Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

pour x ∈ [2;10]et 0 sinon ( densité de Loi Uniforme) a pour "loi de probabilité à densité" la fonction f déﬁnie sur I ⊂ R si et seulement si C f x a b

LOIS CONTINUE (I) Fonction de densité – Loi Uniforme

II - Loi uniforme sur [a ; b] Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b La loi uniforme sur [a ; b], notée U([a; b]), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a; b] par : f (x)= 1 b−a Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a; b]

Loi continue : Partie II Loi uniforme sur [a b

Loi uniforme sur [a ; b] II - Loi uniforme sur [a ; b] Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b La loi uniforme sur [a ; b], notée U([a; b]), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a; b] par : f(x)= 1 b−a Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a; b]

Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle

Loi uniforme Loi exponentielle I) Loi uniforme de probabilité sur [a : b] La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction ???? constante égale à ???? ????−???? sur [????; ????], est appelée loi uniforme sur [????; ????] Soit [????; ????] un intervalle inclus dans [????; ????] et ???? une variable aléatoire suivant la loi

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle Lorsqu’une variable aléatoire X, est continue à valeurs les réels d’un intervalle I de R, sa loi de probabilité, dite continue n’est plus associée à la probabilité de chacune des valeurs En effetP(X = a) = 0 pour tout a 2 I On caractérise la loi de probabilité de X, par la

Probabilités à Densité Mathématiques Bac ES

Loi uniforme sur Définition : Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle lorsque sa densité de probabilité est la fonction constante sur , de valeur : Traduction : ssi : L’espérance mathématique d’une loi uniforme sur : D’où : ou : Car d’après Chasles: du fait que: et C ab 1

Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

Lois de probabilité à densité Loi normale

de densité f sur I, est : E(X)= Z (I) t f(t)dt 1 3 Loi uniforme : densité homogène 1 3 1 Déﬁnition Définition 3 : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l’intervalle I =[a,b], avec a 6=b, lorsque la densité f est constante sur cet intervalle On en déduit alors la fonction f: f(t)= 1 b −a

Chapitre 11 : Loi à densité - Lycée Paul Rey

Chapitre 11 : Loi à densité I Attendus • Savoir déterminer une probabilité quand on connait la densité (1 page 379) • Calculer une probabilité avec une loi uniforme (7-8 page 381) • Étudier une loi de durée de vie sans vieillissement (11 page 383) • Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle (12 page 383)

Chapitre 4 : Variables aléatoires à densité

est une densité de probabilité appelée loi uniforme sur [a,b] 2°) Variable aléatoire à densité On dit que la VAR X est une variable aléatoire à densité s’il existe une densité de probabilité f telle que ∀x∈R ( )∫ −∞ = ≤ = x F(x) P X x f (t)dt Exemple : la variable X telle que ( ) ∫ −∞ = ≥ ≤≤

P(fAg) =n!+1P([AN][[AM]) =n!+1p′= 0

P(aXb) =∑

x i2[a;b]P(X=xi)

P(X=a) = 0 a2I

P(X2[a;b]) [a;b] I

X xab

P(X2[a;b]) =P(aXb) =∫

b a f(x)x X IR f [1;3]f(x) =3 4 (x2)2+3 4 b a

0:20:4

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0

P(2X3) =P(X= 2) +P(X= 2;5) +P(X= 3)

P(1X3) = 1

E(X) = 10;25 + 1;50;2 + 20;1 + 2;50;3 + 30;15

f(x) =3 4 (x2)2+3 4

0:10:20:30:40:50:60:7

0:10:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:00:5

P(1;3X2;7) =∫

2;7

1;3f(x)x=

[F(x)]2;7

1;3= (2;7)F(1;3)

ɍF f

f [1;3]

F(x) =1

4 (x2)3+3 4 xP(1;3X2;7) = 0;8785

P(1X3) =

F(3)F(1) = 1

E(X) =∑xiP(X=xi)

E(X) =∫

b a xf(x)x V(X) =∑(xiE(X))2P(X=xi) =∑x2iP(X=xi)[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2

V(X) =∫

b a x2f(x)x[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2 V

X ĕ P(X=xi) ɍ xi

X X P(Xxi)

X [a;b]R f

XF(x) =P(Xx) =∫

x a f(t)tx2[a;b]

F(a) = 0

f R [a;b]U[a;b]

X [a;b]R

U[a;b]

f 8 :f(t) =1 ba t2[a;b] f(t) = 0 [u;v][a;b]P(uXv) =∫ v u1 bat=vu ba f(t) =1 ba[a;b]

