Chapitre 4 : Variables aléatoires à densité

pour x ∈ [2;10]et 0 sinon ( densité de Loi Uniforme) a pour "loi de probabilité à densité" la fonction f déﬁnie sur I ⊂ R si et seulement si C f x a b

LOIS CONTINUE (I) Fonction de densité – Loi Uniforme

II - Loi uniforme sur [a ; b] Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b La loi uniforme sur [a ; b], notée U([a; b]), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a; b] par : f (x)= 1 b−a Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a; b]

Loi continue : Partie II Loi uniforme sur [a b

Loi uniforme sur [a ; b] II - Loi uniforme sur [a ; b] Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b La loi uniforme sur [a ; b], notée U([a; b]), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a; b] par : f(x)= 1 b−a Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a; b]

Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle

Loi uniforme Loi exponentielle I) Loi uniforme de probabilité sur [a : b] La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction ???? constante égale à ???? ????−???? sur [????; ????], est appelée loi uniforme sur [????; ????] Soit [????; ????] un intervalle inclus dans [????; ????] et ???? une variable aléatoire suivant la loi

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle Lorsqu’une variable aléatoire X, est continue à valeurs les réels d’un intervalle I de R, sa loi de probabilité, dite continue n’est plus associée à la probabilité de chacune des valeurs En effetP(X = a) = 0 pour tout a 2 I On caractérise la loi de probabilité de X, par la

Probabilités à Densité Mathématiques Bac ES

Loi uniforme sur Définition : Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle lorsque sa densité de probabilité est la fonction constante sur , de valeur : Traduction : ssi : L’espérance mathématique d’une loi uniforme sur : D’où : ou : Car d’après Chasles: du fait que: et C ab 1

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Lois de probabilité à densité Loi normale

de densité f sur I, est : E(X)= Z (I) t f(t)dt 1 3 Loi uniforme : densité homogène 1 3 1 Déﬁnition Définition 3 : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l’intervalle I =[a,b], avec a 6=b, lorsque la densité f est constante sur cet intervalle On en déduit alors la fonction f: f(t)= 1 b −a

Chapitre 11 : Loi à densité - Lycée Paul Rey

Chapitre 11 : Loi à densité I Attendus • Savoir déterminer une probabilité quand on connait la densité (1 page 379) • Calculer une probabilité avec une loi uniforme (7-8 page 381) • Étudier une loi de durée de vie sans vieillissement (11 page 383) • Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle (12 page 383)

Chapitre 4 : Variables aléatoires à densité

est une densité de probabilité appelée loi uniforme sur [a,b] 2°) Variable aléatoire à densité On dit que la VAR X est une variable aléatoire à densité s’il existe une densité de probabilité f telle que ∀x∈R ( )∫ −∞ = ≤ = x F(x) P X x f (t)dt Exemple : la variable X telle que ( ) ∫ −∞ = ≥ ≤≤

EIVL L.G Page 1 sur 5 Probas 3ème A Chapitre 4 Chapitre 4 : Variables aléatoires à densité

1°) Densité de probabilité, définition :

On dit qu"une fonction

RRf®: est une densité de probabilité si : fest continue sur Rsauf éventuellement en un nombre fini de points

RxÎ" , 0)(³xf

1)(=∫

¥-dttf

exemple 1 : on baxsiabxfxRR f sin0],[1 a est une densité de probabilité appelée loi uniforme sur [a,b]

2°) Variable aléatoire à densité

On dit que la VAR

X est une variable aléatoire à densité s"il existe une densité de probabilité ftelle que Rx xdttfxXPxF)()(

Exemple : la variable

X telle que ( )∫¥-=

xdttf bxsibxasiabaxaxsi xXPxF)( 10

Propriétés immédiates : Si

X est une variable aléatoire à densité f alors : - sa fonction de répartition

Fest continue sur R

- en tout point

0xoù f est continue )()("00xfxF=

Fest croissante sur Rà valeurs dans [0 ;1]

b adttfaFbFbXaP)()()(

RaÎ"()0==aXP, ( )∫

+¥=³=>adttfaXPaXP)()(

3°) Fonctions usuelles de VAR à densité

Soit

X est une variable aléatoire à densitéf,

les fonctions XeXg=)(,baXXg+=)((0¹a),²)(XXg=, sont des VAR à densités

4°) Espérance mathématique : Soit

Xune variable aléatoire à densitéf.

