Probabilités à Densité Mathématiques Bac ES

pour x ∈ [2;10]et 0 sinon ( densité de Loi Uniforme) a pour "loi de probabilité à densité" la fonction f déﬁnie sur I ⊂ R si et seulement si C f x a b

LOIS CONTINUE (I) Fonction de densité – Loi Uniforme

II - Loi uniforme sur [a ; b] Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b La loi uniforme sur [a ; b], notée U([a; b]), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a; b] par : f (x)= 1 b−a Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a; b]

Loi continue : Partie II Loi uniforme sur [a b

Loi uniforme sur [a ; b] II - Loi uniforme sur [a ; b] Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b La loi uniforme sur [a ; b], notée U([a; b]), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a; b] par : f(x)= 1 b−a Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a; b]

Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle

Loi uniforme Loi exponentielle I) Loi uniforme de probabilité sur [a : b] La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction ???? constante égale à ???? ????−???? sur [????; ????], est appelée loi uniforme sur [????; ????] Soit [????; ????] un intervalle inclus dans [????; ????] et ???? une variable aléatoire suivant la loi

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle Lorsqu’une variable aléatoire X, est continue à valeurs les réels d’un intervalle I de R, sa loi de probabilité, dite continue n’est plus associée à la probabilité de chacune des valeurs En effetP(X = a) = 0 pour tout a 2 I On caractérise la loi de probabilité de X, par la

Probabilités à Densité Mathématiques Bac ES

Loi uniforme sur Définition : Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle lorsque sa densité de probabilité est la fonction constante sur , de valeur : Traduction : ssi : L’espérance mathématique d’une loi uniforme sur : D’où : ou : Car d’après Chasles: du fait que: et C ab 1

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Lois de probabilité à densité Loi normale

de densité f sur I, est : E(X)= Z (I) t f(t)dt 1 3 Loi uniforme : densité homogène 1 3 1 Déﬁnition Définition 3 : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l’intervalle I =[a,b], avec a 6=b, lorsque la densité f est constante sur cet intervalle On en déduit alors la fonction f: f(t)= 1 b −a

Chapitre 11 : Loi à densité - Lycée Paul Rey

Chapitre 11 : Loi à densité I Attendus • Savoir déterminer une probabilité quand on connait la densité (1 page 379) • Calculer une probabilité avec une loi uniforme (7-8 page 381) • Étudier une loi de durée de vie sans vieillissement (11 page 383) • Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle (12 page 383)

Chapitre 4 : Variables aléatoires à densité

est une densité de probabilité appelée loi uniforme sur [a,b] 2°) Variable aléatoire à densité On dit que la VAR X est une variable aléatoire à densité s’il existe une densité de probabilité f telle que ∀x∈R ( )∫ −∞ = ≤ = x F(x) P X x f (t)dt Exemple : la variable X telle que ( ) ∫ −∞ = ≥ ≤≤

Savoir

Rappels utiles

Epreuve de Bernoulli :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues : " succés » avec une probabilité . " échec » avec une probabilité .

Schéma de Bernoulli :

Un schéma de Bernoulli est une succession d'épreuves de Bernoulli,identiques et in- dépendantes les unes des autres.

Notons que les tirages se font avec remise.

La loi binomiale :

La loi binomiale découle d'un schéma de Bernoulli. Dans ces conditions, la probabi- lité d'obtenir "» succés sur "» épreuves indépendantes (ou avec remise) est :

Notons que :

les épreuves sont indépendantes, elles comportent chacune deux issues (succés, échec) et sont identiques. sur la loi binomiale : .Notation : Soi t une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres : et .

SAVOIR

A 1 p 1p- 2 3 n PX= n p 1p- n- n n! !n-! n 4 a X n30=p04= Liv re5 - 00 Savoir.fm Page 1 Lundi, 20. octobre 2014 5:59 17 2

Savoir

On note : , cad .

Espérance et variance :

Soit: et .

Variable aléatoire continue

Définition :

U ne variable aléatoire continue est une fonction qui, à chaque issue d'une expé- rience, assoc ie u n no mbre réel d'un intervalle de , ou tout entier.

Remarque 1 :

En continue, : c'est la même chose

Ain si, l'événement la variable aléatoire est comprise entre a et b s'écrit :

De plus :

Remarque 2 :

En continu : ,always

Densité de probabilité

X?Bnp;X?B30 04;

X?Bnp;EXn . p=VXn . p.1p-=

B 1 X I?? 2 et ou et!! Xab? aXb ou aXb ou aXb ou aXb

Pa X bPa X b=

Pa Xb=

Pa X b=

PX=0=!

C Liv re5 - 0 0 Savoir.fm Page2 Lundi, 20. octobre 2014 5:59 17 7

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Loi uniforme sur

Définition :

Une v ariable aléatoire suit une loi uniforme sur l'intervalle lorsque sa densité de probabilité est la fonction constante sur , de va leur : .

