Le second degré - Lycée dAdultes
Si un trinôme f(x) = ax2 +bx+c admet deux racines, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S = b a et P = c a 3 3Application Parfois, certaines équations admettent des solutions très simples que l’on appellent "racines évidentes" Lorsque l’on connaît une telle solution, le produit des racines permet alors de trouver
Trinômes du second degré
V somme et produit des deux racines d'un trinôme: Elément de simplification des calculs, somme et produit des racines Soit P(x) =ax² + bx + c avec a≠0 ∆= bac2 −4 plaçons nous dans le cas du discriminant positif ou nul rappel ; ∆≥0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est
1 Fonctions polynôme de degré 2 - WordPresscom
2 4 Somme et produit des racines d’un trinôme Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur Rpar f(x) = ax2 +bx+c, avec a 6= 0 Si f admet les réels x1 et x2 pour racines, alors : • La somme des racines est : s = x1+x2 = − b a; • Le produit des racines est : p = x1×x2 = c a Propriété 5 Remarque 3
3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE
On sait que le produit x12x des racines est 999 c a = Puisque x1 =1 alors x2 =999 5 Recherche de deux réels connaissant leur somme S et leur produit P Deux nombres réels u et v ont pour somme Suv= + et pour produitPuv= , s'ils sont solutions de l'équation du second degré xSxP2 − +=0 Les deux réls u et v n'existent que si de plus SP2
Cours de mathématiques – Enseigne- ment de spécialité de
b) Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré Propriété : Soit P un polynôme du second degré défini par P ( x )= ax 2 + bx + c avec a ≠ 0 ayant deux deux racines x 1 et x 2 , éventuellement égales
Le second degré - AlloSchool
3 Factorisation, somme et produit des racines 6 qu’elles existent X et Y B Nous sommes dans le cas d’un tri-nôme A 6=0 Variables: A 6= 0, B, C, X, Y
SECOND DEGRÉ (Partie 2) - maths et tiques
a = 1, b = 3 et c = 10 donc D = #−4& = 32 – 4 x 1 x 10 = –31 Comme D < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle Propriété : La somme S et le produit P des racines d’un polynôme du second degré
ÉQUATIONS – INÉQUATIONS– SYSTÈMES
Trouver les racines en utilisant la somme S et le produit P S = – 10 et P = 21 ⇒ x1 = – 7 et x 2 = – 3 2- Former l’équation du second degré dont les racines sont : x 1 = 4 et x 2 = – 3 x1 = 4 et x 2 = – 3 ⇒ S = 1 et P = – 12 d’où x 2 – x – 12 = 0 3- Déterminer les racines x 1 et x 2 d’une équation du second
CLASSE DE PREMIERE C/E - Tous les sujets dexamens (BAC, BEPC)
- utiliser l'expression de la somme et du produit des racines d'un trinôme du second degré lors de la résolution de problèmes On rappellera le résultat vu en seconde concernant la mise en facteur du terme (x-a) pour un polynôme s'annulant en a Est hors programme toute théorie générale des polynômes 3 Equations, inéquations et
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Le second degré
Table des matières
1 La forme canonique du trinôme
21.1 Le trinôme du second degré
21.2 Quelques exemples de formes canoniques
21.3 Forme canonique du trinôme
32 Racines du trinôme
42.1 Définition
42.2 Le discriminant est positif
52.3 Le discriminant est nul
52.4 Le discriminant est négatif
62.5 Conclusion
63 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines
73.1 Factorisation du trinôme
73.2 Somme et produit des racines
83.3 Application
84 Signe du trinôme et inéquation du second degré
94.1 Le discriminant est positif
94.2 Le discriminant est nul ou négatif
104.3 Conclusion
105 Représentation du trinôme
116 Équation paramètrique
127 Équation ou inéquation se ramenant au second degré
137.1 Équation rationnelle
137.2 Inéquation rationnelle
147.3 Équation bicarrée
157.4 Équation irrationnelle
167.5 Somme et produit de deux inconnues
168 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré
178.1 Problème de résistence équivalente
178.2 Un problème de robinet
188.3 Une histoire de ficelle
19 Paul Milan 1 sur21 Première S
1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME
1Laformecanoniquedutrinôme
1.1Letrimômeduseconddegré
Définition 1 :
On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme : P(x)=ax2+bx+caveca,0Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P1(x)=x2+2x8
P2(x)=2x2+3x14
P3(x)=x2+4x5
1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques
La forme canonique d"un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une "astuce" qui consiste à rajouter un termepuis à l"oter de façon à obtenir le début d"un carré parfait.Exemple1 : SoitP1(x)=x2+2x8
Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de (x+1)2=x2+2x+1. On ajoute1puis on le soustrait, ce qui donne : P1(x)=x2+2x+118
=(x+1)29forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =(x+1)232 =(x+13)(x+1+3) =(x2)(x+4)Exemple2 : SoitP2(x)=2x2+3x14 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici2. P2(x)=2
x 2+32 x7!Paul Milan 2 sur21 Première S1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME
on considère que x 2+32 x! est le début de x+34 2 =x2+32 x+916Cela donne :
=2 x 2+32 x+916 9167! =2266664 x+34 2 916
7377775
=2266664 x+34 2 121163
77775forme canonique deP2(x)
on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2266664 x+34 2 1142377775
=2 x+34 114x+34 +114
=2(x2) x+72 !Exemple3 : SoitP3(x)=x2+4x5 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici1. P
1(x)=x24x+5
on considère que x24xest le début de(x2)2=x24x+4. Cela donne : =x24x+44+5 =h(x2)24+5i =h(x2)2+1iforme canonique deP2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1.3Forme canonique du trinôme
Soit un trinôme du second degré :P(x)=ax2+bx+cOn factorise para, cela donne :
P(x)=a
x 2+ba x+ca !Paul Milan 3 sur21 Première S2 RACINES DU TRINÔME
on considère quex2+ba xest le début de x+b2a! 2 =x2+ba x+b24a2.Cela donne :
=a" x 2+ba x+b24a2! b24a2+ca =a266664 x+b2a! 2 b24a2+ca 3 77775=a266664 x+b2a! 2 b24ac4a23