Si l"intégrale

¥-dxxfx)(converge, on dit que X admet pour espérance mathématique

¥-=dxxfxXE)()(

Pour l"exemple 1 :

21)()(badxabxdxxfxXE

b a+=)

EIVL L.G Page 2 sur 5 Probas 3ème A Chapitre 4

Exemple de variable à densité n"ayant pas d"espérance mathématique

La loi de Cauchy définie par la densité

)1(1)(2xxfRx+=Î"p On a fcontinue positive sur R et 1)(=∫

¥-dttf cependant ∫

¥-dxxfx)( diverge.

Linéarité de l"espérance mathématique

Si Xet Ysont deux VAR à densités et admettent de espérances mathématique et si

RaÎ alors YaX+ est une VAR à densité

dont l"espérance est ())()(YEXaEYaXE+=+ Espérance d"une fonction de VAR à densité : Si Xest une VAR à densité fadmettant une espérance mathématique et si

RXg®W)(:est 1Cet strictement monotone sur )(WX

alors )(Xg est une VAR à densité et [ ]∫

¥-=dxxfxgXgE)()()(

exemple pour

0¹a []bXaEbaXE+=+)(

5°) Moment d"ordre 2, variance et écart type

Si Xune variable aléatoire à densitéf,et si l"intégrale ∫

¥-dxxfx)(2converge,

La VAR

2X admet pour espérance mathématique ∫

¥-=dxxfxXE)()(22

)(2XEest appelé moment d"ordre 2 de X, si de plus )(XE existe alors ∫

¥--=dxxfXExXV)()]([)(2 converge aussi

)(XV est appelée variance de X et on a []22)()()(XEXEXV-= ())(XVX=s est alors appelée écart type de X.

Exemple pour l"exemple 1 :

12)(

2baXV-=

Propriété : si

X est une VAR à densité qui admet une variance et si 0¹a on a ())(2XVabaXV=+ Produit et somme de deux VAR indépendantes à densités Soit Xet Ydeux VAR, on dit que Xet Y sont indépendantes si ()2,RyxÎ" ()()[]()()yYPxXPyYxXP££=£Ç£ Si Xet Ydeux VAR indépendantes à densitésfet g alors : XYest une VAR à densité et )()()(YEXEXYE= (admis) YXZ+= est une VAR à densités ,et sa densité est le produit de convolution des densités

¥--=-=dttgtxfdttxgtfxh)()()()()( (admis)

de plus si )(XVet )(YVexistent alors )()()(YVXVYXV+=+

EIVL L.G Page 3 sur 5 Probas 3ème A Chapitre 4

6°) Lois usuelles

Loi uniforme sur [a, b] : Une VAR

Xsuit une loi uniforme sur [a,b] si sa densitéf est onbaxsiabxfxRR f sin0],[1 a notation []()baUX,®

Propriétés :

2)(baXE+= et ()

12)(

2baXV-=

Loi exponentielle :Soit

+ÎRl Une VAR Xsuit une loi exponentielle de paramètre l si sa densitéf est -000)(xsiexsixfxll

Remarque : On a bien

1)(=∫

¥-dttf Propriétés :ls

1)()(==XXE

Loi normale centrée réduite : Une VAR

Xsuit une loi normale centrée réduite

(notation : ))1;0(NX® si sa densitéf est 2 2 21)(
x exfRx -=Î"p densité de N(0;1)

00,10,20,30,40,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x f(x)

Propriétés :

10 )X(V)X(E Fonction de répartition :( )∫¥--))) =F xtdtexp2 2 2 et on a )x()x(FF-=-1

