNovembre 2001 - version 0.8
CHAPITREI
Table des matières
I Table des matières3
I Signaux aléatoires5
1 Description d"un signal aléatoire................................. 5
1.1 Description complète................................... 5
1.2 Description partielle................................... 6
1.2.1 Description à un instant............................ 6
1.2.2 Description à deux instants.......................... 6
2 Propriétés fondamentales..................................... 7
2.1 Stationnarité....................................... 7
2.2 Ergodisme........................................ 8
2.3 Le syndrome gaussien.................................. 9
2.4 Signaux aléatoires à temps discret............................ 11
3 Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne finie.... 11
3.1 Analyse dans le domaine temporel............................ 11
3.1.1 Définitions et propriétés............................ 11
3.1.2 Notion de bruit blanc............................. 13
3.2 Transformation des fonctions aléatoires par filtrage................... 14
3.2.1 Rappel..................................... 14
3.2.2 Transformation de la moyenne........................ 14
3.2.3 Théorème, ou formule des interférences................... 15
3.3 Analyse dans le domaine fréquentiel........................... 17
3.4 La représentation de Cramér............................... 20
3.5 Bruit blanc à temps discret................................ 21
4 Un exemple d"application : le filtrage adapté........................... 21
4.1 Contexte......................................... 21
4.2 Maximisation du rapport signal-à-bruit......................... 21
4.3 Approche probabiliste.................................. 23
4.4 Notes sur le choix du signal test, signaux pseudo-aléatoires............... 24
Exercices et problèmes......................................... 26CHAPITREI
SIGNAUX ALÉATOIRES
DE LA MÊME MANIÈREqu"une variable aléatoire est un ensemble de valeurs caractérisé par une loi de
probabilité, on appellerasignal aléatoire,ouprocessus aléatoireun ensemble defonctionsauquel on
adjoint une loi de probabilité.Existe-il des signaux naturels qui soient intrinsèquement aléatoires ? La plupart des phénomènes non-
quantiques peuvent être décrits à l"aide d"équations de la physique : le jeu de pile ou face, si l"on connaît
les caractéristiques physiques de la pièce, l"impulsion donnée, la densité et la composition de l"air, la tempé-
rature, la pression atmosphérique, la gravité locale, est un jeu dont le résultat est parfaitement prévisible. De
même pour le tirage du loto. Simplement le système dépendant d"un trop grand nombre de variables et de
paramètres devient trop compliqué à décrire. D"autres exemples sont le signal de parole, l"électromyogramme
ou la mesure de l"activité cérébrale, dont on peut espérer qu"ils ne résultent pas de " tirages au hasard », sont
caractérisés comme des signaux aléatoires. D"autres signaux sont impossibles à caractériser "a priori». Il
s"agit en particulier d"un message transmis sur une ligne téléphonique (ou autre) : du point de vue du récepteur,
ce signal est aléatoire jusqu"à sa réception. En effet si ce signal était déjà connu du récepteur, son contenu
informationnel serait nul et il serait inutile de le transmettre. Ainsi, on pourra modéliser comme des signaux
aléatoires les signaux dont le processus de production est trop compliqué à décrire, ou méconnu, ou des signaux
pour lesquels l"aléa provient de la propre incertitude de l"observateur. À partir d"un modélisation probabiliste,
il faut alors espérer que l"on pourra aboutir à une caractérisation intéressante et à des outils de traitement qui
pourront permettre d"extraire de l"information des signaux aléatoires.Notation
On noteraX(t,
ω)un signal aléatoireX. Il s"agit d"un ensemble de fonctions de la variablet, cet ensembleétant indexé par la variable
ω. Un signal aléatoire est une quantité bivariée, dépendant à la fois du tempst et de l"épreuve ω. Lorsque l"épreuve est fixée, par exempleω=ω i , on obtient uneréalisationdu processus aléatoire que l"on noteraX(t, i )ou plus simplementx i (t). Lorsque la variabletest fixée, le processus aléatoire se réduit alors à une simple variable aléatoire. En considérant le processus pourt=t i , on obtient ainsi une variable aléatoireX(t i ,ω), que l"on noteraX i (ω),ouX i . Enfin, on noterax i les valeurs prises par la variable aléatoireX i1 Description d"un signal aléatoire
Les signaux aléatoires pourront être caractérisés par le biais de deux types de description : une description
complète qui permet de caractériser complètement le processus, mais qui nécessite une connaissance énorme,
et une caractérisation partielle, à partir des moments du processus aléatoire.1.1 Description complète
X(t,ω)est connu si?t
1 ,t 2 ,...,t k ,et?k, on connaît la loi conjointe p X 1 ,X 2 ,...,X k (x 1 ,x 2 ,...,x k oùX 1 ,X 2 ,...,X k sont les variables aléatoires associées auxkinstants :X(t 1 ,ω),X(t 2 ,ω),...,X(t k ,ω). En fait, ceci est équivalent à dire que l"on connaîtX(t, ω)si l"on connaît les lois de toutes les variables aléatoiresPage 6Chapitre I. Signaux aléatoires
X(t i,ω), ainsi que toutes les interactions entre ces variables, et ceci?i... La connaissance à avoir est donc
gigantesque, et le plus souvent inaccessible, et l"on devra se contenter d"unedescription partielle.1.2 Description partielle
1.2.1 Description à un instant
On dit queX(t,
ω)est connu à un instant, si,?t
1 , on connaît la loi de la variable aléatoireX(t 1 ,ω). Celle-ciest simplement une variable aléatoire au sens habituel, que l"on peut en général (si ceux-ci existent et hors
quelques cas de figures exceptionnels) caractériser à l"aide desmoments.