Équations des coniques - Meabilis
Exercices - Coniques: corrigé Il s’agit cette fois d’une hyperbole, d’excentricité √ 2 Ses sommets sont atteints en θ= π/4, avec ρ= 1 1+ √ 2 et θ= 5π/4, avec ρ= 1 1− √ 2 Les coordonnées cartésiennes de ces sommetssontrespectivement: x= √ 2 2 × 1 1 + √ = 1 2 + √ y= √ 2 2 × 1 √ = 1 √ et x= − √ 2 2 × 1
LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES ET CONIQUES - CORRIGÉ
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Les coniques - Collège du Sud
(en particulier dans le cadre des exercices) Finalement, nous montrerons que toutes les courbes du plan d e nies par equation cart esienne du second degr e sont des coniques Pour tous les calculs de g eom etrie analytique de ce document, nous travaillerons avec un rep ere orthonorm e du plan L Karth Robadey coniques 17 2 2021 (7:58)
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Exercices de Math´ematiques : coniques
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Fiche : Coniques
Année scolaire 2008-09 © www mathsecondaire net page 7 - 8 V- L’ellipse Soit (E ) une ellipse de centre O Considérons le repère orthonormé
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Les coniquesF
F' gs s'c'c A A' P QQ'Table des matieres
Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Generalites
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ellipses
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Hyperboles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Directrices et excentricite des coniques a centre
. . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Paraboles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Equations du second degres a deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Exercices de repetitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Reponses des exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Corriges d'une selection d'exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1Introduction
La premiere loi de Kepler stipule que les planetes du systeme solaire decrivent des trajec- toires elliptiques dont le Soleil occupe un des foyers. Dans le cadre du cours de quatrieme annee, nous allons demontrer cette loi mais, pour cela, il nous faut savoir precisement ce qu'est une ellipse (une partie de cette demonstration est faite dans le dernier exercice du script, le 41Dans ce but, nous commencerons par montrer que l'ellipse est un cas particulier des courbes du plan appelees les coniques. Nousetudierons ensuite les dierentes coniques non- degenerees (ellipses, hyperboles et paraboles) et verrons diverses applications en ingenierie (en particulier dans le cadre des exercices). Finalement, nous montrerons que toutes les courbes du plan denies par equation cartesienne du second degre sont des coniques. Pour tous les calculs de geometrie analytique de ce document, nous travaillerons avec un repere orthonorme du plan.2
1 Generalites
Soitaetgdeux droites de l'espace qui se coupe avec un angle aigu <90en un point S. Notonsla surface engendree par la rotation degautour dea(voir la gure1 ).p ga S a b kFigure1 { construction d'une conique1.1 Denitions
La surfaceest unc^one de revolution, la droitegest unegeneratricede , la droiteasonaxe, le pointSsonsommetet l'angle aigu entreaetgson demi-angle d'ouverture.Soitun plan. Sietasont secants, nous notonsl'angle entreaet, sinon, nous posons= 0.1.2 Denition (Apollonius, III
es. av. J.-C.)L'intersection entre un c^one de revolution et un plan est uneconique.Il peut se produire plusieurs cas particuliers qui ont deja ete etudies dans de precedents
cours de mathematiques : (a)Si S2, nous obtenons soit :
(i) un p ointsi > , (ii) une droite si =, (iii) deux droites s ecantessi < . (b)Si S62et si= 90nous obtenons un cercle.
34 Les coniques
Dans les cas precedents, nous parlons deconiques degenereessinon nous sommes dans une des situations suivantes :1.3 Denitions
Si l'intersection du planet du c^one de revolutionn'est pas une conique degeneree, il s'agit (voir gure 2 (a)d'uneellipsesi > , (b)d'uneparabolesi=, (c)d'unehypberbolesi < .Figure2 { coniques non degenerees (source : [2]) Pour toute la suite de ce script, nous nous interesserons au cas ou la conique obtenue n'est pas degeneree et l'utilisation du terme coniquesous-entendraconique non- degeneree . Ainsi, pour toute conique, nous pourrons construire une sphere tangente et:1.4 Denitions
Unesphere de Dandelinest une sphere qui centre sur l'axe du c^one de revolution et qui est tangente interieure au c^one de revolutionet tangente au plan.A l'aide d'une sphere de Dandelin, nous pouvons construire les elements suivants (voir gure 3 le point de tangenceFentreet, le cerclec=\, le plan0contenantc. la droited=\0,L. Karth Robadey22.10.2022 (21:54)
1. Generalites 5p
k cf s pd F A A'Figure3 { sphere de Dandelin, directriced, foyerF, axe focalfet sommetsA;A0d'une conique\ la droitefperpendiculaire adpassant parF, les intersectionsA; A0defavec la conique (dans le cas d'une parabole, il y a une seule intersection).1.5 Denitions
(a)Le pointFest unfoyerde la conique. (b)La droitedest sadirectricepar rapport au foyerF. (c)La droitefest sonaxe focal. (d)Le(les) point(s)A(etA0) est(sont) son(ses)sommet(s).1.6 Remarque Dans le cas d'une parabole, il existe une unique sphere de Dandelin et donc un unique foyer et une unique directrice. Sinon il y a toujours deux spheres de Dandelin et il y a alors deux foyers distincts ayant chacun une directrice. Dans ce cas, le milieu du segment reliant les foyers s'appelle lecentrede la conique et nous parlons deconique centreeNous avons alors le resultat suivant :
1.7 Theoreme
Pour tout pointPde la conique, nous avons1
PF(P;d)=cos()cos():
Ce rapport est l'excentricitede la conique.1. Pour deux objetso1;o2du plan ou de l'espace, la distance entreo1eto2, notee(o1;o2), est la
longueur du plus court chemin reliant un point deo1avec un point deo2.