Loi normale

));(smN:Une VAR Xsuit une loi normale de paramètres met s(0>s) si sa densitéf est 2 21
21)(
=Î"s ps mx exfRx

Propriétés -

));(smNX®si et seulement si ))1;0(NmX®- set ???= ss)X(m)X(E si ));(111smNX® et ));(222smNX® sont indépendantes alors ));(2 22

12121sss+=+®+mmNXX

EIVL L.G Page 4 sur 5 Probas 3ème A Chapitre 4

Travaux dirigés :

Exercice 1:

Une machine est chargée de conditionner des paquets de farine. On note M la variable qui associe la masse à chaque paquet. M suit une loi N(m,30) m étant réglable par l"opérateur chargé de la machine. A la livraison un paquet est refusé si sa masse est inférieure à 955 grammes.

A quelle valeur doit-on régler m pour que la probabilité qu"un paquet soit refusé soit égale

à 1% ?

Exercice 2 :

Une machine automatique usine des billes de roulements à billes. Le diamètre des billes suit une loi normale dont la moyenne m dépend de l"opérateur Et l"écart type s dépend de la précision de la machine. On entreprend une production dont le diamètre doit être égal à 8,000

±0,0012mm

Un tri par calibrage élimine les billes hors-normes.

1°) On a une machine neuve dont l"écart type est s=0,001 qui a été réglée pour une moyenne

m=8,000. Calculer le pourcentage de billes éliminées.

2°) Après un usage important la machine a perdu de sa précision.

L"écart type est passé à 0,0011 et le réglage plus difficile donne une moyenne m=8,001 Calculer le pourcentage des billes éliminées.

Exercice 3 :

Une entreprise fabrique des pièces métalliques rectangulaires dont les cotes sont exprimées en millimètres.

Un contrôle de qualité consiste à vérifier que la longueur et la largeur de ces pièces

sont conformes aux normes en vigueur. La probabilité pour qu"une pièce prélevée au hasard soit conforme est p=0.9.

On prélève au hasard 10 pièces dans la production ce prélèvement est assimilable à un tirage

avec remise. on appelle X la variable aléatoire qui à chacun des tirages associe le nombre de pièces conforme dans le tirage. 1. donner la loi de probabilité de X 2. Calculer la probabilité pour que 8 pièces au moins soient conformes. Une partie des pièces de la production est fabriquée par une machine M1

On note L et l les variables aléatoires qui à chaque pièce prélevée au hasard dans un lot

fabriqué par la machine M1 associent sa longueur et sa largeur. On suppose que L suit une loi normale N(250 ;1,94) et que l suit une loi normale N(150,1.52) 3. calculer la probabilité pour que la longueur d"une pièce prélevée au hasard soit comprise entre 246 et 254 4. Calculer la probabilité pour que la largeur d"une pièce prise au hasard soit comprise entre 147 et 153.

EIVL L.G Page 5 sur 5 Probas 3ème A Chapitre 4 Une pièce est conforme lorsque sa longueur est comprise entre 246 et 254 et sa largeur est

comprise entre 147 et 153. 5. en supposant que L et l sont deux variables indépendantes calculer la probabilité pour qu"une pièce prélevée au hasard dans le lot soit conforme. La fabrication est aussi assurée par une seconde machine M2., la probabilité pour qu"une pièce fabriquée par M2 soit conforme est p=0.879. La machine M1 fournit 60% de la production totale et la machine M2 fournit le reste de la production. On prélève au hasard une pièce dans la production totale de la journée.

On définit les événements suivants :

A : la pièce provient de M1

B : la pièce provient de M2

C : la pièce est conforme

6. Calculer p(A), p(B),p(C/A), p(C/B), p(C

ÇA), p(CÇB)

7. En déduire p(C)

Exercice 4: Loi de KHI2

1) Soit X une VAR de densité f déterminer la densité Y=X² 2) On suppose que X suit une loi N(0,1) déterminer la densité et l"espérance et la variance de la variable aléatoire Y=X² .