Traduction :

ssi : . L'espérance mathématique d'une loi uniforme sur :

D'où :

ou .

Car d'après Chasles :

du fait que : et. ab 1 Xabab fab 1 ba- 2 X?? ab fx 1 ba- ------------si x ab

0 sinon

3ab

EXxfxxd

=EXxfxx d a b EX x ba- ------------x EXd a b x 2 2ba- a b EX b 2 a 2 2ba- --------------------EX ba-ba+ 2ba- EX ba+ 2 ------------=EX ab+ 2 xfxxd xfxxxfxxxfxxd b +d a b +d a xfxxd b a xfxxd a

0=xfxxd

b 0= Liv re5 - 0 0 Savoir.fm Page7 Lundi, 20. octobre 2014 5:59 17 2

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On note : , cad .

Espérance et variance :

Soit:et.

Variable aléatoire continue

Définition:

U ne variable aléatoire continue est une fonction qui, à chaque issue d'une expé- rience, asso ci e u n nombre réel d'un intervallede, ou tout entier.

Remarque 1:

En continue, : c'estla même chose

Ai nsi, l'événement lavariable aléatoire est comprise entre a et b s'écrit :

De plus :

Remarque 2:

En continu : ,always

Densité de probabilité

X?Bnp;X?B30 04;

X?Bnp;EXn . p=VXn . p.1p-=

B 1 X I?? 2 et ou et!! Xab? aXb ou aXb ou aXb ou aXb

Pa X bPa X b=

Pa Xb=

Pa X b=

PX=0=!

C Liv re5 - 0 0 Savoir.fm Page2 Lundi, 20. octobre 2014 5:59 17 7

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Loi uniforme sur

Définition :

Une v ariable aléatoire suit une loi uniforme sur l'intervalle lorsque sa densit éd eprobabilit é e st lafoncti onconstante sur, de v aleur :.

On no te : .

Traduction :

ssi : . L'espérance mathématique d'une loi uniforme sur :

D'où :

ou .

Car d'après Chasles :

du fait que : et . ab 1 Xabab fab 1 ba- X?? ab 2 X?? ab fx 1 ba- ------------ si x ab

0 sinon

3ab

EXxfxxd

=EXxfxx d a b EX x ba- ------------x EXd a b x 2 2ba- a b EX b 2 a 2 2ba- --------------------EX ba-ba+ 2ba- EX ba+ 2 ------------=EX ab+ 2 xfxxd xfxxxfxxxfxxd b +d a b +d a xfxxd b a xfxxd a

0=xfxxd

b 0= Liv re5 - 0 0 Savoir.fm Page7 Lundi, 20. octobre 2014 5:59 17

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Loi uniforme sur

Définition :

Une v ariable aléatoire suit une loi uniforme sur l'intervalle lorsque sa densit éd eprobabilit é e st lafoncti onconstante sur, de v aleur :.

On no te : .

Traduction :

ssi : . L'espérance mathématique d'une loi uniforme sur :

D'où :

ou .

Car d'après Chasles :

du fait que : et. ab 1 Xabab fab 1 ba- X?? ab 2 X?? ab fx 1 ba- ------------si x ab

0 sinon

3ab

EXxfxxd

=EXxfxx d a b EX x ba- ------------x EXd a b x 2 2ba-quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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Rappels utiles

Epreuve de Bernoulli :

Schéma de Bernoulli :

Notons que les tirages se font avec remise.

La loi binomiale :

Notons que :

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On note : , cad .

Espérance et variance :

Soit: et .

Variable aléatoire continue

Définition :

Remarque 1 :

En continue, : c'est la même chose

De plus :

Remarque 2 :

En continu : ,always

Densité de probabilité

X?Bnp;X?B30 04;

X?Bnp;EXn . p=VXn . p.1p-=

Pa X bPa X b=

Pa Xb=

Pa X b=

PX=0=!

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Loi uniforme sur

Définition :

Traduction :

D'où :

Car d'après Chasles :

0 sinon

EXxfxxd

0=xfxxd

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On note : , cad .

Espérance et variance :

Soit:et.

Variable aléatoire continue

Définition:

Remarque 1:

En continue, : c'estla même chose

De plus :

Remarque 2:

En continu : ,always

Densité de probabilité

X?Bnp;X?B30 04;

X?Bnp;EXn . p=VXn . p.1p-=

Pa X bPa X b=

Pa Xb=

Pa X b=

PX=0=!

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Loi uniforme sur

Définition :

On no te : .

Traduction :

D'où :

Car d'après Chasles :

0 sinon

EXxfxxd

0=xfxxd

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Loi uniforme sur

Définition :

On no te : .

Traduction :

D'où :

Car d'après Chasles :

0 sinon

EXxfxxd