0:20:40:60:81:0

a b 1 ba× 1

F(x) =P(Xx)

0:20:40:60:81:0

0:2 a b

X U[a;b] f

P(aXb) =P(X2[a;b]) = 1

x2[a;b]P(X=x) = 0 b a xf(x)x=∫ b ax bax=a+b 2

E(X) =∫

b ax bax=1 ba[ x2 2 b a

E(X) =1

ba( b2a2 2 =1 (ba)(ba)(b+a) 2 =a+b 2 (X) U[a;b] (X) =p

VV=E(X2)[E(X)]2

V=∫

b ax 2 bax(a+b 2 2 =(ba)2 12 =ba 2 p 3

U[2;6] P(2;5X4;5)

E(X)

P(2;5X4;5) =4;52;5

62= 0;5

E(X) =2 + 6

2 = 4

ĕ >0E()

X ĕ >0

E() f { f(t) =ett2[0;+1[ f(t) = 0 ab 0a < bP(aXb) =∫b aetdt=[et]b a=eaeb xP(X=x) = 0 x0P(Xx) =∫ x 0 ett=[et]x

0= 1et

P(X0) =P(X2[0;+1[) =x!+1P(Xx) = 1 x!+1∫

x 0 f(t)t=∫ +1 0 f(t)t= 1 f (t) =et[0;+1[

0:10:20:30:40:50:60:70:80:91:0

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0 3:5 4:0 4:5

F(x) =P(Xx) = 1exx0

0:10:20:30:40:50:60:70:80:91:0

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0 3:5 4:0 4:5

X E()

thPXt(Xt+h) =P(Xh)

P(A)̸= 0PA(B) =P(A\B)

P(A)

PXt(Xt+h) =P(XtP(Xt+h)

P(Xt)=P(Xt+h)

P(Xt)=e(t+h)

e t=eh=P(Xh)

E(X) =1

G R

G(t) =(

t+1 e t g(t) =tf(t) =tet G=UV8 :U=( t+1 U ′=1 V=etV′=et)G′(t) =et+tet+et=tet=tf(t) =g(t) ∫x

[PDF] Variable Aléatoire Continue, Loi à densité

P(fAg) =n!+1P([AN][[AM]) =n!+1p′= 0

P(aXb) =∑

P(X=a) = 0 a2I

P(X2[a;b]) [a;b] I

X xab

P(X2[a;b]) =P(aXb) =∫

0:20:4

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0

P(2X3) =P(X= 2) +P(X= 2;5) +P(X= 3)

P(1X3) = 1

E(X) = 10;25 + 1;50;2 + 20;1 + 2;50;3 + 30;15

0:10:20:30:40:50:60:7

0:10:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:00:5

P(1;3X2;7) =∫

1;3f(x)x=

1;3= (2;7)F(1;3)

ɍF f

F(x) =1

P(1X3) =

F(3)F(1) = 1

E(X) =∑xiP(X=xi)

E(X) =∫

V(X) =∫

X ĕ P(X=xi) ɍ xi

X X P(Xxi)

X [a;b]R f

XF(x) =P(Xx) =∫

F(a) = 0

X [a;b]R

U[a;b]

0:20:40:60:81:0

F(x) =P(Xx)

0:20:40:60:81:0

X U[a;b] f

P(aXb) =P(X2[a;b]) = 1

E(X) =∫

E(X) =1

VV=E(X2)[E(X)]2

V=∫

U[2;6] P(2;5X4;5)

P(2;5X4;5) =4;52;5

62= 0;5

E(X) =2 + 6

ĕ >0E()

X ĕ >0

0= 1et

P(X0) =P(X2[0;+1[) =x!+1P(Xx) = 1 x!+1∫

0:10:20:30:40:50:60:70:80:91:0

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0 3:5 4:0 4:5

F(x) =P(Xx) = 1exx0

0:10:20:30:40:50:60:70:80:91:0

0:5 1:0 1:5 2:0 2:5 3:0 3:5 4:0 4:5

X E()

P(A)̸= 0PA(B) =P(A\B)

PXt(Xt+h) =P(XtP(Xt+h)

P(Xt)=P(Xt+h)

P(Xt)=e(t+h)

E(X) =1

G(t) =(

0tf(t)dt ∫+1

0tf(t)dt

0tf(t)dt= [G(t)]x

0=G(x)G(0) =(

E(X) =x!+1∫