On dit que Y suit une loi suit une loi du KHI2

Exercice 5 : Loi log-normale

1) Soit X une VAR de densité f déterminer la densité Y=exp(X)

2) On suppose que X suit une loi N(m,s) déterminer la densité l"espérance et la variance de la variable aléatoire Y=exp(X) On dit que Y suit une loi log-normale car ln(Y) suit une loi normale.

Exercice 6: Loi gamma

On rappelle que :

][+¥Î";0x dtetxtx∫ +¥--=G01)( ;][+¥Î";0x )()1(xxxG=+G ;NnÎ"!)1(nn=+G b et t étant deux réels strictement positifs donnés montrer que la fonction f définie par >G£ 0)(00 1 xsibtxexsi xftt bx est une densité de probabilité

Si une variable aléatoire X a pour sa densité de probabilité la fonction fprécédemment

définie, on dit alors que X suit la loi gamma de paramètres b et t. Soit X suivant la loi gamma de paramètre b et t, montrer que E(X)=bt et tbXV 2)(=quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

[PDF] Chapitre 4 : Variables aléatoires à densité

1°) Densité de probabilité, définition :

On dit qu"une fonction

RxÎ" , 0)(³xf

1)(=∫

¥-dttf

2°) Variable aléatoire à densité

On dit que la VAR

Exemple : la variable

X telle que ( )∫¥-=

Propriétés immédiates : Si

Fest continue sur R

0xoù f est continue )()("00xfxF=

Fest croissante sur Rà valeurs dans [0 ;1]

RaÎ"()0==aXP, ( )∫

3°) Fonctions usuelles de VAR à densité

X est une variable aléatoire à densitéf,

4°) Espérance mathématique : Soit

Xune variable aléatoire à densitéf.

Si l"intégrale

¥-=dxxfxXE)()(

Pour l"exemple 1 :

21)()(badxabxdxxfxXE

La loi de Cauchy définie par la densité

¥-dttf cependant ∫

¥-dxxfx)( diverge.

Linéarité de l"espérance mathématique

RaÎ alors YaX+ est une VAR à densité

RXg®W)(:est 1Cet strictement monotone sur )(WX

¥-=dxxfxgXgE)()()(

0¹a []bXaEbaXE+=+)(

5°) Moment d"ordre 2, variance et écart type

¥-dxxfx)(2converge,

La VAR

2X admet pour espérance mathématique ∫

¥-=dxxfxXE)()(22

¥--=dxxfXExXV)()]([)(2 converge aussi

Exemple pour l"exemple 1 :

2baXV-=

Propriété : si

¥--=-=dttgtxfdttxgtfxh)()()()()( (admis)

6°) Lois usuelles

Loi uniforme sur [a, b] : Une VAR

Propriétés :

2)(baXE+= et ()

2baXV-=

Loi exponentielle :Soit

Remarque : On a bien

1)(=∫

¥-dttf Propriétés :ls

1)()(==XXE

Loi normale centrée réduite : Une VAR

Xsuit une loi normale centrée réduite

00,10,20,30,40,5

Propriétés :

Loi normale

Propriétés -

12121sss+=+®+mmNXX

Travaux dirigés :

Exercice 1:

à 1% ?

Exercice 2 :

±0,0012mm

1°) On a une machine neuve dont l"écart type est s=0,001 qui a été réglée pour une moyenne

2°) Après un usage important la machine a perdu de sa précision.

Exercice 3 :

On définit les événements suivants :

A : la pièce provient de M1

B : la pièce provient de M2

C : la pièce est conforme

6. Calculer p(A), p(B),p(C/A), p(C/B), p(C

ÇA), p(CÇB)

7. En déduire p(C)

Exercice 4: Loi de KHI2

On dit que Y suit une loi suit une loi du KHI2

Exercice 5 : Loi log-normale

1) Soit X une VAR de densité f déterminer la densité Y=exp(X)

Exercice 6: Loi gamma

On rappelle que :