Exercices : Coe cients binomiaux
Exercice 8 Soit n un entier naturel non nul et p n D emontrez que Xn k=p k p = n+ 1 p+ 1 Exercice 9 R esoudre l’ equation suivante: n 1 + n 2 + n 3 = 5n: Exercice 10 Quel est le coe cient de a4b2c3 dans (a b+ 2c)9 Exercice 11 On d e nit P n = P 2k n n 2k et I n = P 2k+1 n n 2k+1 En appliquant le bin^ome de Newton de fa˘con judicieuse
Exercices 3 Sommes, produits et coefficients binomiaux
20 [Réveil binomial ♪♪] (ind) On considère les deux sommes Un ˘ Xn k˘0 ˆ 2n 2k (¡1)k et Vn ˘ nX¡1 k˘0 ˆ 2n 2k¯1 (¡1)k 1 Vérifier que Un ¯iVn ˘(1¯i)2n et en déduire des expressions simplifiées de Un et de Vn 2 Redémontrer que U2p¯1 ˘V2p ˘0 par un changement d’indice LLG \PCSI2 Exercices3 \5
Manipulation des coefficients binômiaux 1 Formule du binôme de
⊲ Corrigé de l’exercice 1 3 Posons f(x) = (1+x)n = Xn k=0 n k xk La fonction f est définie sur R, continue sur R(car polynomiale) et
EXERCICE type c - lewebpedagogiquecom
désigne le coefficient binomial k parmi 3 c'est-à-dire le nombre de chemin aboutissant à k succès Ici on nous demande de calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation Ce qui revient à calculer : P (X > 1) Or, X > 1 est l'événement contraire de 0 aucun succès sur les 3
exos denombrementcor - wwwnormalesuporg
Title: exos_denombrementcor dvi Created Date: 12/1/2011 2:52:18 PM
Probabilités, corrigé de lexercice 1-12
Probabilités, corrigé de l'exercice 1-12 Pour raisonner, remplaçons le « tirage simultané de 4 boules » par « le tirage successif de 4 boules » Nous devons donc distinguer les « tirages de boules dans un ordre donné » des « tirages de boules dans n'importe quel ordre » Notations : B = événement « la boule tirée est blanche » ;
DevoirSurveillén˚5:corrigé
DevoirSurveillén˚5:corrigé PTSIBLycéeEiffel 31janvier2015 Exercice 1 1 (a) Ils’agitdunombredepermutationsdes2npersonnes,soit(2n) (b) Il faut d’abord
Principes de Finance
Le modèle binomial ne nécessite aucune hypothèse sur les préférences des agents, les probabilités d’occurrence des états de la nature futurs ou la rentabilité anticipée du sous-jacent Dans un monde réel, il est probable que les investisseurs manifestent de l’aversion au risque L’espérance de rendement de tout actif
Combinatoire et dénombrement (II)
Exercice n°2: Jules range sur une même étagère 5 romans, 3 polars et 2 BD a Combien existe-t-il de façons différentes de ranger ces 10 livres ? b Même question si maintenant les livres sont rangés par catégorie Exercice n°3: calculer n pour n de 1 à 10 Vérifier votre calcul avec la calculatrice
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Lycée Pierre de Fermat2021/2020
MPSI 1TD
Manipulation des coefficients binômiaux
1 Formule du binôme de Newton
?Exercice1.1.Calculer les quantités suivantes : n k=0(⎷2)n-k?n
k? ,2n?k=0(-3)k?2n k? ,2n?k=0(-3)n-k?2n k? ,2n? k=0(-3)2n-k?2n k? ,2n?k=03 n-2k?2n k? ?Exercice1.2.1. (a) Soitn?N?. Montrer que, pour toutk?[[1,n]],?n
k? =n k? n-1 k-1? (b) En déduire les égalités suivantes, pour toutn?N?, n k=0k?n k? =n2n-1,sin?2,n? k=0(-1)kk?n k? = 0.2. En considérant la fonctionf(x) = (1+x)n, en la développant par la formule du binôme, en dérivant, puis
en l"évaluant pour des valeurs particulières dex, retrouver les deux expressions obtenues dans la question
précédente.3. Établir les égalités suivantes, pour toutn?N?,
n k=0k?n k? =n2n-1,sin?2,n?k=0(-1)kk?n k? = 0, sin?2,n? k=0 k≡0[2]k?n k? =n2n-2,n? k=0 k≡1[2]k?n k? =n2n-2.4. En déduire la somme
n?k=0(-1)k(n-k)?n k??Exercice1.3.En adaptant la méthode de l"exercice précédent consistant àconsidérer la fonctionf(x) =
(1 +x)n, montrer que n k=01 k+ 1? n k? =2n+1-1n+ 1etn? k=0(-1)kk+ 1? n k? =1n+ 1. ?Exercice1.4.Soitx?R.1. Calculer :
n?k=0? n k? cos(kx) etn?k=0? n k? sin(kx).2. En déduire
n? k=0k?n k? sin(kx) etn? k=0? n k? cos2(kx).
2 Sélection des termes d"une somme de coefficients binomiaux
?Exercice2.1.1. Calculer, pour toutn?N?, les quantités suivantes :
I n=? n-12??k=0(-1)k?n
2k+ 1?
etRn=? n2?? k=0(-1)k?n 2k?2. Démontrer queR2n+I2n= 2n.
1 ?Exercice2.2.Calculer, pourn?N, les sommes qui suivent : n k=0 k≡0[3]? n k? ,n? k=0 k≡1[3]? n k? ,n? k=0 k≡2[3]? n k? ?Exercice2.3.Démontrer la relation : ?n?N?,? n 2?? k=0(-1)k3k?n 2k?0?2k?n(-1)k3k?n
2k? = 2 ncos?nπ 3?3 Relations combinatoires
?Exercice3.1.Démontrer, pour tout (n, p, q)?N3,n?p,n?q, n k=0? p k?? q n-k? =?p+q n?Comment cette propriété s"illustre-t-elle sur le trianglede Pascal? en déduire une expression simple pour
n k=0? n k? 2 ?Exercice3.2.Démontrer, pour tout (n, p)?N2tels que 0?p?n, p k=0? n k?? n-k p-k? = 2 p?n p? ?Exercice3.3.Démontrer, de plusieurs manières, pour tout (n, p)?N2tel que 0?n?p, p k=n? k n? =?p+ 1 n+ 1? et interpréter cette relation sur le triangle de Pascal.